2019年高考数学高分突破复习课件专题六 第2讲 33页

第 2 讲　基本初等函数、函数与方程 高考定位　 1. 掌握二次函数、分段函数、幂函数、指数函数、对数函数的图象性质； 2. 以基本初等函数为依托，考查函数与方程的关系、函数零点存在性定理； 3. 能利用函数解决简单的实际问题 . 解析　 f ( x ) ＝ ( x － 1) 2 ＋ a (e x － 1 ＋ e 1 － x ) － 1 ，令 t ＝ x － 1 ，则 g ( t ) ＝ f ( t ＋ 1) ＝ t 2 ＋ a (e t ＋ e － t ) － 1. ∵ g ( － t ) ＝ ( － t ) 2 ＋ a (e － t ＋ e t ) － 1 ＝ g ( t ) ， ∴ 函数 g ( t ) 为偶函数 . ∵ f ( x ) 有唯一零点， ∴ g ( t ) 也有唯一零点 . 又 g ( t ) 为偶函数，由偶函数的性质知 g (0) ＝ 0 ， 答案　 C 真 题 感 悟 答案 　 D 解析　 函数 g ( x ) ＝ f ( x ) ＋ x ＋ a 存在 2 个零点，即关于 x 的方程 f ( x ) ＝－ x － a 有 2 个不同的实根，即函数 f ( x ) 的图象与直线 y ＝－ x － a 有 2 个交点，作出直线 y ＝－ x － a 与函数 f ( x ) 的图象，如图所示，由图可知，－ a ≤ 1 ，解得 a ≥ － 1. 答案 　 C 4. (2017· 江苏卷 ) 某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元 / 次，一年的总存储费用为 4 x 万元 . 要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是 ________. 答案 　 30 1. 指数式与对数式的七个运算公式 考 点 整 合 2. 指数函数与对数函数的图象和性质 指数函数 y ＝ a x ( a >0 ， a ≠1) 与对数函数 y ＝ log a x ( a >0 ， a ≠1) 的图象和性质，分 0< a <1 ， a >1 两种情况，当 a >1 时，两函数在定义域内都为增函数，当 0< a <1 时，两函数在定义域内都为减函数 . 3. 函数的零点问题 ( 1) 函数 F ( x ) ＝ f ( x ) － g ( x ) 的零点就是方程 f ( x ) ＝ g ( x ) 的根，即函数 y ＝ f ( x ) 的图象与函数 y ＝ g ( x ) 的图象交点的横坐标 . ( 2) 确定函数零点的常用方法： ① 直接解方程法； ② 利用零点存在性定理； ③ 数形结合，利用两个函数图象的交点求解 . 4. 应用函数模型解决实际问题的一般程序 热点一　基本初等函数的图象与性质 【例 1 】 (1)(2018· 郑州一模 ) 若函数 y ＝ a | x | ( a >0 ，且 a ≠1) 的值域为 { y | y ≥ 1} ，则函数 y ＝ log a | x | 的图象大致是 ( 　　 ) 解析　 (1) 由于 y ＝ a | x | 的值域为 { y | y ≥ 1} ， ∴ a >1 ，则 y ＝ log a x 在 (0 ，＋ ∞) 上是增函数， 又函数 y ＝ log a | x | 的图象关于 y 轴对称 . 因此 y ＝ log a | x | 的图象应大致为选项 B. (2) ∵ f ( x ) ＝ log 2 ( ax － 1) 在 ( － 3 ，－ 2) 上为减函数， 答案 　 (1)B 　 (2)A 探究提高　 1. 指数函数、对数函数的图象和性质受底数 a 的影响，解决与指数、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数 a 的范围 . 2. 研究对数函数的性质，应注意真数与底数的限制条件 . 如求 f ( x ) ＝ ln( x 2 － 3 x ＋ 2) 的单调区间，只考虑 t ＝ x 2 － 3 x ＋ 2 与函数 y ＝ ln t 的单调性，忽视 t >0 的限制条件 . 【训练 1 】 (1) 函数 y ＝ ln | x | － x 2 的图象大致为 ( 　　 ) 解析　 (1) 函数 f ( x ) 的定义域为 (0 ，＋ ∞) ，且函数 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞) 上为增函数 . 答案 　 (1)C 　 (2)3 探究提高 　 1. 函数零点 ( 即方程的根 ) 的确定问题，常见的类型有： (1) 函数零点值大致存在区间的确定； (2) 零点个数的确定； (3) 两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定 . 2. 判断函数零点个数的主要方法： (1) 解方程 f ( x ) ＝ 0 ，直接求零点； (2) 利用零点存在定理； (3) 数形结合法：对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个能画出的函数图象交点问题 . 解析　 f ( x ) ＝ 2sin x cos x － x 2 ＝ sin 2 x － x 2 ，函数 f ( x ) 的零点个数可转化为函数 y 1 ＝ sin 2 x 与 y 2 ＝ x 2 图象的交点个数，在同一坐标系中画出 y 1 ＝ sin 2 x 与 y 2 ＝ x 2 的图象如图所示： 由图可知两函数图象有 2 个交点，则 f ( x ) 的零点个数为 2. 答案　 2 答案 　 (4 ， 8) 探究提高　 1. 求解本题的关键在于转化为研究函数 g ( x ) 的图象与 y ＝ a ( x ≤ 0) ， y ＝ 2 a ( x >0) 的交点个数问题：常见的错误是误认为 y ＝ 2 a ， y ＝ a 是两条直线，忽视 x 的限制条件 . 2. 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解 . 【训练 3 】 (2018· 湖北七校联考 ) 已知 f ( x ) 是奇函数且是 R 上的单调函数，若函数 y ＝ f (2 x 2 ＋ 1) ＋ f ( λ － x ) 只有一个零点，则实数 λ 的值是 ________. 此时 x ＝ 5 ，因此 f ( x ) 的最小值为 70. ∴ 隔热层修建 5 cm 厚时，总费用 f ( x ) 达到最小，最小值为 70 万元 . 探究提高　 解决函数实际应用题的两个关键点 (1) 认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题 . (2) 要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解 . 答案 　 B 1. 指数函数与对数函数的图象和性质受底数 a ( a >0 ，且 a ≠1) 的取值影响，解题时一定要注意讨论，并注意两类函数的定义域与值域所隐含条件的制约 . 2.(1) 忽略概念致误：函数的零点不是一个 “ 点 ” ，而是函数图象与 x 轴交点的横坐标 . ( 2) 零点存在性定理注意两点： ① 满足条件的零点可能不唯一； ② 不满足条件时，也可能有零点 . 3. 利用函数的零点求参数范围的主要方法： ( 1) 利用零点存在的判定定理构建不等式求解 . ( 2) 分离参数后转化为求函数的值域 ( 最值 ) 问题求解 . ( 3) 转化为两熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解 . 4. 构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法：