2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：板块命题点专练(八)　数　列 9页

‎ 板块命题点专练(八)　数　列 ‎ ‎(研近年高考真题——找知识联系，找命题规律，找自身差距)‎ 命题点一　数列的概念及表示 命题指数：☆☆☆☆‎ 难度：中、低 题型：选择题、填空题 ‎1．(2014·辽宁高考)设等差数列{an}的公差为d，若数列{‎2a1an}为递减数列，则(　　)‎ A．d<0　　　　　　　　　 B．d>0‎ C．a1d<0 D．a1d>0‎ ‎2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)数列 {an}满足 an＋1＝，a8＝2，则a1 ＝________.‎ ‎3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式是an＝________.‎ ‎4．(2014·安徽高考)如图，在等腰直角三角形ABC 中，斜边BC＝2.过点 A作BC 的垂线，垂足为A1 ；过点 A1作 AC的垂线，垂足为 A2；过点A2 作A‎1C 的垂线，垂足为A3 ；…，依此类推．设BA＝a1 ，AA1＝a2 , A‎1A2＝a3 ，…， A‎5A6＝a7 ，则 a7＝________.‎ 命题点二　等差数列与等比数列 命题指数：☆☆☆☆☆‎ ‎　难度：中、低　 题型：选择题、填空题、解答题 ‎1．(2014·天津高考)设{an} 是首项为a1 ，公差为－1 的等差数列，Sn为其前n项和．若 S1，S2，S4成等比数列，则a1＝(　　)‎ A．2 B．－2‎ C. D．－ ‎2．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2 ＋‎10a1 ，a5＝9，则a1＝(　　)‎ A. B．－ C. D．－ ‎ ‎3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝‎ ‎3，则m＝(　　)‎ A．3 B．4‎ C．5 D．6‎ ‎4．(2014·安徽高考)数列{an} 满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.‎ ‎(1)证明：数列是等差数列；‎ ‎(2)设 bn＝3n·，求数列{bn}的前 n项和 Sn.‎ ‎5．(2014·新课标全国卷Ⅱ)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.‎ ‎(1)证明：是等比数列，并求{an}的通项公式；‎ ‎(2)证明：＋＋…＋<.‎ ‎6.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．‎ ‎(1)证明：an＋2－an＝λ；‎ ‎(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．‎ ‎7．(2014·湖北高考)已知等差数列{an}满足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．‎ 命题点三　数列的综合应用 命题指数：☆☆☆‎ 难度：高、中 题型：解答题 ‎1．(2014·浙江高考)已知数列{an}和{bn}满足a‎1a2a3…an＝()bn(n∈N*)．若{an}为等比数列，且a1＝2，b3＝6＋b2.‎ ‎(1)求an与bn；‎ ‎(2)设cn＝－(n∈N*)．记数列{cn}的前n项和为Sn.‎ ‎①求Sn；‎ ‎②求正整数k，使得对任意n∈N*，均有Sk≥Sn.‎ ‎2．(2014·湖南高考)已知数列{an}满足a1＝1，|an＋1－an|＝pn，n∈N*.‎ ‎(1)若{an}是递增数列，且a1,‎2a2,‎3a3成等差数列，求p的值；‎ ‎(2)若p＝，且{a2n－1}是递增数列，{a2n}是递减数列，求数列{an}的通项公式．‎ 答案 命题点一 ‎1．选C　∵数列{‎2a1an}为递减数列，a1an＝a1[a1＋(n－1)d]＝a1dn＋a1(a1－d)，等式右边为关于n的一次函数，∴a1d<0.‎ ‎2．解析：将a8＝2代入an＋1＝，可求得a7＝；再将a7＝代入an＋1＝，可求得a6＝－1；再将a6＝－1代入an＋1＝，可求得a5＝2；由此可以推出数列{an}是一个周期数列，且周期为3，所以a1＝a7＝.‎ 答案： ‎3．解析：当n＝1时，由已知Sn＝an＋，得a1＝a1＋，即a1＝1；当n≥2时，由已知得到Sn－1＝an－1＋，所以an＝Sn－Sn－1＝－＝an－an－1, 所以an＝－2an－1，所以数列{an}为以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以an＝(－2)n－1.‎ 答案：(－2)n－1‎ ‎4．解析：法一：直接递推归纳：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，A‎1A2＝a3＝1，…，A‎5A6＝a7＝a1×6＝.‎ 法二：求通项：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝，…，An－1An＝an＋1＝sin·an＝an＝2×n，故a7＝2×6＝.‎ 答案： 命题点二 ‎1．选D　由S1＝a1，S2＝‎2a1－1，S4＝‎4a1－6成等比数列可得(‎2a1－1)2＝a1(‎4a1－6)，解得a1＝－.‎ ‎2．选C　由已知及S3＝a1＋a2＋a3，‎ 得a3＝‎9a1，‎ 设数列{an}的公比为q，‎ 则q2＝9，‎ 所以a5＝9＝a1·q4＝‎81a1，‎ 得a1＝.‎ ‎3．选C　由Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，‎ 得am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，‎ 所以等差数列的公差为d＝am＋1－am＝3－2＝1，‎ ‎ 由 得解得 ‎4．解：(1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1.‎ 所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列．‎ ‎(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2.‎ 从而bn＝n·3n.‎ Sn＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n·3n， ①‎ ‎3Sn＝1·32＋2·33＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1. ②‎ ‎①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1‎ ‎＝－n·3n＋1‎ ‎＝.‎ 所以Sn＝.‎ ‎5．证明：(1)由an＋1＝3an＋1得an＋1＋＝3.‎ 又a1＋＝，‎ 所以是首项为，公比为3的等比数列．‎ 所以an＋＝，‎ 因此{an}的通项公式为an＝.‎ ‎(2)由(1)知＝.‎ 因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，‎ 所以≤.‎ 于是＋＋…＋≤1＋＋…＋ ‎＝<.‎ 所以＋＋…＋<.‎ ‎6．解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，‎ an＋1an＋2＝λSn＋1－1.‎ 两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.‎ 由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.‎ ‎(2)由题设，a1＝1，a‎1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.‎ 由(1)知，a3＝λ＋1.‎ 令‎2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.‎ 故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.‎ 所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.‎ 因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．‎ ‎7．解：(1)设数列{an}的公差为d，依题意，2,2＋d,2＋4d成等比数列，故有(2＋d)2＝2(2＋4d)，‎ 化简得d2－4d＝0，解得d＝0或d＝4.‎ 当d＝0时，an＝2；‎ 当d＝4时，an＝2＋(n－1)·4＝4n－2，‎ 从而得数列{an}的通项公式为an＝2或an＝4n－2.‎ ‎(2)当an＝2时，Sn＝2n.‎ 显然2n<60n＋800，‎ 此时不存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立．‎ 当an＝4n－2时，Sn＝＝2n2.‎ 令2n2>60n＋800，即n2－30n－400>0，‎ 解得n>40或n<－10(舍去)，‎ 此时存在正整数n，使得Sn>60n＋800成立，n的最小值为41.‎ 综上，当an＝2时，不存在满足题意的n；‎ 当an＝4n－2时，存在满足题意的n，其最小值为41.‎ 命题点三 ‎1．解：(1)由题意a‎1a2a3…an＝()bn，b3－b2＝6，‎ 知a3＝()b3－b2＝8.‎ 又由a1＝2，得公比q＝2(q＝－2舍去)，‎ 所以数列{an}的通项为an＝2n(n∈N*)．‎ 所以a‎1a2a3…an＝2＝()n(n＋1)．‎ 故数列{bn}的通项为bn＝n(n＋1)(n∈N*)．‎ ‎(2)①由(1)知cn＝－＝－(n∈N*)，‎ 所以Sn＝＋＋…＋－ ＝1－－＝－(n∈N*)．‎ ‎②因为c1＝0，c2>0，c3>0，c4>0；‎ 当n≥5时，‎ cn＝，‎ 而－＝>0，‎ 得≤<1，‎ 所以，当n≥5时，cn<0.‎ 综上，对任意n∈N*恒有S4≥Sn，故k＝4.‎ ‎2．解：(1)因为{an}是递增数列，‎ 所以an＋1－an＝|an＋1－an|＝pn.‎ 而a1＝1，因此a2＝p＋1，a3＝p2＋p＋1.‎ 又a1,‎2a2,‎3a3成等差数列，所以‎4a2＝a1＋‎3a3，‎ 因而3p2－p＝0，‎ 解得p＝或p＝0.‎ 当p＝0时，an＋1＝an，这与{an}是递增数列矛盾，故p＝.‎ ‎(2)由于{a2n－1}是递增数列，因而a2n＋1－a2n－1>0，‎ 于是(a2n＋1－a2n)＋(a2n－a2n－1)>0.　 ①‎ 但<，所以|a2n＋1－a2n|<|a2n－a2n－1|.　 ②‎ 由①②知，a2n－a2n－1>0，‎ 因此a2n－a2n－1＝2n－1＝.　 ③‎ 因为{a2n}是递减数列，同理可得，a2n＋1－a2n<0，故 a2n＋1－a2n＝－2n＝.　 ④‎ 由③④即知，an＋1－an＝.‎ 于是an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)‎ ‎＝1＋－＋…＋ ‎＝1＋· ‎＝＋·.‎ 故数列{an}的通项公式为an＝＋·.‎