陕西省安康市2020届高三上学期12月阶段性考试文科数学试题 20页

安康市2019-2020学年第一学期高三阶段性考试数学试题（文科）‎ 一、选择题 ‎1.若复数，则（ ）‎ A. B. C. 1 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数模长的性质直接求解即可.‎ ‎【详解】因为,故.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查了复数模长的性质,属于基础题型.‎ ‎2.设集合，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用列举法写出B集合，再求交集．‎ ‎【详解】，‎ 故选D ‎【点睛】集合的运算--交集：取两个集合共同的元素．‎ ‎3.《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国古典小说四大名著.若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出基本事件总数，再求《红楼梦》被选中包括的基本事件个数，由此可计算出任取2种进行阅读，取到《红楼梦》的概率．‎ ‎【详解】4本名著选两本共有种，选取的两本中含有《红楼梦》的共有种，‎ 所以任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为．‎ 故选B ‎【点睛】本题考查古典概型，属于基础题．‎ ‎4.若α是第二象限角，且，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据角的范围可确定，利用同角三角函数的平方关系和商数关系可求得结果.‎ ‎【详解】是第二象限角 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查同角三角函数值的求解问题，属于基础题.‎ ‎5.已知，，，则（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数函数和指数函数单调性，利用临界值和可得到所处的大致范围，从而得到结果.‎ ‎【详解】 ‎ 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查根据指数函数和对数函数单调性比较大小的问题，关键是能够确定临界值，利用临界值确定所求式子所处的大致区间.‎ ‎6.已知满足不等式组，则的最大值为（ ）‎ A. 2 B. ‎-2 ‎C. 1 D. -1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域,再分析的截距的最大值即可.‎ ‎【详解】画出可行域为阴影部分,易得在即处取最大值,代入有 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了线性规划的一般问题,属于基础题型.‎ ‎7.函数的部分图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 图像分析采用排除法，利用奇偶性判断函数为奇函数，再利用特值确定函数的正负情况．‎ ‎【详解】，故奇函数，四个图像均符合．‎ 当时，，，排除C、D 当时，，，排除A．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】图像分析采用排除法，一般可供判断的主要有：奇偶性、周期性、单调性、及特殊值．‎ ‎8.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）‎ A. 32 B. ‎33 ‎C. 31 D. 34‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将利用累加改写赋值表达式,再分析当的情况即可.‎ ‎【详解】由图即.‎ 故当有.‎ 当时, ,下一步得.此时满足 下一步,下一步得.不满足退出.此时.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了框图与对数运算的综合问题,可将类的累加求和改写成和的结果的形式分析即可.属于中等题型.‎ ‎9.若曲线在点处的切线过点，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数的几何意义求解，取切线斜率列方程，求解参数，再求解单调区间．‎ ‎【详解】，‎ 求导 解得 ‎，则当时，．‎ 则的单调递增区间是．‎ 故选A ‎【点睛】导数几何意义：函数在某点处的导数等于切线的斜率．已知两点坐标也可求斜率．本题还考察了导数在研究函数性质中的应用．‎ ‎10.已知数列，满足，，，则数列的前10项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列、等比数列定义以及通项公式确定数列，通项公式，再根据分组求和法以及等比数列求和公式求结果.‎ ‎【详解】为以1为首项，2为公差的等差数列，所以 为以1为首项，2为公比的等比数列，所以 因此 所以其前10项的和为 故选：C ‎【点睛】本题考查等差数列、等比数列定义以及通项公式，考查分组求和以及等比数列求和，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎11.向量，且，则与所成角的余弦值是（ ）‎ A. B. C. D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 将两边平方,再利用得出即可得模长与夹角的关系,再求与所成角的余弦值即可.‎ ‎【详解】两边平方有 ‎.又有 设夹角为则,故.‎ 因为,故且夹角.‎ 不妨设.故 设与所成角为则 ‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了向量的基本运算,若已知模长关系与角度关系,可以直接利用向量的坐标表示进行计算从而简化运算量.属于中等题型.‎ ‎12.已知函数，，若方程有四个不等的实数根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由方程有四个不等的实数根，分，和三种情况分类讨论，结合二次函数的图象与性质，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，当时，由，解得或，‎ 又由，可得或，‎ 此时方程有两解，‎ 方程要有两解时，，解得，‎ 当时，由，即，可得只有一解，‎ 当时，由得或，‎ 又由化为或，方程有两解，‎ 只要两解，即方程有两解，则，解得 综上，.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中正确理解题意，合理利用二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，属于中档试题．‎ 二、填空题 ‎13.已知满足约束条件，若可行域为三角形，则的取值范围为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先作图，再根据图象确定的取值范围.‎ ‎【详解】作图如下，则 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用可行域求参数取值范围，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎14.某校高三年级有400名学生，在一次数学测试中，成绩都在（单位：分）内，其频率分布直方图如图，则这次测试数学成绩不低于100分的人数为_____.‎ ‎【答案】220‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据先由总频率为1计算出a的值，再频率分布直方图计算出数学成绩不低于100分的频率，再乘总人数即可．‎ ‎【详解】根据频率分布直方图知：；‎ 计算出数学成绩不低于100分的频率为：；‎ 所以这次测试数学成绩不低于100分的人数为人 ‎【点睛】本题考查频率分布直方图，需要注意的是频率分布直方图的纵坐标为频率 组距．属于基础题 ‎15.在中，内角所对的边分别为，若，，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题已知角度的关系可求得,再根据正弦定理求即可.‎ ‎【详解】由且可求得,‎ ‎.‎ 故.‎ 又由正弦定理 .‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理的运用以及和差角公式等.需要根据题中所给的信息决定所用的定理并计算,属于中等题型.‎ ‎16.已知函数，则的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数的导数，利用导数求得函数在一个周期内的单调性，进而求得函数的最值，得到答案．‎ ‎【详解】由题意，函数，则，‎ 令，即，解得，‎ 当时，的单调增区间为，单调减区间为，‎ 又由，，‎ 可得在一个周期内，函数最大值为，即函数的最大值为.‎ 故答案为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的最值问题，其中解答中熟记导数与原函数的单调性与极值（最值）之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17.已知等差数列的前项和为，且，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据条件列首项与公差的方程组，解出结果代入等差数列通项公式即可，‎ ‎（2）先判断成等比数列，再根据等比数列求和公式得通项公式，最后根据分组求和得结果.‎ ‎【详解】解：（1）设的首项为，公差为，因为，‎ 所以，，‎ 即，‎ 解得，‎ ‎∴.‎ ‎（2）因为是等差数列，所以，‎ 即为以4为公比的等比数列.‎ 所以 ‎∴‎ ‎【点睛】本题考查等差数列定义与通项公式、等比数列定义与通项公式以及等比数列求和公式、分组求和等，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎18.已知，.‎ ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）若，将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，求函数的表达式及的最小正周期.‎ ‎【答案】（1）（2），最小正周期为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由向量平行求解，再求，利用齐次式求解．‎ ‎（2）平面向量数量积运算求得解析式，经过图像平移，求解析式及周期．‎ ‎【详解】解：（1）由，得，，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2），‎ ‎，‎ ‎∴，‎ 最小正周期为.‎ ‎【点睛】（1）利用齐次式解决问题时候注意1的妙用．‎ ‎（2）平面向量数量积运算，满足实数的乘法分配律，可直接进行化简．‎ ‎19.在平面直角坐标系中，设的内角所对的边分别为，且，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）设，，且，与的夹角为，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用正弦定理得.再由平方与余弦定理求得进而求得即可.‎ ‎(2)将(1)所得的代入条件即可求得,.再利用平面向量的公式求解即可.‎ ‎【详解】（1）∵‎ ‎∴‎ ‎∴由正弦定理得 ‎∵‎ ‎∴‎ 根据余弦定理得：‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1）知,代入已知,并结合正弦定理得 ‎,解得或（舍去）‎ 所以,‎ ‎∴‎ 而 ‎∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边的用法以及余弦定理的用法等.同时也结合了向量的运用,属于中等题型.‎ ‎20.某单位40岁以上的女性职工共有60人，为了调查一下体重和年龄的关系，将这60人随机按1～60编号，用系统抽样的方法从中抽取10人，测量一下体重.‎ ‎（1）若被抽出的号码其中一个为7，则最后被抽出的号码是多少？‎ ‎（2）被抽取的10个人的体重（单位：），用茎叶图表示如图，求这10人体重的中位数与平均数；‎ ‎（3）从这10个人中体重超过的人中随机抽取2人，参加健康指导培训，求体重为的人被抽到的概率.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）中位数为,平均数为 ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据系统抽样确定抽取的号码间隔，再确定结果，‎ ‎（2）根据茎叶图确定中位数，根据平均数公式求平均数，‎ ‎（3）先确定体重超过人数，再确定总事件数以及所求事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.‎ ‎【详解】解：（1）因为是系统抽样，60人中抽取10个人，所以把60个号码按顺序分成10组，每6个号码一组，每组抽取一个号码，每个被抽取的号码间隔为6，因为7号是第二组第一个号码，所以最后一个号码为第10组第一个号码，即最后一个号码为55.‎ ‎（2）这10个人体重的中位数为71.5，‎ 平均数为.‎ ‎（3）10人中体重超过的有5人，从5个人中随机抽取2个人，共有10种不同的取法：‎ ‎，，，，，，，，，.体重为的人被抽到的情况有，，，.‎ 故所求概率 ‎【点睛】本题考查系统抽样、古典概型概率以及茎叶图求中位，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）若在上有解，求的取值范围；‎ ‎（3）设是函数的导函数，是函数的导函数，若函数的零点为，则点恰好就是该函数的对称中心.试求的值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式得方程，‎ ‎（2）先化简不等式，再利用参变分离法将二次不等式有解问题转化为对应函数最值问题，最后根据二次函数最值求结果，‎ ‎（3）根据对称中心性质得，再利用对称性求和.‎ ‎【详解】解：（1）因为 所以所求切线的斜率 又因为切点为 所以所求的切线方程为 ‎（2）因为，所以 因为在上有解，‎ 所以不小于在区间上的最小值.‎ 因为时，，‎ 所以的取值范围是.‎ ‎（3）因为，所以.‎ 令可得，‎ 所以函数的对称中心为，‎ 即如果，则，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查导数几何意义、不等式有解问题以及利用函数对称性求和，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎22.已知函数.‎ ‎（1）解关于的不等式；‎ ‎（2）若关于的不等式有解，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据绝对值定义化简不等式，转化为三个不等式组，最后求并集得结果，‎ ‎（2）先化简不等式，再根据绝对值三角不等式求最值，即得结果.‎ ‎【详解】解：（1）‎ 或或 或 所以，原不等式的解集为 ‎（2）有解 即有解 则即可.‎ 由于，‎ 当且仅当，即当时等号成立，故.‎ 所以，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查利用绝对值定义解不等式、不等式有解问题以及绝对值三角不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎23.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设曲线与曲线交于点，，求的长.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角函数平方关系消参数得曲线的直角坐标方程，注意参数取值范围，‎ ‎（2）先将直角坐标方程化为极坐标方程，再解点，两点极坐标，最后解三角形得结果.‎ ‎【详解】解：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），‎ 所以消去参数得，即曲线的直角坐标方程为 ‎（2）因为曲线直角坐标方程为，‎ 所以曲线的极坐标方程，‎ 即，与曲线:联立得 ‎，，‎ 所以（舍去），即，，‎ 所以，所以.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程化为直角坐标方程以及直角坐标方程化为极坐标方程，考查综合分析求解能力，属中档题.‎