数学（理）卷·2018届河南省信阳市高二下学期期中考试（2017-04） 9页

‎2016—2017学年度下期高中二年级期中检测 数学试题（理科）‎ ‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。全卷满分150分。考试时间120分钟。‎ 注意事项：‎ ‎ 1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将考号填涂在相应位置。‎ ‎2.答第I卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上的答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上。‎ ‎3. 非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水笔书写在答题卷上，字体工整字迹清楚，不得超出答题栏边界。‎ ‎4. 考试结束后，监考员请将答题卷收回。 ‎ 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题.（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎ 1.数列1,3,6,10，x,21，…中的x等于 ‎ A．17 B．16 C．15 D．14‎ ‎ 2．关于复数的四个命题：‎ ‎：复数对应的点在第二象限， ：，‎ ‎：的共轭复数为， ：z的虚部为．‎ 其中的真命题个数为 A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎ 3．函数的导函数是 ‎ A． B．‎ ‎ C． D．‎ ‎ 4．若，则 ‎ A． B．-6 C． D．-12‎ ‎ 5．已知曲线在处的切线的斜率为，则实数的值为 ‎ A. B. - C. D. ‎ ‎ 6.已知上的可导函数的图象如图所示，则的解集为 ‎ A． ‎ ‎ B． ‎ ‎ C． ‎ ‎ D．‎ ‎ 7．某单位安排甲、乙、丙三人在某月1日至12日值班，每人4天．甲说：我在1日和3日都有值班; 乙说：我在8日和9日都有值班； 丙说：我们三人各自值班的日期之和相等．据此可判断丙必定值班的日期是 ‎ A．2日和5日 B．5日和6 C．6日和11日 D．2日和11日 ‎8.若由曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx及y轴所围成的平面图形的面积S＝9，则k＝‎ ‎ A.3 B．－3或3 C.3 D．－3‎ ‎9．如图所示，面积为S的平面凸四边形的第条边的边长记为，此四边形内任一点到第条边的距离记为，若，则．类比以上性质，体积为V的三棱锥的第个面的面积记为，此三棱锥内任一点到第个面的距离记为，若，则 ‎ A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎ 10．若点在函数的图像上，点在函数 的图像上，则的最小值为 ‎ A． B．8 C． D．2‎ ‎ 11．下列命题中 ‎ ①若，则函数在取得极值；‎ ‎ ②直线与函数的图象不相切；‎ ‎ ③若（为复数集），且，则的最小值是3；‎ ‎ ④定积分.正确的有 ‎ A.①④ B.③④ C.②④ D.②③④‎ ‎ 12.设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集 ‎ A. B. ‎ ‎ C. D.‎ 第II卷 非选择题 二.填空题(每小题5分共20分)‎ ‎ 13.已知为实数，复数为纯虚数，则 ‎ ‎ 14.若曲线与曲线在交点处有公切线， 则 ‎ ‎ ‎ 15.关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．‎ ‎ 16.记，当时，观察下列等式：‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，可以推测A-B等于 ‎ 三．解答题 ‎ 17．（本题满分10分）设复数z＝－3cosθ＋2isinθ.‎ ‎ (1)当θ＝时，求|z|的值；‎ ‎ (2)若复数z所对应的点在直线x＋3y＝0上，求的值．‎ ‎18. （本题满分12分）‎ ‎ (1) 已知函数求 ‎ (2)求曲线与轴以及直线所围图形的面积.‎ ‎ 19．（本题满分12分）设函数为奇函数，其图象在点处的切线与直线垂直，导函数 的最小值为．‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）求函数的单调递增区间，并求函数在上的最大值和最小值．‎ ‎ 20.是否存在常数，使等式对于一切都成立？若不存在，说明理由；若存在，请用数学归纳法证明？（本题满分12分）‎ ‎ 21．(本小题满分12分)已知函数 。‎ ‎ 如果，函数在区间上存在极值，求实数a的取值范围；‎ ‎ 当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围。‎ ‎ 22．(本小题满分12分)已知函数．‎ ‎ （1）当时，求在最小值；‎ ‎ （2）若存在单调递减区间，求的取值范围；‎ ‎（3）求证：（）． ‎ ‎2016—2017学年度下期高中二年级期中检测 数学试题答案（理科）‎ ‎ 一、选择题： (本大题共12题，每小题5分，共60分)‎ 题号 ‎1[]‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C C C D D B C B B B D C ‎ 13. 1 14 1 15 (-4,0) 16 ‎ ‎ 17．解：(1)∵θ＝，‎ ‎ ∴z＝－3cos＋2isin＝－i，‎ ‎ ∴|z|＝＝（5分）‎ ‎ (2)由条件得，－3cosθ＋6sinθ＝0，∵cosθ≠0，∴tanθ＝，‎ ‎ 原式＝＝＝ （10分）‎ ‎ 18.(1)∵，则（6分）‎ ‎ (2)由题可知，画出所围图形如图，‎ ‎ 则阴影部分面积为；（12分）‎ ‎19．(1)因为为奇函数，‎ ‎ 所以即，所以 ，……2分 ‎ 因为的最小值为，所以， ……………… 4分 ‎ 又直线的斜率为，‎ ‎ 因此，，∴．…………………… 6分 ‎(2)单调递增区间是和． ……………………………… 9分 又f(-1)=10,f()=-8,f(3)=18‎ ‎ 在上的最大值是，最小值是．…………………… 12分 ‎20.若存在常数使等式成立，则将代入上式，有得，即对于一切成立. （5分）‎ ‎ 数学归纳法证明如下：‎ ‎ 证明如下：（1）当时，左边=，右边=，所以等式成立（6分）‎ ‎ （2）假设（且）时等式成立，即 ‎，‎ 当时，‎ 也就是说，当时，等式成立，‎ 综上所述，可知等式对任何都成立. ……………………（12分）‎ ‎21.试题分析：（1）因为， x >0，则， （1分）‎ ‎ 当时，；当时，.‎ ‎ 所以在（0，1）上单调递增；在上单调递减，‎ ‎ 所以函数在处取得极大值. ‎ ‎ 因为函数在区间（其中）上存在极值，‎ ‎ 所以 解得.…………………………………………（6分）‎ ‎ （2）不等式即为 记 ‎ 所以 ‎ ‎ 令，则， ， ‎ ‎ 在上单调递增， ，‎ ‎ 从而,故在上也单调递增，所以，‎ ‎ 所以 . （12分）‎ ‎22：（1），定义域为．‎ ‎ ， ‎ ‎ 在上是增函数． .………………（3分）‎ ‎ （2）因为 ‎ 因为若存在单调递减区间，所以有正数解.‎ ‎ 即有的解 ‎ ‎ ①当时，明显成立 . ‎ ‎ ②当时，开口向下的抛物线，总有 的解；‎ ‎ ③当时，开口向上的抛物线，‎ ‎ 即方程有正根.因为，所以方程有两正根. 当时，； ‎ ‎ ，解得 ‎ 综合①②③知：． ………………………………………………………… （7分）‎ ‎（3）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．‎ ‎ 令，则有， ． ‎ ‎ ，． …………… （12分）‎ ‎ (法二)①当时，．‎ ‎ ，，即时命题成立． ‎ ‎ ②假设当时，命题成立，即 ．‎ ‎ 时， ‎ ‎ ．‎ ‎ 根据（Ⅰ）的结论，当时，，即．‎ ‎ 令，则有，‎ ‎ 则有，即时命题也成立．（12分）‎ ‎ 由①②可知：ln(n+1)＞‎ ‎ ‎