江西省赣州市石城县石城中学2020届高三下学期第一次月考数学（理）试卷 9页

数学理科试题 一、选择题： 本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合 A = {x | }， B = {x | y =}， AB = （ ）‎ A． [1, +¥) B． [1, 3] C． (3, 5] D． [3, 5] ‎2.设复数满足(为虚数单位)，在复平面内对应的点为(，)，则(　 　).‎ A. B. C. D.‎ ‎3.“”是“直线和直线相互垂直”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4.已知曲线在点处的切线方程为，则实数的值为( )‎ A.1 B.-1 C.2 D.-2‎ ‎5.函数的图象大致为( ).‎ ‎6．的展开式中的系数是( )‎ A．5 B．－5 C．－20 D．20‎ ‎7．设抛物线的焦点为，准线为，点在上，点在上，且，若，则的值（ ）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎8.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．大衍数列前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列第20项为( )‎ A．180 B．200 C．128 D．162‎ ‎9．已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是减函数，‎ 令，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎10.已知函数在区间上是增函数，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11．在四棱锥中，是边长为6的正三角形，是正方形，平面平面，则该四棱锥的外接球的体积为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数的定义域为，，对任意的满足.当时，不等式的解集为( )‎ A． B． C． D． ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13.已知两个单位向量，满足，则的夹角为____ ‎ ‎14.若函数的值域是，则实数的取值范围是________.‎ ‎15.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、異、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“ "表示一根阳线，“ ” 表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为 ．‎ ‎16．已知双曲线的上焦点为，上、下顶点分别为，，过点作轴的垂线与双曲线交于，两点，的中点为，连接交轴于点，若，，三点共线，则双曲线的离心率为______.‎ 三、解答题：本大题共6大题，17-21每题12分，选做题10分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17. 在中，角所对边的长分别为，且 ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若的面积，的外接圆的直径为，求的周长.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，点O为AD的中点，且.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值.‎ ‎19.（12分）已知是椭圆的左、右焦点，离心率为，是平面内两点，满足，线段的中点在椭圆上，周长为12.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若与圆相切的直线与椭圆交于，求（其中为坐标原点)的取值范围.‎ ‎20.某公司准备将1000万元资金投入到市环保工程建设中，现有甲、乙两个项目可以选择，若投资甲项目一年后可获得利润（万元）的概率分布列如表所示：‎ ‎110‎ ‎120‎ ‎170‎ ‎0.4‎ 且的期望为万元；若投资乙项目一年后可获得的利润（万元）与该项目建设材料的成本有关，在生产过程中，公司将根据成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品价格的调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为和，若乙项目一年内调整的次数与的关系如表所示：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎41.2‎ ‎117.6‎ ‎204‎ （1） 求的值； （2）求的分布列 ‎（3）若该公司投资乙项目一年后能获得较甲项目更多的利润，求的取值范围。‎ ‎21.已知 ‎（1）判断当时的单调性；‎ ‎（2）若为的两个极值点，求证 选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多选，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）求曲线的普通方程；‎ ‎（2）在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的方程为，已知直线与曲线相交于两点，求．‎ ‎23．设函数.‎ ‎(1)当时，解不等式；‎ ‎(2)若的解集为[0,2]，()，求证：‎ 数学（理科）答案 一、选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 D B A C A C D B C D B D 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16 .3‎ 三、 解答题 ‎ 17.解：，由正弦定理可得 即，即 （5分）‎ ‎(2)外接圆直径为，，又由(1)得 的面积，‎ 由余弦定理得 或（舍） ‎ 的周长. （12分）‎ ‎18.（1）证明：连结OP，BD，因为底面ABCD为菱形，，‎ 故，又O为AD的中点，故．‎ 在中，，O为AD的中点，所以．‎ 设，则，，‎ 因为，‎ 所以．（也可通过来证明），‎ 又因为，平面PAD，平面PAD，所以平面PAD； （5分）‎ ‎（2）因为，，‎ ‎，平面POB，平面POB，‎ 所以平面POB，又平面POB，所以．‎ 由（1）得平面PAD，又平面PAD，故有，又由，‎ 所以OA，OB，OP所在的直线两两互相垂直．‎ 故以O为坐标原点，以OA，OB，OP所在直线为x轴，y轴，z轴如图建系．‎ 设，则，，，．‎ 所以，，，‎ 由（1）知平面PAD，‎ 故可以取与平行的向量作为平面PAD的法向量．‎ 设平面PBC的法向量为，则，‎ 令，所以．‎ 设平面PBC与平面PAD所成二面角为θ，则，‎ 则，所以平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值为． （12分）‎ ‎20．【解析】（1）连接,,，‎ 是线段的中点，是线段的中点，，‎ 由椭圆的定义知，，‎ 周长为，‎ 由离心率为知，，解得，，‎ 椭圆的方程为.（4分）‎ （2） 当直线的斜率不存在时，直线，代入椭圆方程解得，‎ 此时，（5分）‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 由直线与圆相切知，，，（6分）‎ 将直线方程代入椭圆的方程整理得，‎ ‎，‎ 设，则，，‎ ‎，（8分）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，，，‎ ‎，（11分）‎ 综上所述，的取值范围为.（12分）‎ ‎20.解：由题意得: 解得 （3分）‎ ‎（2）的可能取值为41.2,117.6,204 ‎ ‎ 所以的分布列为 ‎41.2‎ ‎117.6‎ ‎204‎ ‎（8分）‎ ‎（3）由（2）得 由于该公司投资乙项目一年后能获得较多的利润 所以 ‎ 解得 的取值范围为 （12分）‎ 21. 解：(1)因为 所以 ‎ （2分）‎ 当时恒成立。‎ 所以在定义域上为单调增函数 （5分）‎ (2) 证明：‎ 由题设知有两个不相等的实数根则 ‎ （7分）‎ 而 ‎ （9分）‎ 又，故欲证原不等式成立等价于证明不等式：‎ ‎ （10分）‎ 也就是要证明：对任意，有， （11分）‎ 令，由于，并且 当时，则在上是减函数，‎ 当时，则在上是增函数 则在上有最大值，即，故原不等式成立 （12分）‎ ‎22．解：（1）由得，将两式相加得，‎ 故曲线的普通方程为； 4分 （2） 由得，‎ （3） 化为直角坐标方程为， 6分 圆心到直线的距离， 8分 由垂径定理得． 10分 ‎23．(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4.‎ 当x≥2时，原不等式化为2x－3≥4，解得x≥，所以x≥；‎ 当1≤x＜2时，原不等式化为1≥4，无解；‎ 当x<1时，原不等式化为3－2x≥4，‎ 解得x≤－，所以x≤－. 4分 所以原不等式的解集为.‎ ‎(2)证明：f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，‎ 而f(x)≤1的解集是[0,2]，‎ 所以，解得a＝1，所以＝1(m>0，n>0)．‎ 所以m＋2n＝(m＋2n)＝2＋，‎ 当且仅当m＝2n时，等号成立 ‎