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  • 2021-06-15 发布

【数学】2021届一轮复习人教版(文)第3章第3节 利用导数解决函数的极值、最值学案

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第三节 利用导数解决函数的极值、最值 ‎[最新考纲] 1.了解函数在某点取得的极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次).‎ ‎1.函数的极值 函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0,而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.‎ 函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f′(b)=0,而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.‎ 极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值.‎ ‎2.函数的最值 ‎(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.‎ ‎(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.‎ ‎1.若函数在开区间(a,b)内的极值点只有一个,则相应极值点为函数的最值点.‎ ‎2.若函数在闭区间[a,b]的最值点不是端点,则最值点亦为极值点.‎ 一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)函数的极大值不一定比极小值大. (  )‎ ‎(2)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条件.‎ ‎ (  )‎ ‎(3)函数的极大值一定是函数的最大值. (  )‎ ‎(4)开区间上的单调连续函数无最值. (  )‎ ‎[答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√‎ 二、教材改编 ‎1.函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)(  )‎ A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 ‎ D.有四个极大值点、无极小值点 C [设f′(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1,x2,x3,x4.‎ 当x<x1时,f′(x)>0,f(x)为增函数,‎ 当x1<x<x2时,f′(x)<0,f(x)为减函数,则x=x1为极大值点,同理,x=x3为极大值点,x=x2,x=x4为极小值点,故选C.]‎ ‎2.设函数f(x)=+ln x,则(  )‎ A.x=为f(x)的极大值点 B.x=为f(x)的极小值点 C.x=2为f(x)的极大值点 D.x=2为f(x)的极小值点 D [f′(x)=-+=(x>0),‎ 当0<x<2时,f′(x)<0,当x>2时,f′(x)>0,‎ 所以x=2为f(x)的极小值点.]‎ ‎3.函数y=xex的最小值是 .‎ ‎- [因为y=xex,所以y′=ex+xex=(1+x)ex.当x>-1时,y′>0;当x ‎<-1时,y′<0,所以当x=-1时函数取得最小值,且ymin=-.]‎ ‎4.函数f(x)=x-aln x(a>0)的极小值为 .‎ a-aln a [因为f(x)=x-aln x(a>0),所以f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-(a>0),‎ 由f′(x)=0,解得x=a.‎ 当x∈(0,a)时,f′(x)<0;‎ 当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,‎ 所以函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a.]‎ 考点1 利用导数解决函数的极值问题 ‎ 利用导数研究函数极值问题的一般流程 ‎ 根据函数图象判断函数极值的情况 ‎ 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(  )‎ A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)‎ B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)‎ C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)‎ D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)‎ D [由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-2<x<1时,f′(x)<0;当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.]‎ ‎ 可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.‎ ‎ 求已知函数的极值 ‎ 已知函数f(x)=(x-2)(ex-ax),当a>0时,讨论f(x)的极值情况.‎ ‎[解] ∵f′(x)=(ex-ax)+(x-2)(ex-a)‎ ‎=(x-1)(ex-2a),‎ ‎∵a>0,‎ 由f′(x)=0得x=1或x=ln 2a.‎ ‎①当a=时,f′(x)=(x-1)(ex-e)≥0,‎ ‎∴f(x)在R上单调递增,故f(x)无极值.‎ ‎②当0<a<时,ln 2a<1,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,ln 2a)‎ ln 2a ‎(ln 2a,1)‎ ‎1‎ ‎(1,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 故f(x)有极大值f(ln 2a)=-a(ln 2a-2)2,极小值f(1)=a-e.‎ ‎③当a>时,ln 2a>1,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(-∞,1)‎ ‎1‎ ‎(1,ln 2a)‎ ln 2a ‎(ln 2a,+∞)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 故f(x)有极大值f(1)=a-e,‎ 极小值f(ln 2a)=-a(ln 2a-2)2.‎ 综上,当0<a<时,f(x)有极大值-a(ln 2a-2)2,极小值a-e;‎ 当a=时,f(x)无极值;‎ 当a>时,f(x)有极大值a-e,极小值-a(ln 2a-2)2.‎ ‎ 求函数极值的一般步骤:①先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数;②求f′(x)=0的根;③判断在f′(x)=0的根的左、右两侧f′(x)的符号,确定极值点;④求出具体极值.‎ ‎ 已知函数极值求参数的值或范围 ‎ (1)已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,则a-b= .‎ ‎(2)若函数f(x)=-x2+x+1在区间上有极值点,则实数a的取值范围是 .‎ ‎(1)-7 (2) [(1)由题意得f′(x)=3x2+6ax+b,则 解得或 经检验当a=1,b=3时,函数f(x)在x=-1处无法取得极值,‎ 而a=2,b=9满足题意,‎ 故a-b=-7.‎ ‎(2)函数f(x)在区间上有极值点等价于f′(x)=0有2个不相等的实根且在内有根,由f′(x)=0有2个不相等的实根,得a<-2或a>2.‎ 由f′(x)=0在内有根,得a=x+在内有解,又x+∈2,,所以2≤a<,‎ 综上,a的取值范围是.]‎ ‎ 已知函数极值点或极值求参数的两个要领 ‎(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.‎ ‎(2)验证:因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.‎ ‎[教师备选例题]‎ 若函数f(x)=ex-aln x+2ax-1在(0,+∞)上恰有两个极值点,则a的取值范围为(  )‎ A.(-e2,-e)  B. C. D.(-∞,-e)‎ D [∵f′(x)=ex-+2a,(x>0)‎ ‎∴由f′(x)=0得a=.‎ 令g(x)=(x>0).‎ 由题意可知g(x)=a在(0,+∞)上恰有两个零点.‎ 又g′(x)=-(x>0),‎ 由g′(x)>0得0<x<1,且x≠.‎ 由g′(x)<0得x>1.‎ ‎∴函数g(x)在,上递增,在(1,+∞)上递减.‎ 又g(0)=0,g(1)=-e,‎ 结合图形(图略)可知a∈(-∞,-e),故选D.]‎ ‎ 1.若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极小值为(  )‎ A.-1         B.-2e-3‎ C.5e-3 D.1‎ A [因为f(x)=(x2+ax-1)ex-1,所以f′(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.因为x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,所以-2是x2+(a+2)x+a-1=0的根,所以a=-1,f′(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1.令f′(x)>0,解得x<-2或x>1,令f′(x)<0,解得-2<x<1,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,f(x)取得极小值,且f(x)极小值=f(1)=-1.]‎ ‎2.已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,则实数c的值为(  )‎ A.6 B.2‎ C.2或6 D.0‎ B [由f′(2)=0可得c=2或6.当c=2时,结合图象(图略)可知函数先增后减再增,在x=2处取得极小值;当c=6时,结合图象(图略)可知,函数在x=2处取得极大值.故选B.]‎ ‎3.(2019·长春市质量监测)若函数f(x)=(x2+ax+3)ex在(0,+∞)内有且仅有一个极值点,则实数a的取值范围是(  )‎ A.(-∞,-2] B.(-∞,-2)‎ C.(-∞,-3] D.(-∞,-3)‎ C [f′(x)=(2x+a)ex+(x2+ax+3)ex=[x2+(a+2)x+a+3]ex,令g(x)=x2+(a+2)x+a+3.由题意知,g(x)在(0,+∞)内先减后增或先增后减,结合函数g(x)的图象特征知,或解得a≤-3.故选C.]‎ 考点2 用导数求函数的最值 ‎ 求函数f(x)在[a,b]上的最大值、最小值的步骤 ‎(1)求函数在(a,b)内的极值.‎ ‎(2)求函数在区间端点的函数值f(a),f(b).‎ ‎(3)将函数f(x)的极值与f(a),f(b)比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值.‎ ‎ (2019·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性;‎ ‎(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.‎ ‎[解] (1)f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).‎ 令f′(x)=0,得x=0或x=.‎ 若a>0,则当x∈(-∞,0)∪时,f′(x)>0;当x∈时,f′(x)<0.故f(x)在(-∞,0),单调递增,在单调递减.‎ 若a=0,f(x)在(-∞,+∞)单调递增.‎ 若a<0,则当x∈∪(0,+∞)时,f′(x)>0;当x∈时,f′(x)<0.故f(x)在,(0,+∞)单调递增,在单调递减.‎ ‎(2)满足题设条件的a,b存在.‎ ‎(ⅰ)当a≤0时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递增,所以f(x)在区间[0,1]的最小值为f(0)=b,最大值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当b=-1,2-a+b=1,即a=0,b=-1.‎ ‎(ⅱ)当a≥3时,由(1)知,f(x)在[0,1]单调递减,所以f(x)在区间[0,1]的最大值为f(0)=b,最小值为f(1)=2-a+b.此时a,b满足题设条件当且仅当2-a+b=-1,b=1,即a=4,b=1.‎ ‎(ⅲ)当0<a<3时,由(1)知,f(x)在[0,1]的最小值为f=-+b,最大值为b或2-a+b.‎ 若-+b=-1,b=1,则a=3,与0<a<3矛盾.‎ 若-+b=-1,2-a+b=1,则a=3或a=-3或a=0,与0<a<3矛盾.‎ 综上,当且仅当a=0,b=-1或a=4,b=1时,f(x)在[0,1]的最小值为-1,最大值为1.‎ ‎ (1)讨论函数的单调性时,一要注意函数的定义域;二要注意分类的标准,做到不重不漏.‎ ‎(2)对于探索性问题,求出参数值后要注意检验.‎ ‎[教师备选例题]‎ 已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间;‎ ‎(2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.‎ ‎[解] (1)f′(x)=-a(x>0),‎ ‎①当a≤0时,f′(x)=-a>0,即函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).‎ ‎②当a>0时,令f′(x)=-a=0,可得x=,‎ 当0<x<时,f′(x)=>0;‎ 当x>时,f′(x)=<0,‎ 故函数f(x)的单调递增区间为,‎ 单调递减区间为.‎ 综上可知,当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞);‎ 当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,‎ 单调递减区间为.‎ ‎(2)①当0<≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f(2)=ln 2-2a.‎ ‎②当≥2,即0<a≤时,函数f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以f(x)的最小值是f(1)=-a.‎ ‎③当1<<2,即<a<1时,函数f(x)在上是增函数,在上是减函数.‎ 又f(2)-f(1)=ln 2-a,‎ 所以当<a<ln 2时,最小值是f(1)=-a;‎ 当ln 2≤a<1时,最小值为f(2)=ln 2-2a.‎ 综上可知,‎ 当0<a<ln 2时,函数f(x)的最小值是f(1)=-a;‎ 当a≥ln 2时,函数f(x)的最小值是f(2)=ln 2-2a.‎ ‎ (2019·郑州模拟)已知函数f(x)=+kln x,k<,求函数f(x)在 上的最大值和最小值.‎ ‎[解] f′(x)=+=.‎ ‎①若k=0,则f′(x)=-在上恒有f′(x)<0,‎ 所以f(x)在上单调递减.‎ ‎②若k≠0,则f′(x)==.‎ ‎(ⅰ)若k<0,则在上恒有<0.‎ 所以f(x)在上单调递减,‎ ‎(ⅱ)若k>0,由k<,‎ 得>e,则x-<0在,e上恒成立,‎ 所以<0,‎ 所以f(x)在上单调递减.‎ 综上,当k<时,f(x)在上单调递减,‎ 所以f(x)min=f(e)=+k-1,f(x)max=f=e-k-1.‎ 考点3 利用导数研究生活中的优化问题 ‎ 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 ‎(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).‎ ‎(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.‎ ‎(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.‎ ‎(4)回归实际问题,结合实际问题作答.‎ ‎ 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3<x<6,a为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎[解] (1)因为当x=5时,y=11,‎ 所以+10=11,解得a=2.‎ ‎(2)由(1)可知,该商品每日的销售量为 y=+10(x-6)2.‎ 所以商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)=(x-3) ‎ ‎=2+10(x-3)(x-6)2,3<x<6.‎ 则f′(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]‎ ‎=30(x-4)(x-6).‎ 于是,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:‎ x ‎(3,4)‎ ‎4‎ ‎(4,6)‎ f′(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ f(x)‎ ‎↗‎ 极大值42‎ ‎↘‎ 由上表可得,当x=4时,函数f(x)取得极大值,也是最大值.‎ 所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值且最大值等于42.‎ 即当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.‎ ‎ (1)利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型.‎ ‎(2)注意:函数的定义域由实际问题确定,最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案.‎ ‎ 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000π元(π为圆周率).‎ ‎(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域.‎ ‎(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.‎ ‎[解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为100×2πrh=200πrh元,底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.又根据题意得200πrh+160πr2=12 000π,所以h=(300-4r2),从而V(r)=πr2h=(300r-4r3).由h>0,且r>0可得0<r<5,故函数V(r)的定义域为(0,5).‎ ‎(2)因为V(r)=(300r-4r3),所以V′(r)=(300-12r2).令V′(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因为r2=-5不在定义域内,舍去).‎ 当r∈(0,5)时,V′(r)>0,‎ 故V(r)在(0,5)上为增函数;‎ 当r∈(5,5)时,V′(r)<0,故V(r)在(5,5)上为减函数.‎ 由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8,即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.‎

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