【数学】2019届一轮复习人教A版（文）8-3立体几何学案 16页

‎ 8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 最新考纲 考情考向分析 ‎1.理解空间直线、平面位置关系的定义.‎ ‎2.了解可以作为推理依据的公理和定理.‎ ‎3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.‎ 主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.‎ ‎1．四个公理 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．‎ 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．‎ 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．‎ 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．‎ ‎2．直线与直线的位置关系 ‎(1)位置关系的分类 ‎(2)异面直线所成的角 ‎①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．‎ ‎②范围：.‎ ‎3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．‎ ‎4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．‎ ‎5．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．‎ 知识拓展 ‎1．唯一性定理 ‎(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．‎ ‎(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．‎ ‎(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．‎ ‎(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．‎ ‎2．异面直线的判定定理 经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．‎ 题组一 思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.( √ )‎ ‎(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．( × )‎ ‎(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.( × )‎ ‎(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．( √ )‎ ‎(5)没有公共点的两条直线是异面直线．( × )‎ ‎(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线．( × )‎ 题组二 教材改编 ‎2．[P52B组T1(2)]如图所示，已知M，N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，则MN与CD1所成的角为________．‎ 答案 60°‎ 解析 连接AD1，AC，因为M，N分别是正方体ABCD—A1B1C1D1中BB1和B1C1的中点，所以AD1∥MN，故∠AD1C为MN与CD1所成的角或其补角，由于AC＝AD1＝D1C，故∠AD1C＝60°，则MN与CD1所成的角为60°.‎ ‎3．[P45例2]如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则 ‎(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；‎ ‎(2)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为正方形．‎ 答案 (1)AC＝BD (2)AC＝BD且AC⊥BD 解析 (1)∵四边形EFGH为菱形，‎ ‎∴EF＝EH，故AC＝BD.‎ ‎(2)∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，‎ ‎∵EF綊AC，EH綊BD，∴AC＝BD且AC⊥BD.‎ 题组三 易错自纠 ‎4．若P是两条异面直线l，m外的任意一点，则( )‎ A．过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B．过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直 C．过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D．过点P有且仅有一条直线与l，m都异面 答案 B 解析 A项，设过点P的直线为n，若n与l，m都平行，则l，m平行，与l，m异面矛盾，A错；‎ B项，l，m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有1条，B对；‎ C项，如图所示，在正方体ABCD—A′B′C′D′中，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点，显然无法作出直线与两直线都相交，C错；‎ D项，若P在P2点，则直线CC′及D′P2均与l，m异面，D错．‎ ‎5．下列命题正确的有________．(填序号)‎ ‎①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；‎ ‎②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l与平面α平行；‎ ‎③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；‎ ‎④如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；‎ ‎⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面．‎ 答案 ①⑤‎ 解析 ①正确；‎ ‎②错误，直线l与平面α相交时，仍有无数个点不在平面α内；‎ ‎③错误，直线l与平面α内过该交点的直线不是异面直线；‎ ‎④错误，另一条直线可能在该平面内；⑤正确．‎ ‎6.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为______．‎ 答案 3‎ 解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行．故互为异面的直线有且只有3对．‎ 题型一 平面基本性质的应用 典例 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：‎ ‎(1)E，C，D1，F四点共面；‎ ‎(2)CE，D1F，DA三线共点．‎ 证明 (1)如图，连接EF，CD1，A1B.‎ ‎∵E，F分别是AB，AA1的中点，∴EF∥BA1.‎ 又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，‎ ‎∴E，C，D1，F四点共面．‎ ‎(2)∵EF∥CD1，EF