高中数学选修2-2课件1_7_2 定积分在物理中的应用 18页

1.7 定积分的简单应用 1.7.2 定积分在物理中的应用 问题提出 1. 以速度 v ＝ v (t) 作变速直线运动的物体，在 a ≤ t ≤ b 时段内行驶的路程 s 等于什么？ 2. 用定积分可以表示作变速直线运动的物体在某时段内的路程，利用微积分基本定理可以求定积分的值，因此，运用定积分可以解决物理中的某些计算问题 . 定积分在物 理中的应用 探究（一）： 变速直线运动的路程 思考 1 ： 一辆汽车在 1min 内的速度－时间曲线如图所示，那么汽车的速度 v 与时间 t 的函数关系是什么？ 60 O 10 40 A B C 30 v (m/s) t(s) 60 O 10 40 A B C 30 v (m/s) t(s) 思考 2 ： 汽车在 [0 ， 10] ， [10 ， 40] ， [40 ， 60] （单位： s ）三个时段内行驶的路程，用定积分分别如何表示？ 60 O 10 40 A B C 30 v (m/s) t(s) 思考 3 ： 根据定积分计算，汽车在这 1min 内行驶的路程是多少 m ？ 60 O 10 40 A B C 30 v (m/s) t(s) ＝ 150 ＝ 900 ＝ 300 思考 4 ： 根据定积分的几何意义，如何计算汽车在这 1min 内行驶的路程？ 60 O 10 40 A B C 30 v (m/s) t(s) 探究（二）： 变力作功 思考 1 ： 一物体在恒力 F （单位： N ）的作用下做直线运动，如果物体沿着与 F 相同的方向移动了 s （单位： m ），则力 F 所作的功 W 等于多少？ W ＝ Fs 思考 2 ： 如果物体在变力 F(x) 的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F(x) 相同的方向从 x ＝ a 移动到 x ＝ b ( a ＜ b ) ，那么如何计算变力 F(x) 所作的功 W ？ 思考 3 ： 如图，在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 x m 处，那么拉伸弹簧所需的力 F( x ) 与 x 的函数关系是什么？ x F( x ) ＝ kx ， 其中 k 为弹力系数 . 思考 4 ： 如果将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置 l m 处，那么克服弹力所作的功为多少？ l 例 1 一质点 A 以速度 v 1 (t) ＝ 3t 2 ＋ 1 （ m/s ）在直线 l 上运动，另一质点 B 以速度 v 2 (t) ＝ 10t （ m/s ）也在直线 l 上运动，若两质点同时出发并同向运动，求经过多少时间，质点 A 比质点 B 多运动 5m ？ 理论迁移 5s 例 2 在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间 t( 单位： s) 所走过的路程 s ＝ 4t 2 （单位： m ），若介质阻力 F 与物体的运动速度 v 成正比，且当 v ＝ 10 m/s 时， F ＝ 5N ，求物体在位移区间 [1 ， 4] 内克服介质阻力所作的功 . 例 3 某汽车在高速公路上直线行驶，刹车后汽车的速度为 v (t) ＝ 12 － 0.6t （ m/s ），求刹车后汽车需前进多少 m 才能停住？ 120 m 1. 在物理中，定积分主要应用于求变速直线运动的位移和变力所作的功，其基本原理如下： 原理 1 （求变速直线运动的位移）： 若物体运动的速度函数为 v (t) ，则物体在 a ≤t≤ b 时段内的位移是 : 小结作业 原理 2 （求变力所作的功）： 如果物体在变力 F( x ) 的作用下做直线运动，则物体沿着与 F ( x ) 相同的方向从 x ＝ a 移动到 x ＝ b ( a ＜ b ) 所作的功为 : 2. 利用定积分求变速直线运动的位移，其积分变量是时间，被积函数是速度对时间的函数；利用定积分求变力所作的功，其积分变量是位移，被积函数是力对位移的函数 . 作业： P59 练习： 1 ， 2. P60 习题 1.7A 组： 2 ， 3.