2018-2019学年山东省临沂市罗庄区高二上学期期末考试数学试题 解析版 19页

绝密★启用前 山东省临沂市罗庄区2018-2019学年高二上学期期末考试数学试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知等比数列中，， ，则该数列的公比为 A．2 B．1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：‎ 考点：等比数列性质 ‎2．已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为 A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由渐近线是y=x得，抛物线y2=24x的准线为，‎ ‎，方程为 考点：双曲线标准方程及性质 点评：双曲线抛物线几何性质的综合考查 ‎3．在三棱柱中，是的中点，是的中点，且，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据向量加法的多边形法则可得， 从而可求α，β，‎ ‎【详解】‎ 根据向量加法的多边形法则以及已知可得，‎ ‎∴α=，β=﹣1，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了平面向量加法的三角形法则及多边形法则的应用，解题的关键是要善于利用题目中正三棱柱的性质，把所求的向量用基本向量表示．‎ ‎4．已知点在函数的图象上，则数列的前项和的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题an＝2n﹣13，得到n2﹣12n由二次函数性质，求得Sn的最小值 ‎【详解】‎ ‎∵点（n，an）在函数y＝2x﹣13的图象上，则an＝2n﹣13，＝﹣11‎ n2﹣12n ‎∵n∈N+，∴当n＝6时，Sn取得最小值为﹣36．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列前n项和Sn，熟记等差数列通项及求和公式是关键，属于基础题．‎ ‎5．“”是“方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】依题意，椭圆的焦点在轴上，所以解得，两者相等，故为充要条件.‎ 点睛：本题主要考查了两个知识点，一个是椭圆的概念，另一个是充要条件的知识.若，则椭圆的焦点在轴上，若，则椭圆的焦点在轴上.要注意椭圆的是不相等的，双曲线的可以相等.充要条件方面，如果两者相等，则互为充要条件，如果不相等，则小范围是大范围的充分不必要条件，大范围是小范围的必要不充分条件.‎ ‎6．下列结论错误的是 A．命题：“，使得”，则：“，”‎ B．“”是“”的充分不必要条件 C．等比数列中的 D．已知，，则的最小值为8.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对A,由特称命题否定判断即可；对B，求出的充要条件即可判断；对C,由等比中项即可判断；对D,利用基本不等式求最值即可判断 ‎【详解】‎ 对A, 由特称命题否定为全称命题可知：“，”，故A正确；‎ 对B，的充要条件为x=4或x=-1,所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；‎ 对C,由等比中项知,解得x,故C正确；‎ 对D,,当且仅当a=b=取等，故D错误 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查特称命题的否定，充要条件判断，等比数列性质，基本不等式，熟练掌握逻辑问题，基本不等式是关键，是基础题.‎ ‎7．若不等式对一切恒成立，则的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 因为x∈，且x2＋ax＋1≥0，所以a≥－，‎ 所以a≥－.‎ 又y＝x＋在内是单调递减的，‎ 所以a≥－＝－(＋)＝－‎ 故选：C 点睛：恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立，转化为;（3）若恒成立，可转化为.‎ ‎8．设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图像如题（8）图所示，则下列结论中一定成立的是 A．函数有极大值和极小值 B．函数有极大值和极小值 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎：则函数增；‎ 则函数减；‎ 则函数减；‎ 则函数增；‎ ‎【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号，当导函数大于0则函数递增，当导函数小于0则函数递减 ‎9．如图，长方体中，，，点分别是， ，的中点，则异面直线与所成的角是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意：E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，FB1，那么∠FGB1‎ 或其补角就是异面直线A1E与GF所成的角．‎ ‎【详解】‎ 由题意：ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，连接B1G，‎ ‎∵A1E∥B1G，‎ ‎∴∠FGB1为异面直线A1E与GF所成的角．‎ 连接FB1，‎ 在三角形FB1G中，AA1＝AB＝2，AD＝1，‎ B1F B1G，‎ FG，‎ B1F2＝B1G2+FG2．‎ ‎∴∠FGB1＝90°，‎ 即异面直线A1E与GF所成的角为90°．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两条异面直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．‎ ‎10．已知，且，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ a，b∈R+，由ab，可得．又，可得（a+b）5≥（a+b），化简整理即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵a，b∈R+，∴ab，可得，当且仅当a=b=或a=b=2取等 ‎∵，‎ ‎∴（a+b）5≥（a+b），‎ 化为：（a+b）2﹣5（a+b）+4≤0，‎ 解得1≤a+b≤4，‎ 则a+b的取值范围是[1，4]．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎11．已知函数的定义域为，并且满足,且当时其导 函数满足，若则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题可知函数f（x）关于直线x＝2对称，由xf′（x）＞2f′（x），可知f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性，从而可得答案．‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有，‎ ‎∴f（x）关于直线x＝2对称；‎ 又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x﹣2）＞0，‎ ‎∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上的单调递增；‎ 同理可得，当x＜2时，f（x）在（﹣∞，2）单调递减；‎ ‎∵2＜a＜4，‎ ‎∴1＜＜2，‎ ‎∴2＜4﹣＜3，又4＜2a＜16，f（）＝f（4﹣），‎ f（x）在（2，+∞）上的单调递增；‎ ‎∴f（）＜f（3）＜f（2a）．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数与函数单调性应用，考查函数对称性，判断f（x）在（﹣∞，2）与（2，+∞）上的单调性是关键，属于中档题．‎ ‎12．已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直 于轴的直线与双曲线交于，两点，若，则该双曲线的离心率的 取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出交点M，N的坐标，若•0，则只要∠MF1F2＜45°即可，利用斜率公式进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 当x＝c时，1，得1，‎ 则y2，则y＝±，‎ 则M（c，），N（c，），F1（﹣c，0），‎ 若•0，‎ 则只要∠MF1F2＜45°即可，‎ 则tan∠MF1F2＜tan45°＝1，‎ 即1，即b2＜2ac，‎ 则c2﹣a2＜2ac，‎ 即c2﹣2ac﹣a2＜0，‎ 则e2﹣2e﹣1＜0，‎ 得1e＜1，‎ ‎∵e＞1，‎ ‎∴1＜e＜1，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据向量数量积的关系转化为求∠MF1F2＜45°是解决本题的关键,考查学生的转化能力,是中档题.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．已知向量,若,则的值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值．‎ ‎【详解】‎ ‎；‎ ‎∵；‎ ‎∴；‎ 解得k＝﹣6．‎ 故答案为：﹣6．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量坐标运算，向量垂直的充要条件，熟记坐标运算性质，准确计算是关键，是基础题.‎ ‎14．若“”是“”的必要不充分条件，则的取值范围是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据必要不充分条件的定义转化为集合真子集关系进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 若“x＜﹣1”是“x≤a” 必要不充分条件，‎ 则（﹣∞，a]⊊（﹣∞，﹣1），‎ 则a<﹣1，‎ 即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1，‎ 故答案为：（﹣∞，﹣1‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合子集关系是解决本题的关键,是基础题.‎ ‎15．若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是an=______.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ 试题分析：解：当n=1时，a1=S1=a1+，解得a1=1,当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（）-（）=-整理可得an＝−an−1，即=-2，故数列{an}是以1为首项，-2为公比的等比数列，故an=1×（-2）n-1=（-2）n-1故答案为：（-2）n-1．‎ 考点:等比数列的通项公式．‎ ‎16．设点和点分别是函数和图象上的点，且，，若直线轴，则，两点间的距离的最小值为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由题设可知,即,所以,因为,令,因为,所以．因当时,,故函数是增函数,且,所以当时,,即函数在上时单调递增,故,故应填．‎ 考点：导数的有关知识及综合运用．‎ ‎【易错点晴】本题以直线轴为前提条件,精心设置了一道考查函数与方程思想的综合性问题．求解时充分借助题设条件可得,从而求得 ‎,再构造函数,然后借助导数这一工具,求得,进而再求二阶导数,然后通过考察其正负,判断出函数的单调性,最后借助函数的单调性将问题转化为求函数的最小值问题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知是首项为的等比数列的前项的和，成等差数列，‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用已知条件，列出方程求解q3的值；（2）化简数列的表达式，利用错位相减法求解数列的和即可．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，，‎ 显然， ‎ ‎∴， ‎ 解得. ‎ ‎（2），‎ ‎∴，‎ 两式相减，得 ‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列求和，等差数列以及等比数列的综合应用，考查转化思想以及计算能力,是中档题.‎ ‎18．已知函数在点处的切线方程是．‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）求函数在上的最大值和最小值（其中是自然对数的底数）。‎ ‎【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，通过切线方程棱长方程即可求实数a，b的值；（2）求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的极值，然后求函数f（x）在上的最大值和最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，， ‎ 则，， ‎ 函数在点处的切线方程为：， ‎ 由题意得，即，. ‎ ‎（2）由（1）得，函数的定义域为， ‎ ‎∵，∴，，‎ ‎∴在上单调递减，在上单调递增． ‎ 故在上单调递减，在上单调递增， ‎ ‎∴在上的最小值为． ‎ 又，，且．‎ ‎∴在上的最大值为. ‎ 综上，在上的最大值为，最小值为 ‎【点睛】‎ 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力,准确计算是关键，是中档题.‎ ‎19．如图所示，在底面为平行四边形的四棱锥中，,平面 ‎，且，，点是的中点．‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的大小．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）一般线面平行考虑连接中点，形成中位线，连BD交AC于M,连接EM即可；（2）以A为原点建系，显然只需求平面EAC的法向量，利用法向量求二面角．‎ 试题解析：‎ ‎∵平面，，平面，‎ ‎∴，，且，以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系．‎ ‎（1）∵，，∴，‎ ‎∴，，‎ 设平面的法向量为，则，取，得．‎ 又，所以，∵，∴，‎ 又平面，因此，平面．‎ ‎（2）∵平面的一个法向量为，‎ 由（1）知，平面的法向量为，‎ 设二面角的平面角为（为钝角），则 ‎，得：．‎ 所以二面角的大小为．‎ ‎20．如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米．‎ ‎（1）要使矩形的面积大于平方米，则的长应在什么范围内?‎ ‎（2）当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小?并求出最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）当且仅当即时，矩形花坛的面积最小为24平方米 ‎【解析】‎ 设AN的长为x米(x>2)，根据，可求出|AM|＝‎ 所以SAMPN＝|AN|•|AM|＝.‎ 根据SAMPN> 32，解关于x的不等式即可.‎ 从函数的角度求最值，可以求导，也可以变换成对号函数的形式利用均值不等式求最值 ‎ 解:设AN的长为x米（x >2），∵，∴|AM|＝‎ ‎∴SAMPN＝|AN|•|AM|＝‎ ‎（1）由SAMPN> 32 得> 32‎ ‎∵x >2，∴，即（3x－8）（x－8）> 0‎ ‎∴，即AN长的取值范围是……5分 ‎（2）‎ 当且仅当，y＝取得最小值．‎ 即SAMPN取得最小值24（平方米） ……………………10分 ‎21．已知椭圆的右焦点F与抛物线焦点重合，且椭圆的离心率为，过轴正半轴一点 且斜率为的直线交椭圆于两点. ‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）是否存在实数使以线段为直径的圆经过点，若存在，求出实数的值；若不存在说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抛物线焦点可得,又根据离心率可求,利用，即可写出椭圆的方程 ‎（2）由题意可设直线的方程为 ‎，联立方程组，消元得一元二次方程，写出，利用根与系数的关系可求存在m.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）抛物线的焦点是 ‎，，又椭圆的离心率为，即 ‎，，则 故椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题意得直线的方程为 由消去得.‎ 由，解得.‎ 又，.‎ 设，，则，.‎ ‎.‎ ‎，，‎ 若存在使以线段为直径的圆经过点，则必有，即，‎ 解得.又，.‎ 即存在使以线段为直径的圆经过点.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了抛物线的简单几何性质，待定系数法求椭圆的标准方程，直线和椭圆相交的问题，向量的运算，属于难题.‎ ‎22．已知函数（），其中为自然对数的底数，.‎ ‎（1）判断函数的单调性，并说明理由；‎ ‎（2）若，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求出原函数的导函数，然后对a分类，当a≤0时，f′（x）＜0，为R上的减函数；当a＞0时，由导函数为0求得导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，根据导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性；‎ ‎（2）x∈[1，2]，不等式f（x）≥e﹣x恒成立，等价于恒成立，分离参数a，可得恒成立．令g（x）=，则问题等价于a不小于函数g（x）在[1，2]上的最大值，然后利用导数求得函数g（x）在[1，2]上的最大值得答案．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由题可知，，则 ‎（ⅰ）当时，，函数为上的减函数 ‎（ⅱ）当时，令，得，‎ ‎①若，则，此时函数为单调递减函数；‎ ‎②若，则，此时函数为单调递增函数．‎ ‎（2）由题意，问题等价于，不等式恒成立，‎ 即，恒成立，令，则问题等价于不小于函数在上的最大值．‎ 由，显然在上单调递减．‎ 令，，则时，‎ 所以在上也是单调递减函数，所以函数在上单调递减，‎ 所以函数在的最大值为，‎ 故，恒成立时实数的取值范围为 点睛：本题考查函数的单调性极值及恒成立问题，涉及函数不等式的证明，综合性强，难度大，属于难题.处理导数大题时，注意分层得分的原则，力争第一二问答对，第三问争取能写点，一般涉及求函数单调性及极值时，比较容易入手，求导后注意分类讨论，对于恒成立问题一般要分离参数，然后利用函数导数求函数的最大值或最小值，对于含有不等式的函数问题，一般要构造函数，利用函数的单调性来解决，但涉及技巧比较多，需要多加体会.‎