重庆市主城区2021届高三上学期高考适应性试卷（一）数学试题 Word版含答案 7页

数学·第 1 页 数学·第 2 页 秘密★启用前 重庆市主城区 2021 届高考适应性试卷（一） 数 学 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。满分 150 分，考试用时 120 分钟。 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.已知集合  5)2)(2( ＜ xxxA ，  NaaxxB  ，＞1)(log2 ，若 BA 为空集则 a 的可能取值组成的 集合为（ ） A. 0 B. 1 C. 10， D. N 2.若复数 ai iZ -2 -1 3  为纯虚数，则实数 a 的值为（ ） A.-1 B.1 C.-2 D.2 3.设 A、B、C 是直径为 1 的圆上三点，若 2AB ，则 ACAB 的最大值为（ ） A. 33 B. 32 3  C. 21 D. 2 4. 62 )1)(21( xxx  的展开式中，含 2x 的项的系数是（ ） A.-40 B.-25 C.25 D.55 5.已知球面上 A，B，C 三点，如果 3 ACBCAB ，且球的体积为  3 520 ，则球心到平面 ABC 的距离为 （ ） A.1 B. 2 C. 3 D.2 6.已知双曲线 0)b01(a- 2 2 2 2 ＞，＞ b y a x 的左、右焦点分别为 21 FF、 ，圆 2222 bayx  与双曲线在第一象限 和第三象限的交点分别为 A、B，四边形 12BFAF 的周长 p 与面积 S 满足 Sp 24 ，则该双曲线的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. 2 6 D. 3 32 7.设直线系 )20(1sin)2(cos   yxM： ，则下列命题中是真命题的个数是（ ） ①存在一个直线与所有直线相交；②M 中所有直线均经过一个定点；③对于任意实数 )3( nn ，存在正 n 边形， 其所有边均在 M 中的直线上；④ A.0 B.1 C.2 D.3 8.若函数 )]4sin()3sin()2sin()lg[sin()( xxxxxf   的定义域与区间[0,1]的交集由 n 个开区间组成，则 n 的值为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 9.气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续 5 天每日平均温度不低于 22℃”。现重庆市内北碚区、渝北区、 渝中区三地连续 5 天日平均温度的记录数据（数据都是正整数，单位℃）满足以下条件： 北碚区：5 个数据的中位数是 24，众数是 22； 渝北区：5 个数据的中位数是 27，平均数是 24； 渝中区：5 个数据有一个是 32，平均数是 26，方差是 10.2 则下列说法正确的是（ ） 数学·第 3 页 数学·第 4 页 A.进入夏季的地区至少有两个 B.渝中区肯定进入了夏季 C.不能肯定渝北区进入夏季 D.不能肯定北碚区进入夏季 10.如果双曲线 )0b0(1- 2 2 2 2 ＞，＞ab y a x  的一条渐近线上的点 )3-1( ，M 关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点 F，P 为双曲线上的动点，已知 )13( ，A ，则 PFPA 2 1 的值可能为（ ） A. 2 3 B.2 C. 2 5 D.4 11.如图，已知四棱锥 ABCDP - 所有棱长均为 4，点 M 是侧棱 PC 上的一个动点（不与 点 P、C 重合），若过点 M 且垂直于 PC 的截面将该四棱锥分成两部分，则下列结论正确 的是（ ） A.截面的形状可能为三角形、四边形、五边形 B.截面和底面 ABCD 所成的锐二面角为 4  C．当 PM=1 时，截面的面积为 25 D．当 PM=2 时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为 )( 2121 VVVV ＞， ，则 21 3VV  12. 设 函 数 )(xf 是 定 义 在 区 间 I 上 的 函 数 ， 若 对 区 间 I 中 的 任 意 两 个 实 数 21, xx ， 都 有 2 )()()2( 2121 xfxfxxf  则称 )(xf 为区间 I 上的下凸函数。下列函数中是区间(1,3)上的下凸函数的是 （ ） A. 12)(  xxf B. 2)(  xxf C. 5)( 3  xxf D. 1 12)(   x xxf 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息。同 名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小 方格可以在白色和紫色（此处以阴影代表紫色）之间变换，从而一共可以有 512 种不 同的颜色组合，即代表 512 种不同的信息。现要求每一行，每一列上至多有一个紫色 小方格（如图所示即满足要求）.则一共可以传递 种信息.（用数字作答） 14.设三角形 ABC 的面积为 S，满足 032  ACABS ，且 3BC ，若角 B 不是最小角，则 S 的取值范围 是 . 15.已知动点  yxP , 满足 02-x2-22  yyx ，O 为原点坐标，则 22 yx  的最大值为 . 16.在 中，点 D 在边 BC 上，且满足 AD=BD, ，则 的取值范围为______. 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（10 分）已知各项均不为 0 的等差数列 的前 项和为 ，若 ，且 成等比数列. （1）求数列 的通项公式 与 ； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 18.（12 分）已知向量 ， ，且函数 的 图象经过点 . （1）求 的解析式及最小正周期； （2）若 ， 的值. 19.（12 分）如图所示，三棱柱 中， ， 平面 ． （1）证明：平面 平面 ； 数学·第 5 页 数学·第 6 页 （2）若 ， ，求点 到平面 的距离． 20.（12 分）已知椭圆 四个顶点中的三个是边长为 的等边三角形的顶点． （1）求椭圆 E 的方程； （2）设直线 与圆 相切且交椭圆 E 于两点 ，求线段 的最大值． 21.（12 分）已知函数 f(x)= （1）当 x∈[1，8]时，求该函数的最值； （2）若 对于任意 x∈[1，8]恒成立，求实数 m 的取值范围． 22.（12 分）某品牌商家入驻一家购物平台后，销售额大幅提升，为了答谢顾客并进一步提升销售额，该品牌 商家每年都在“跨年夜”购物狂欢节进行该品牌商品的促销活动．促销活动规则如下：①“价由客定”，即所有 参与该商品促销活动的人进行网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与该商品促销活动的总人 数；②报价时间截止后，系统根据当年“跨年夜”该商品数量配额，按照参与该商品促销活动人员的报价从高 到低分配名额；③每人限购一件，且参与人员分配到名额时必须购买．某位顾客拟参加 2020 年“跨年夜”该商 品促销活动，他为了预测该商品最低成交价，根据该购物平台的公告，统计了最近 5 年“跨年夜”参与该商品 促销活动的人数(单位：十万)(见下表) 年份 2015 2016 2017 2018 2019 年份编号 t 1 2 3 4 5 参与人数 y(单位：十万) 0.5 0.6 1 1.4 1.7 （1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合参与人数 y(十万)与年份编号 t 之间的相关关系．请用 最小二乘法求 y 关于 t 的线性回归方程： ，并预测 2020 年“跨年夜”参与该商品促销活动的人数； （2）该购物平台调研部门对 2000 位拟参与 2020 年“跨年夜”该商品促销活动人员的报价进行抽样调查，得到 如下的一份频数表： 报价(千元) [1，2) [2，3) [3，4) [4，5) [5，6) [6，7) 频数 200 600 600 300 200 100 ①求这 2000 位参与人员报价的平均值 和样本方差 s2(同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替)； ②假设所有参与该商品促销活动人员的报价 X 可视为服从正态分布 ，且μ与σ2 可分别由①中所求的 样本平均值 和样本方差 s2 估值．若预计 2020 年“跨年夜”该商品最终销售量为 31730 件，请你合理预测(需 说明理由)该商品的最低成交价． 参考公式：(ⅰ)回归方程： ，其中 ， ； (ⅱ) ， ， ； (ⅲ)若随机变量 Z 服从正态分布 ，则 ， ， ． 数学·第 7 页 数学·第 8 页 数学·第 9 页 数学·第 10 页 秘密★启用前 重庆市主城区 2021 届高考适应性试卷（一） 数学参考答案 试题难度：0.50 【小题 1】D 【小题 2】D 【小题 3】C 【小题 4】B 【小题 5】D 【小题 6】C 【小题 7】C 【小题 8】A 【小题 9】ABC 【小题 10】CD 【小题 11】BCD 【小题 12】ACD 【小题 13】34 【小题 14】       4 3,0 【小题 15】 22 【小题 16】  21， 【小题 17】 解：（2）设等差数列{an}的公差为 d， 由 a5＝9，可得 a1+4d=9，S7=7a4， 由 a1，a4，S7 成等比数列， =a1S7， a4≠0，所以 d=2a1， 解得 a1=1，d=2， ∴an=1+（n-1）×2=2n-1， ． （2）由（1）可得：bn＝(-1)n(Sn+2n)=(-1)n(n2+2n)． ∴ = ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ ． 【小题 18】解：（1）由 = 可得到 ， 将 代入得 ， ， 又 ， ． 所以 的解析式为 ，最小正周期为 . （2） ， ， ， ， ， ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ . 【小题 19】（1）证明：∵AC1⊥平面 A1BC，∴AC1⊥BC， ∵∠BCA=90°，BC⊥AC， 数学·第 11 页 数学·第 12 页 又 AC AC1=A，AC、AC1 平面 ACC1A1， ∴BC⊥平面 ACC1A1； 又 BC⊂平面 ABC，∴平面 ABC⊥平面 ACC1A1． （2）解：取 AC 的中点 D，连接 A1D， ∵A1A=A1C，∴A1D⊥AC， 又平面 ABC⊥平面 ACC1A1，且交线为 AC， 则 A1D⊥平面 ABC； ∵AC1⊥平面 A1BC，∴AC1⊥A1C， ∴四边形 ACC1A1 为菱形，∴AA1=AC． 又 A1A=A1C， ∴△A1AC 是边长为 2 正三角形， ， ∴ ； 设点 B1 到平面 A1BC 的距离为 h， 则 ， 由（1）知 BC⊥平面 ACC1A1， 故 为直角三角形， ，∴ ． 所以点 B1 到平面 A1BC 的距离为 ． 【小题 20】解：（1）由题意，椭圆上下顶点与左右顶点其中的一个构成等边三角形， 所以 ，即 ， 所以椭圆 E 的方程为 ， （2）圆 O:x2+y2=2，因为直线 y=kx+m 与圆 O:x2+y2=2 相切， 所以 ，即 m2=2(1+k2)； 联立 得 ， ， 设 M ，所以 ​ 由弦长公式得|MN|＝ ， 将 代入： ​ ​ ​ ​ ​ ​ ​ |MN|= ， 当且仅当 ，即 时等号成立， ​ 故弦长|MN|最大值为 . 【小题 21】解：（1）可令 t=log2x，由当 x∈[1，8]，可得 t∈[0，3]， 则 g（t）=t2-t-2=（t- ）2- ， 当 t= 时，g（t）取得最小值- ；当 t=3 时，g（t）取得最大值 4， 则 x= 时，f（x）取得最小值- ，x=8 时，f（x）取得最大值 4； （2）若 对于任意 x∈[1，8]恒成立， 可得 f（x）max＜2 ， 由（1）可得 f（x）在[1，8]的最大值为 4， 可得 2 ＞4，即为 m2-2m-6＞2， 即有（m-4）（m+2）＞0， 解得 m＞4 或 m＜-2． 则实数 m 的取值范围为（-∞，-2）∪（4，+∞）． 数学·第 13 页 数学·第 14 页 【小题 22】解：（1）由题意可知 所以 所以归回方程为 , 当 t=6 时， ; 所以预测 2020 年跨年夜参与该商品促销活动的人数为 20 万 (2)① 由 表 中 的 数 据 ， 得 平 均 数 样本方差 ②由①可知 ，且 ， 则 又 ， 所以该商品的最低成交价为 4.8 千元.