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- 2021-06-15 发布
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1.3.3
函数的最大(小)值与导数
汽油的消耗量(单位:L)与
汽车的速度(单位:km/h)
之间有一定的关系,汽油的
消耗量是汽车速度的函数.
根据你的生活经验,思考
下面两个问题:
(
1
)
是不是汽车的速度越快,汽油
的消耗量越大
; (
2
)
“汽油的使用率最高”的含义是什么?
解析
:
(
1
)显然不是;
(
2
)行驶里程一定
,
汽油消耗量最小
.
今天我们来学习有关最大值与最小值的问题!
飞驰的汽车
1.
借助函数图象,直观地理解函数的最大值和
最小值概念
.
2.
弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值
的区别与联系,理解和熟悉函数必有最大值
和最小值的充分条件
.
(
重点
)
3.
掌握求在闭区间上连续的函数的最大值和
最小值的思想方法和步骤
.
(
难点
)
在社会生活实践中,为了发挥最大的经济效益,常常遇到如何能使用料最省、产量最高、效益最大等问题,这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题
.
函数在什么条件下一定有最大、最小值?它们与函数极值关系如何?
极值是一个局部概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小
,
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小
.
探究点 函数的最大(小)值与导数
一般地,设函数
y=f(x)
的定义域为
I
,如果存在实数
M
满足:
最大值与最小值的概念
(
1
)对于任意的
x∈I
,都有
f(x)≤M;
(
2
)存在
x
0
∈I
,使得
f(x
0
) = M
那么,称
M
是函数
y=f(x)
的最大值
.
一般地,设函数
y=f(x)
的定义域为
I
,如果存在实数
M
满足:
(
1
)对于任意的
x∈I
,都有
f(x)≥M;
(
2
)存在
x
0
∈I
,使得
f(x
0
) = M
那么,称
M
是函数
y=f(x)
的最小值
.
4
例
2
求函数
y
=
x
4
-
2
x
2
+
5
在区间
[-2,2]
上的最大值与最小值
.
解
:
令
,
解得
x
=-1
,
0
,
1.
当
x
变化时
,
的变化情况如下表
:
从上表可知,最大值是
13
,最小值是
4.
13
4
5
↗
4
↘
13
0
-
0
+
0
-
2
(1,2)
1
(0,1)
0
(-1,0)
-1
(-2,-1)
-2
y
x
y
¢
+
↘
↗
1.
函数的最值概念是全局性的
2.
函数的最大值(最小值)唯一
3.
函数的最值可在端点处取得
总结提升
函数
f(x)=x
³-3x+1
在闭区间
[-3,0]
上的最大值、
最小值分别是( )
1
,-
1 B. 1
,
-17
C. 3
,
-17 D. 9
,
-19
C
2.
函数
f(x)
的定义域为
R
,导函数
f
′
(x)
的图象
如图,则函数
f(x)
( )
无极大值点,有两个极小值点
有三个极大值点,两个极小值点
有两个极大值点,两个极小值点
有四个极大值点,
无极小值点
C
x
o
y
f ´(x)
3.
设函数 则
( )
A
.有最大值
B
.
有最小值
C
.
是增函数
D
.
是减函数
A
A
5.
已知
f(x)=2x
3
-6x
2
+m
(
m
为常数),在
[-2 , 2]
上
有最大值
3
,函数在
[-2 , 2]
上的最小值为
____.
-37
6.
函数
f(x)=x
3
+ax+b
,满足
f(0)=0
,且在
x=1
时取
得极小值,则实数
a
的值为
_____.
-3
7.
若函数 的最大值为
3,
最小值为
-29,
求
a,b
的值
.
解
:
令 得
x=0, x=4
(舍去)
.
当
x
变化时
, ,f(x)
的变化情况如下表
:
x
-1
(-1,0)
0
(0,2)
2
f’(x)
+
0
-
0
f(x)
-7a+b
↗
b
↘
-16a+b
由表知
,
当
x=0
时
,f(x)
取得最大值
b,
故
b=3.
又
f(-1)-f(2)=9a>0,
所以
f(x)
的最小值为
f(2)=-16a+3=-29,
故
a=2.
1.
求在
[a,b]
上连续
,(a,b)
上可导的函数
f(x)
在
[a,b]
上的最值的步骤
:
(1)
求
f(x)
在
(a,b)
内的极值
;
(2)
将
f(x)
的各极值与
f(a)
,
f(b)
比较
,
其中最大的一个是最大值
,
最小的一个是最小值
.
一是利用函数性质
二是利用不等式
三是利用导数
2.
求函数最值的一般方法:
3.
求函数的最值时
,
应注意以下几点
:
(1)
要正确区分极值与最值这两个概念
.
(2)
在
[a,b]
上连续
,(a,b)
上可导的函数
f(x)
在
(a,b)
内未必有最大值与最小值
.
(3)
一旦给出的函数在
(a,b)
上有个别不可导点的话
,
不要忘记在步骤
(2)
中
,
要把这些点的函数值与各极值和
f(a)
,
f(b)
放在一起比较
.
苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴
.