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- 2021-06-15 发布
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第6讲 正弦定理和余弦定理
一、知识梳理
1．正弦定理和余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
＝＝＝2R
(R为△ABC外接圆半径)
a2＝b2＋c2－2bccos_A；
b2＝c2＋a2－2cacos_B；
c2＝a2＋b2－2abcos_C
变形形式
a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，
c＝2Rsin_C；
sin A＝，sin B＝，
sin C＝；
a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；
＝
cos A＝；
cos B＝；
cos C＝
2.三角形解的判断
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式
a＝bsin A
bsin Ab
解的个数
一解
两解
一解
一解
3.三角形中常用的面积公式
(1)S＝ah(h表示边a上的高)．
(2)S＝bcsin A＝acsin_B＝absin C.
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
常用结论
1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；
变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；
(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B．
二、教材衍化
1．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝( )
A. B．
C. D．
解析：选C.因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝π.
2．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于________．
解析：因为＝，所以sin B＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC＝×2×2＝2.
答案：2
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.( )
(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．( )
(3)在△ABC中，sin A>sin B的充分不必要条件是A>B.( )
(4)在△ABC中，a2＋b21.
所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
2．在△ABC中，若sin A＝sin B，则A，B的关系为________；若sin A>sin B，则A，B的关系为________．
解析：sin A＝sin B⇔a＝b⇔A＝B；
sin A>sin B⇔a>b⇔A>B.
答案：A＝B A>B
3．在△ABC中，acos A＝bcos B，则这个三角形的形状为________．
解析：由正弦定理，得sin Acos A＝sin BcosB，
即sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，
即A＝B或A＋B＝，
所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．
答案：等腰三角形或直角三角形
利用正、余弦定理求解三角形(多维探究)
角度一 求边长
(一题多解)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.
(1)求边长a；
(2)求AB边上的高CD的长．
【解】 (1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，
由余弦定理cos C＝得cos 120°＝，即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.
(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，
由三角形的面积公式得
absin ∠ACB＝c×CD，
所以CD＝＝＝，
即AB边上的高CD＝.
法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，
由正弦定理得＝＝，
即sin A＝，
在Rt△ACD中，CD＝ACsin A＝5×＝，
即AB边上的高CD＝.
角度二 求角度
(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C．
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin C.
【解】 (1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sin Bsin C，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝
bc.
由余弦定理得cos A＝＝.
因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.
(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得sin A＋sin(120°－C)＝2sin C，即＋cos C＋sin C＝2sin C，可得cos(C＋60°)＝－.
由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝，故
sin C＝sin(C＋60°－60°)
＝sin(C＋60°)cos 60°－cos(C＋60°)sin 60°
＝.
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方程求得未知元素．
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．
(3)涉及最值问题时，常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解．
1．(2020·安徽安庆二模)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于 ( )
A. B．
C. D．
解析：选D.由bsin 2A＝asin B，及正弦定理得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B，得cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D.
2．(2020·河南郑州一模)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－bc＝a2，bc＝a2，则角C的大小是( )
A.或 B．
C. D．
解析：选A.由b2＋c2－bc＝a2，得b2＋c2－a2＝bc，则cos A＝＝＝，则A＝，
由bc＝a2，得sin Bsin C＝sin2A＝×＝，
即4sin(π－C－A)sin C＝，
即4sin(C＋A)sin C＝4sinsin C＝，
即4sin C＝2sin2C＋2sin Ccos C＝，
即(1－cos 2C)＋sin 2C＝－cos 2C＋sin 2C＝，则－ cos 2C＋sin 2C＝0，
则cos 2C＝sin 2C，则tan 2C＝，
即2C＝或，即C＝或，故选A.
判断三角形的形状(典例迁移)
(2020·重庆六校联考)在△ABC中，cos2 ＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．等边三角形
C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形
【解析】 已知等式变形得cos B＋1＝＋1，即cos B＝ ①.由余弦定理得cos B＝，代入①得＝，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．
【答案】 A
【迁移探究1】 (变条件)将“cos2＝”改为“c－acos B＝(2a－b)cos A”，试判断△ABC的形状．
解：因为c－acos B＝(2a－b)cos A，
C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B＝sin A，
所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰或直角三角形．
【迁移探究2】 (变条件)将“cos2＝”改为“＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．
解：因为＝，所以＝，所以b＝c.
又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，
所以b2＋c2－a2＝bc，
所以cos A＝＝＝.
因为A∈(0，π)，所以A＝，
所以△ABC是等边三角形．
(1)判定三角形形状的2种常用途径
(2)判定三角形形状的3个注意点
①“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；
②“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；
③还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．
(2020·河南洛阳一模)在△ABC中，已知2acos B＝c, sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，则△ABC为( )
A．等边三角形
B．等腰直角三角形
C．锐角非等边三角形
D．钝角三角形
解析：选B.将已知等式2acos B＝c利用正弦定理化简得2sin Acos B＝sin C，
因为sin C＝sin＝sin Acos B＋cos Asin B，
所以2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Acos B－cos Asin B＝sin(A－B)＝0，
因为A与B都为△ABC的内角，
所以A－B＝0，即A＝B.
因为sin Asin B(2－cos C)＝sin2＋，
所以sin Asin B(2－cos C)＝(1－cos C)＋＝1－cos C，
所以－(2－cos C)＝1－cos C，
所以－(－cos C－1)(2－cos C)＝1－cos C，
即(cos C＋1)(2－cos C)＝2－cos C，
整理得cos2C－2cos C＝0，即cos C(cos C－2)＝0，所以cos C＝0或cos C＝2(舍去)，所以C＝90°，则△ABC为等腰直角三角形，故选B.
与三角形面积有关的问题(师生共研)
(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin ＝bsin A.
(1)求B；
(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
【解】 (1)由题设及正弦定理得
sin Asin＝sin Bsin A.
因为sin A≠0，所以sin＝sin B．
由A＋B＋C＝180°，
可得sin＝cos，故cos＝2sincos.
因为cos≠0，故sin＝，因此B＝60°.
(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝a.
由正弦定理得a＝＝＝＋.
由于△ABC为锐角三角形，故0°0，所以sin B＝2－cos B，
所以2sin＝2，
所以sin＝1，
因为B∈(0，π)，
所以B＋＝，解得B＝.
(2)由题意，可得S△ACD＝CD·CAsin∠ACD
＝×2×4sin∠ACD＝，
解得sin∠ACD＝.
又因为△ACD为锐角三角形，
所以cos∠ACD＝＝，
在△ACD中，由余弦定理得AD2＝CA2＋CD2－2CA·CD·cos∠ACD＝42＋22－2×2×4×＝16，所以AD＝4，
在△ACD中，由正弦定理得＝，
则sin A＝·sin∠ACD＝，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以BC＝＝.
三角形中最值问题
一、求角的三角函数的最值
若△ABC的内角满足sin A＋sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________．
【解析】 由sin A＋sin B＝2sin C，结合正弦定理可得a＋b＝2c，所以cos C＝＝－≥( a＝ b时取等号)，故cos C的最小值是.
【答案】
在△ABC中，a2＋c2＝b2＋ac.
(1)求B的大小；
(2)求cos A＋cos C的最大值．
【解】 (1)由余弦定理和已知条件可得
cos B＝＝＝，
又因为0c，则＝________．
解析：由acos B－c－＝0及正弦定理可得sin AcosB－sin C－＝0.因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－－cos Asin B＝0，所以cos A＝－，即A＝.由余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b>c，所以＝2.
答案：2
9．(2020·河南郑州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC
的面积为S，且满足sin B＝.
(1)求sin Asin C；
(2)若4cos Acos C＝3，b＝，求△ABC的周长．
解：(1)因为△ABC的面积为S＝acsin B，sin B＝，
所以4××sin B＝b2，所以ac＝，
所以由正弦定理可得sin Asin C＝＝.
(2)因为4cos Acos C＝3，sin Asin C＝，
所以cos B＝－cos(A＋C)＝sin Asin C－cos Acos C＝－＝－，
因为b＝，所以ac＝＝＝＝8，
所以由余弦定理可得15＝a2＋c2＋ac＝(a＋c)2－ac＝－12，
解得a＋c＝3，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋.
10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B．
(1)求角B；
(2)若b＝2，tan C＝，求△ABC的面积．
解：(1)因为a2＋c2－b2＝abcos A＋a2cos B，所以由余弦定理，得2accos B＝abcos A＋a2cos B，
又a≠0，所以2ccos B＝bcos A＋acos B．由正弦定理，得2sin Ccos B＝sin Bcos A＋sin Acos B＝sin(A＋B)＝sin C，
又C∈(0，π)，sin C>0，所以cos B＝.
因为B∈，所以B＝.
(2)由tan C＝，C∈(0，π)，得sin C＝，cos C＝，所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得a＝＝＝6，所以△ABC的面积为absin C＝×6×2×＝6.
[综合题组练]
1．(2020·安徽六安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，b＝4，则△ABC的面积的最大值为( )
A．4 B．2
C．2 D．
解析：选A.因为在△ABC中，＝，
所以(2a－c)cos B＝bcos C，
所以(2sin A－sin C)cos B＝sin Bcos C，
所以2sin Acos B＝sin Ccos B＋sin Bcos C＝sin(B＋C)＝sin A，
所以cos B＝，即B＝，由余弦定理可得16＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，所以ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，
所以△ABC的面积S＝acsin B＝ac≤4.故选A.
2．(2020·江西抚州二模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acos A＝bcos C＋ccos B，b＋c＝3，则a的最小值为( )
A．1 B．
C．2 D．3
解析：选B.在△ABC中，因为3acos A＝bcos C＋ccos B，
所以3sin Acos A＝sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin(B＋C)＝sin A，
即3sin Acos A＝sin A，又A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos A＝.
因为b＋c＝3，所以两边平方可得b2＋c2＋2bc＝9，由b2＋c2≥2bc，可得9≥2bc＋2bc＝4bc，解得bc≤，当且仅当b＝c时等号成立，所以由a2＝b2＋c2－2bccos A，可得a2＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－≥9－×＝3，当且仅当b＝c时等号成立，所以a的最小值为.故选B.
3．(2020·湖北恩施2月质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
若cos B＝，b＝4，S△ABC＝4，则△ABC的周长为________．
解析：由cos B＝，得sin B＝，由三角形面积公式可得acsin B＝ac·＝4，则ac＝12①，由b2＝a2＋c2－2accos B，可得16＝a2＋c2－2×12×，则a2＋c2＝24②，联立①②可得a＝c＝2，所以△ABC的周长为4＋4.
答案：4＋4
4．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(a2＋b2－c2)(acos B＋bcos A)＝abc.若a＋b＝2，则c的取值范围为________．
解析：在△ABC中，因为(a2＋b2－c2)(acos B＋bcos A)＝abc，
所以(acos B＋bcos A)＝c，
由正、余弦定理可得2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，所以2cos Csin(A＋B)＝sin C，即2cos Csin C＝sin C，
又sin C≠0，所以cos C＝，因为C∈(0，π)，所以C＝，B＝－A，
所以由正弦定理＝＝，可得a＝，b＝，
因为a＋b＝2，所以＋＝2，
整理得c＝＝＝，
因为A∈，所以A＋∈，可得
sin∈，所以c＝∈[1，2)．
答案：[1，2)
5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin A＝acos.
(1)求角B的大小；
(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．
解：(1)在△ABC中，由正弦定理＝，可得bsin A＝asin B，又由bsin A＝acos，得asin B＝acos ，即sin B＝cos，可得tan B＝.又因为B∈(0，π)，可得B＝.
(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝，有b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故b＝.
由bsin A＝acos，可得sin A＝.因为a30°，
所以30°
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