2018-2019学年广西南宁市“4 n”高中联合体高一下学期期末数学试题（解析版） 15页

‎2018-2019学年广西南宁市“4 n”高中联合体高一下学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则=（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据集合交集的概念，可直接得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为集合，，所以.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的交集运算，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎2．现要完成下列3项抽样调查：‎ ‎①从15种疫苗中抽取5种检测是否合格.‎ ‎②某中学共有480名教职工，其中一线教师360名，行政人员48名，后勤人员72名.为了解教职工对学校校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本.‎ ‎③某中学报告厅有28排，每排有35个座位，一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，需要请28名听众进行座谈.‎ 较为合理的抽样方法是（ ）‎ A．①简单随机抽样， ②分层抽样， ③系统抽样 B．①简单随机抽样， ②系统抽样， ③分层抽样 C．①系统抽样，②简单随机抽样， ③分层抽样 D．①分层抽样，②系统抽样， ③简单随机抽样 ‎【答案】A ‎【解析】①总体数量不多，适合用简单随机抽样；②共480名教职工，其中一线教师360名，行政人员48名，后勤人员72名，宜用分层抽样；③总体数量较多，宜用系统抽样。‎ ‎【详解】‎ ‎①总体数量较少，抽取样本数量较少，采用简单随机抽样；‎ ‎②不同岗位员工差异明显，且会影响到统计结果，因此采用分层抽样；‎ ‎③总体数量较多，且排数与抽取样本个数相同，因此采用系统抽样.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 总体数量不多，用简单随机抽样；个体有明显差异，用分层抽样；总体数量较大，用等距系统抽样。‎ ‎3．若角的终边经过点，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用三角函数的定义可得的三个三角函数值后可得正确的选项.‎ ‎【详解】‎ 因为角的终边经过点，故，‎ 所以，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的定义，属于基础题.‎ ‎4．过点且与直线垂直的直线方程是 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】与直线垂直的直线的斜率为，有过点，‎ ‎∴所求直线方程为：‎ 即 故选：C ‎5．若，则的终边在( )‎ A．第一或第二象限 B．第一或第三象限 C．第一或第四象限 D．第二或第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】分，和，两种情况讨论得解.‎ ‎【详解】‎ 若，，则的终边在第二象限；‎ 若，，则的终边在第四象限，‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数在各象限的符号，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎6．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（　　）‎ A．4 B．. C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】还原三视图为一个正方体中的一个四棱锥，依据题中数据即可得解。‎ ‎【详解】‎ 如下图，该几何体是边长为2的正方体中的一个四棱锥 所以，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三视图还原知识及锥体体积计算，考查空间思维能力，属于基础题。‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，则输出的值为( )‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎【答案】C ‎【解析】先判断是否成立，如果成立，进入循环体，直至，退出循环体，输出.‎ ‎【详解】‎ ‎，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了循环结构程序框图，找到退出循环体的条件很是重要.‎ ‎8．已知函数，将函数的图象向右平移后得到函数的图象，则下列描述正确的是（　　）‎ A．是函数的一个对称中心 B．是函数的一条对称轴 C．是函数的一个对称中心 D．是函数的一条对称轴 ‎【答案】D ‎【解析】利用函数的图象变换规律得出的解析式，再将题中的自变量与代入函数，根据余弦函数的图象及性质，得出结论．‎ ‎【详解】‎ 解：对于函数，将函数的图象向右平移后，‎ 得到函数的图象，‎ 则令，求得，为最小值，‎ 可得函数的一条对称轴为，‎ 故不是函数的一个对称中心 故D正确、而A不正确；‎ 令 ，求得，‎ 故的值不为最值，且 故B、C错误，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的图象变换规律，余弦函数的图象及其性质，对余弦函数的充分认识是解题的关键，属于基础题．‎ ‎9．圆心为点，并且截直线所得的弦长为的圆的方程（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设圆的半径为r，由题意可得弦心距， 求得，代入可得圆的标准方程。‎ ‎【详解】‎ 圆心到直线的距离，‎ 在直线上截的的弦长为8‎ 圆的半径 圆的方程为 故选：B ‎【点睛】‎ 求出圆心到直线的距离，可得圆的半径，即可求出圆的方程。‎ ‎10．函数的部分图象如图所示，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用图像可得A值，由周期性可得，代点可得值，可得函数解析式，代值计算可求。‎ ‎【详解】‎ 解：由题意和图像可得，，，解得 ‎，代入点可得 结合可得，‎ 故函数的解析式为 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了由的部分图像确定其解析式，考查了正弦函数的图像和性质，考查了数形结合思想。‎ ‎11．明清时期，古镇河口因水运而繁华．若有一商家从石塘沿水路顺水航行，前往河口，途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘，假设货船在静水中的速度不变，水流速度不变，若该船从石塘出发后所用的时间为x（小时）、货船距石塘的距离为y（千米），则下列各图中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可以得出各段过程中y随x变化而变化的趋势，即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：货船从石塘到停留一段时间前，y随x增大而增大；停留一段时间内，y随x增大而不变；解除故障到河口这段时间，y随x增大而增大；从河口到返回石塘这段时间，y随x增大而减少.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的图像，解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想，属于基础题.‎ ‎12．在直角三角形中，，，点在斜边的中线上，则的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由已知条件，可以建立以的方向为轴的正方向的直角坐标系， 求出三点的坐标，由于是斜边的中线，可以求出点坐标，设点的坐标，点在上，所以设，求出点的坐标，根据平面向量的数量积的坐标表示求出的表达式，利用二次函数求最值的方法，求出的最大值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以以的方向为轴的正方向，建立直角坐标系，如下图所示：‎ 所以 设，‎ 所以，，‎ ‎，所以当时，的最大值为，故本题选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量数量积的坐标表示、二次函数的最值，考查了数形结合、构造函数法，求出的坐标表达式，是解题的关键.‎ 二、填空题 ‎13．已知直线的方程为，则直线的倾斜角为______‎ ‎【答案】135°‎ ‎【解析】可得出直线的斜率，即，从而求出倾斜角。‎ ‎【详解】‎ 直线的方程为，设其倾斜角为，则斜率 故倾斜角为：‎ ‎【点睛】‎ 由直线求出斜率，再由求出倾斜角即可，属于基础简单题目。‎ ‎14．向量a，b的夹角为120°，且，则等于______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】表示出，，代入数据即可。‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 此题考查模长计算，把模长表示出来即可，属于基础题目。‎ ‎15．在区间上随机取一个数x，则的值在之间的概率为_________;‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：本题考察的是几何概型中的长度问题，由且，求得，从而得到所求概率.‎ ‎【考点】解三角不等式及几何概型.‎ ‎16．侧棱长为的正三棱锥的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，说明三棱锥是正方体的一个角，把三棱锥扩展为正方体，他们有相同的外接球，球的直径就是正方体的对角线，求出直径，即可求出表面积。‎ ‎【详解】‎ 侧棱长为的正三棱锥其实就是棱长为的正方体的一角，所以球的直径就是正方体的对角线，所以球的半径为，该球的表面积为 ‎【点睛】‎ 此类特殊的三个面都是直角的三棱锥可以看着是正方体或者长方体的顶角，求三棱锥的外接球直径转换为求立方体的体对角线，求表面积或者体积实际就是在求外接球半径。‎ 三、解答题 ‎17．已知，且为第二象限角．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求的值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求，利用诱导公式，二倍角公式即可计算得解；‎ ‎（Ⅱ）由已知利用二倍角的余弦函数公式可求cos2α的值，根据同角三角函数基本关系式可求tan2α的值，根据两角和的正切函数公式即可计算得解．‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由已知，得，‎ ‎∴．‎ ‎（Ⅱ）∵，得， ‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角公式，两角和的正切函数公式在三角函数化简求值中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．‎ ‎18．已知向量 ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求向量在方向上的投影.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】（1）由条件可得​，再利用坐标运算即可得解；‎ ‎（2）由计算得解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为=(λ,3),=(-2,4)，‎ 所以2+=（2 λ-2,10），‎ 又因为（2+​）⊥，‎ 所以​，‎ 解得：  =11；‎ ‎（2）由，‎ 可知，‎ ‎.‎ 即向量在方向上的投影为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量垂直的坐标表示，及向量投影的计算，属于基础题.‎ ‎19．如图所示，在三棱柱中，与都为正三角形，且平面，分别是的中点.‎ 求证：（1）平面平面；‎ ‎（2）平面平面.‎ ‎【答案】(1)见解析.(2)见解析.‎ ‎【解析】（1）由分别是的中点，证得，由线面平行的判定定理，可得平面，平面 ‎，再根据面面平行的判定定理，即可证得平面平面.‎ ‎（2）利用线面垂直的判定定理，可得平面，再利用面面垂直的判定定理，即可得到平面平面.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在三棱柱中，‎ 因为分别是的中点，所以，‎ 根据线面平行的判定定理，可得平面，平面 又，‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）在三棱柱中，平面，所以，‎ 又，，所以平面，‎ 而平面，所以平面平面.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直．‎ ‎20．下表是某地一家超市在2018年一月份某一周内周2到周6的时间与每天获得的利润（单位：万元）的有关数据．‎ 星期 星期2‎ 星期3‎ 星期4‎ 星期5‎ 星期6‎ 利润 ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎（1）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程；‎ ‎（2）估计星期日获得的利润为多少万元．‎ 参考公式： ‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】（1）根据表中所给数据，求出横标的平均数，把求得的数据代入线性回归方程的系数公式，利用最小二乘法得到结果，写出线性回归方程。（2）根据二问求得的线性回归方程，代入所给的的值，预报出销售价格的估计值，这个数字不是一个准确数值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可得，‎ ‎，‎ 因此，，‎ 所以，-‎ ‎ 所以；‎ ‎（2）由（1）可得，当时，（万元），‎ 即星期日估计活动的利润为10.1万元。‎ ‎【点睛】‎ 关键点通过参考公式求出，的值，通过线性回归方程求解的是一个估计值。‎ ‎21．已知向量， ，函数 ‎（1）求函数的单调增区间 ‎（2）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的值域.‎ ‎【答案】(1) 1， ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析： (1)由已知化简可得,可得最大值，利用周期公式可求的最小正周期; ‎ ‎(2)由图象变换得到,从而求函数的值域.‎ 试题解析：‎ 试题解析：(1) ‎ ‎ . 所以的最大值为1，最小正周期为. ‎ ‎(2)由(1)得.将函数的图象向左平移个单位后得到 的图象. 因此，又，所以，.故在上的值域为.‎ ‎22．树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．‎ ‎（1）求出的值；‎ ‎（2）现在要从年龄较小的第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取3人进行问卷调查，求第2组恰好抽到2人的概率.‎ ‎【答案】（1）0.035（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由频率分布直方图直接求出a。（2）第1，2组的人数分别为20人，30人，从第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1，2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为。设从5人中随机抽取3人，利用列举法能求出第2组中抽到2人的概率。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得 ‎（2）第1,2组抽取的人数分别为20人，30人，从第1,2组中用分层抽样的方法抽取5人，则第1,2组抽取的人数分别为2人，3人，分别记为.‎ 设从5人中随机抽取3人，为共10个基本事件 其中第2组恰好抽到2人包含共6个基本事件,‎ 从而第2组抽到2人的概率 ‎【点睛】‎ 根据直方图直接看图求值，题干要求用列举法即需要把所有情况都列举出来，再求概率，属于基础题目。‎