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  • 2021-06-15 发布

高中数学选修2-2课件1_7_2 定积分在物理中的应用

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1.7 定积分的简单应用 1.7.2 定积分在物理中的应用 问题提出 1. 以速度 v = v (t) 作变速直线运动的物体,在 a ≤ t ≤ b 时段内行驶的路程 s 等于什么? 2. 用定积分可以表示作变速直线运动的物体在某时段内的路程,利用微积分基本定理可以求定积分的值,因此,运用定积分可以解决物理中的某些计算问题 . 定积分在物 理中的应用 探究(一): 变速直线运动的路程 思考 1 : 一辆汽车在 1min 内的速度-时间曲线如图所示,那么汽车的速度 v 与时间 t 的函数关系是什么? 60 O 10 40 A B C 30 v (m/s) t(s) 60 O 10 40 A B C 30 v (m/s) t(s) 思考 2 : 汽车在 [0 , 10] , [10 , 40] , [40 , 60] (单位: s )三个时段内行驶的路程,用定积分分别如何表示? 60 O 10 40 A B C 30 v (m/s) t(s) 思考 3 : 根据定积分计算,汽车在这 1min 内行驶的路程是多少 m ? 60 O 10 40 A B C 30 v (m/s) t(s) = 150 = 900 = 300 思考 4 : 根据定积分的几何意义,如何计算汽车在这 1min 内行驶的路程? 60 O 10 40 A B C 30 v (m/s) t(s) 探究(二): 变力作功 思考 1 : 一物体在恒力 F (单位: N )的作用下做直线运动,如果物体沿着与 F 相同的方向移动了 s (单位: m ),则力 F 所作的功 W 等于多少? W = Fs 思考 2 : 如果物体在变力 F(x) 的作用下做直线运动,并且物体沿着与 F(x) 相同的方向从 x = a 移动到 x = b ( a < b ) ,那么如何计算变力 F(x) 所作的功 W ? 思考 3 : 如图,在弹性限度内,将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 x m 处,那么拉伸弹簧所需的力 F( x ) 与 x 的函数关系是什么? x F( x ) = kx , 其中 k 为弹力系数 . 思考 4 : 如果将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 l m 处,那么克服弹力所作的功为多少? l 例 1 一质点 A 以速度 v 1 (t) = 3t 2 + 1 ( m/s )在直线 l 上运动,另一质点 B 以速度 v 2 (t) = 10t ( m/s )也在直线 l 上运动,若两质点同时出发并同向运动,求经过多少时间,质点 A 比质点 B 多运动 5m ? 理论迁移 5s 例 2 在某介质内作变速直线运动的物体,经过时间 t( 单位: s) 所走过的路程 s = 4t 2 (单位: m ),若介质阻力 F 与物体的运动速度 v 成正比,且当 v = 10 m/s 时, F = 5N ,求物体在位移区间 [1 , 4] 内克服介质阻力所作的功 . 例 3 某汽车在高速公路上直线行驶,刹车后汽车的速度为 v (t) = 12 - 0.6t ( m/s ),求刹车后汽车需前进多少 m 才能停住? 120 m 1. 在物理中,定积分主要应用于求变速直线运动的位移和变力所作的功,其基本原理如下: 原理 1 (求变速直线运动的位移): 若物体运动的速度函数为 v (t) ,则物体在 a ≤t≤ b 时段内的位移是 : 小结作业 原理 2 (求变力所作的功): 如果物体在变力 F( x ) 的作用下做直线运动,则物体沿着与 F ( x ) 相同的方向从 x = a 移动到 x = b ( a < b ) 所作的功为 : 2. 利用定积分求变速直线运动的位移,其积分变量是时间,被积函数是速度对时间的函数;利用定积分求变力所作的功,其积分变量是位移,被积函数是力对位移的函数 . 作业: P59 练习: 1 , 2. P60 习题 1.7A 组: 2 , 3.

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