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- 2021-06-15 发布
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河北省石家庄市第一中学2013-2014学年高二数学上学期期中试题 文 新人教A版
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题;每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项
中,只有一项是符合题目要求的。
1.若集合,,则满足条件的实数的个数有C
A.个 B.个 C.个 D.个
2. 已知是第二象限角,且,则的值为D
A. B. C. D.
3.设, 则 “”是“”的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A 若,则,即。若时,所以是的充分而不必要条件,选A.
4. 设为等差数列的前项和,,则= ( )
A. B. C. D.2
【答案】A
5.为了得到函数的图象,只需将函数的图象 C
A.向左平移个长度单位 B.向右平移个长度单位
C.向左平移个长度单位 D.向右平移个长度单位
6.若为平面内任一点且,则是 C
A.直角三角形或等腰三角形 B.等腰直角三角形
C.等腰三角形但不一定是直角三角形 D.直角三角形但不一定是等腰三角形
7.已知函数,则的解集为B
A. B.
C. D.
8. 有如图所示的正视图和俯视图的几何体中,体积最大的几何体的表面积为
( )
A.13 B.7+3 C. D.14
【答案】D由正视图和俯视图可知,该几何体可能是四棱柱或者是水平放置的三棱柱,或水平放置的圆柱.由图象可知四棱柱的体积最大.四棱柱的高为1,底面边长分别为1,3,所以表面积为,选 D.
10.在球心同侧有相距的两个平行截面,它们的面积分别为和,则球的表面积为
A. B. C. D.
11.已知是正数,且满足.那么的取值范围是B
A. B. C. D.
12.已知函数满足,且,分别是上的偶函数和奇函数,若使得不等式恒成立,则实数的取值范围是B
A. B. C. D.试卷II(90分)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.答案填在答题纸相应的空内.
13.已知抛物线的准线过双曲线的右焦点,则双曲线的离心率为 2 .
14. 直线与圆的公共点的个数为 2 .
15.如图所示的程序框图,运行相应的程序,如果输入某个正整数后,输出的
,那么的值为 .
16.有下面四个判断:
①命题:“设、,若,则”是一个假命题
②若“p或q”为真命题,则p、q均为真命题
③命题“、”的否定是:“、”
④若函数的图象关于原点对称,则
其中错误的有 ① ② ③ ④ .
三、解答题:本大题共6小题,共70分.请将解答过程书写在答题纸上,并写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知函数.
(Ⅰ)求函数的定义域;
(Ⅱ)若,求的值.
解:(Ⅰ)由题意,,
所以,.
函数的定义域为. ………………………4分
(Ⅱ)因为,所以,
,
, ………………………8分
将上式平方,得,
所以. ………………………10分
(Ⅰ)证明:因为点是菱形的对角线的交点,
所以是的中点.又点是棱的中点,
所以是的中位线,.
因为平面,平面,
所以平面. ………………………4分
(Ⅱ)证明:由题意,,
因为,所以,.
又因为菱形,所以.
因为,
所以平面,
因为平面,
所以平面平面. ……………………8分
(Ⅲ)解:三棱锥的体积等于三棱锥的体积.
由(Ⅱ)知,平面,
所以为三棱锥的高.
的面积为,
所求体积等于. ………………………12分
19. 如图,设是圆上的动点,点是在轴上的投影,为上一点,且.
(1)当在圆上运动时,求点的轨迹的方程;
(2)求过点且斜率为的直线被所截线段的长度.
解:(1)设的坐标为(x,y),的坐标为,
由已知得,∵在圆上,
∴,即轨迹C的方程为………………………5分
(2) 过点且斜率为的直线方程为,
设直线与的交点为,,
将直线方程代入的方程,得
,即x2-3x-8=0. ………………………8分
∴x1=,x2=.
∴线段的长度为
………………12分
20. 设数列满足:,
(I)求证:是等比数列;
(Ⅱ)设数列,求{bn}的前项和.
解:(I)由得
令,
得 则,
从而 .
又,
……………………………………10分
………………………………12分
21. 设函数且是定义域为的奇函数.
(1)求值;
(2)若,且,在上的最小值为,求的值.
解:(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数,∴f(0)=0,
∴1-(k-1)=0,∴k=2, ………………………4分
(2)∵f(1)=,,即
………………………6分
∴g(x)=22x+2-2x-2m(2x-2-x)=(2x-2-x)2-2m(2x-2-x)+2. ……………………8分
令t=f(x)=2x-2-x,
由(1)可知f(x)=2x-2-x为增函数,∵x≥1,∴t≥f(1)=,
令h(t)=t2-2mt+2=(t-m)2+2-m2 (t≥)
若m≥,当t=m时,h(t)min=2-m2=-2,∴m=2
若m<,当t=时,h(t)min=-3m=-2,解得m=>,舍去………………………11分
综上可知m=2. ………………………12分
22. 已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,离心率为,椭圆上的点到焦点距离的最大值为.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)若过点的直线与椭圆交于不同的两点,且,求实数的取值范围.
解:(Ⅰ)设所求的椭圆方程为:
由题意:
所求椭圆方程为:. ……………………4分
(Ⅱ)若过点的斜率不存在,则.
若过点的直线斜率为,即:时,
直线的方程为
由
因为和椭圆交于不同两点………………………6分
所以,
所以 ①
设
由已知,则 ②…………8分
③
将③代入②得: