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- 2021-06-15 发布
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江苏百校联考高三年级第三次考试
数学试卷
考试时间：120分钟 总分：160分
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1、若，，则下图中阴影表示的集合为______.
答案：
解：韦恩图表示的是，由，，则
2、 已知命题，，则是成立的_______条件．（从充分不必要、必要不充分、既不充分有不必要、充要条件中选一个填）
答案：必要不充分
解：由，解得，所以是成立的必要不充分条件
3、 已知是虚数单位，则复数的共轭复数的模为 ．
答案：
解：因为，整理得，则，所以共轭复数的模为.
4、 设向量，，若，则实数的值为 ．
答案：1
解：因为，所以，解得
5、 函数的单调减区间为 ．
答案：
解：因为，则，令解得，所以函数的单调递减区间为
2、 已知双曲线的离心率为，且过点，则双曲线的焦距等于 ．
答案：8
解：由题意得又解得，双曲线的焦距为
7、 设变量，满足约束条件，则目标函数的取值范围为 ．
答案：
解：画出可行域，可得答案为
8、 已知函数，则的值为 ．
答案：7
解：
所以
9、 如图，在正三棱锥中，，为棱的中点，若的面积为，则三棱锥的体积为______.
答案：
解：由题意得正三棱锥为正四面体，每个面都为等边三角形，可得△BCE为等腰三角形且BE=CE,
因为点E为AD中点，设DE=x，则正四面体的棱长为2x，BE=CE=，EM=,
又因为的面积为，则，解得，三棱锥的高求得为，
所以三棱锥的体积=
7、 若将函数图像上所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），得到函数的图像，则的最小值为______.
答案：
解：图像上所有点的横坐标向右平移个单位长度得，则和相同，所以，，解得，因为，所以时，的最小值为
8、 在中，点为边的中点，且满足，则的最小值为___.
答案：2
解：因为为边，所以，代入得
所以，则
整理得，所以，即，所以
(当且仅当时取等，即)
7、 已知函数，若方程有4个不等的实根，则实数的取值集合为______.
8、 已知数列的各项均为正数，其前项和为满足，，设，
为数列的前项和，则______.
9、 设点，为圆上的两点，为坐标原点，点且，，
则面积的最大值为______.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤
15、（本小题满分14分）
设的内角，，的对边分别为，，，满足.
（1） 求角的大小；
（2） 已知，求的值.
16、（本小题满分14分）
如图，在三棱柱中，已知，，为棱的中点，且平面与棱柱的下底面交于.
（1） 求证：∥平面.
（2） 求证：.
17、（本小题满分14分）
如图，某同学在素质教育基地通过自己设计、选料、制作，打磨出了一个作品，作品由三根木棒，，组成，三根木棒有相同的端点（粗细忽略不计），且四点在同一平面内，，，木棒可绕点任意旋转，设的中点为.
（1） 当时，求的长；
（2） 当木棒绕点任意旋转时，求的长的范围.
18、（本小题满分16分）
在直角坐标系中，已知椭圆，若圆的一条切线与椭圆有两个交点，且.
（1） 求圆的方程；
（2） 已知椭圆的上顶点为，点在圆上，直线与椭圆相交于另一点，且，求直线的方程.
19、（本小题满分16分）
已知函数，，.
（1） 若曲线在处的切线与曲线相切，求的值；
（2） 当时，函数的图象恒在函数的图象的下方，求的取值范围；
（3） 若函数恰有2个不相等的零点，求实数的取值范围.
[来源:Zxxk.Com]
20、（本小题满分16分）
已知数列，若对任意的，，，存在正数使得，则称数列具有守恒性质，其中最小的称为数列的守恒数，记为.
（1） 若数列是等差数列且公差为，前项和记为.
①证明：数列具有守恒性质，并求出其守恒数。
②数列是否具有守恒性质？并说明理由.
（2）若首项为1且公比不为1的正项等比数列具有守恒性质，且，求公比值的集合.
[来源:学|科|网]
江苏百校联考高三年级第三次考试[来源:Zxxk.Com]
数学理科附加题
21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知线性变换是顺时针方向选择90°的旋转变换，其对应的矩阵为，线性变换对应的矩阵为，列向量.
（1） 写出矩阵，；
（2） 已知，试求的值.
B．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为，（为参数）.
（1） 求曲线的直角坐标方程和的标准方程；
（2） 点分别为曲线，上的动点，当长度最小时，试求点的坐标.
C．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）
设都是正数，求证：.
【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22、（本小题满分10分）
在四棱锥中，平面，是正三角形，，.
（1） 求平面与平面所成的锐二面角的大小；
（2） 点为线段上的一动点，设异面直线与直线所成角的大小为，当时，试确定点的位置.
[来源:学&科&网]
23、（本小题满分10分）
在直角坐标系中,已知抛物线上一点到焦点的距离为6，点为其准线上的任意-一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为.
(1) 求抛物线的方程;
(2)当点在轴上时，证明:为等腰直角三角形.
(3)证明:为直角三角形.
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