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- 2021-06-15 发布
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2017-2018学年河北省保定市高二下学期期末考试
数学(文科)
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足,则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.某幼儿园的一位老师在六一儿童节要给小朋友们(含小朋友甲和乙)每人赠送一本童话书。每个小朋友可以在《小熊维尼历险记》《安徒生童话》《秘密花园》《金银岛》这四本中任选一本,则小朋友甲和乙至少有一位选《秘密花园》的概率为( )
A. B. C. D.
4.设满足约束条件,目标函数,则( )
A.的最大值为 B.的最大值为
C.的最小值为 D.的最小值为
5.若双曲线的离心率大于,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
6.设有下面四个命题
若,则;
若,则;
若,则;
若,则.
其中真命题的个数为( )
A. B. C. D.
7.执行如图所示的程序框图,则输出的( )
A. B. C. D.
8.设为数列的前项和,,则( )
A. B. C. D.
9.若函数的图象与的图象都关于直线对称,则与的值分别为( )
A. B. C. D.
10.如图,格纸上小正方形的边长为,粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
11.已知点是抛物线上一点,是抛物线上异于的两点,
在轴上的射影分别为,若直线与直线的斜率之差为,是圆上一动点,则的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
12.已知定义域为正整数集的函数满足,则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知函数的解析式为这三个中的一个,若函数为上的奇函数,则 .
14.在平行四边形中,为线段的中点,若,则 .
15.若函数在上只有一个零点,则的取值范围为 .
16.中国古代数学的瑰宝——《九章算术》中涉及到一种非常独特的几何体——鳖擩,它是指四面皆为直角三角形的四面体.现有四面体为一个鳖擩,已知平面,,若该鳖擩的每个顶点都在球的表面上,则球的表面积为 .
三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17. 的内角所对的边分别为,已知.
(1)证明:;
(2)当取得最小值时,求的值.
18. 如图,在三棱锥中,两两垂直,,且
为线段的中点.
(1)证明:平面;
(2)若四棱锥的体积为,求三棱锥的侧面积.
19. 某机构为了调查某市同时符合条件与(条件:营养均衡,作息规律;条件:经常锻炼,劳逸结合)的高中男生的体重(单位:)与身高(单位: )是否存在较好的线性关系,该机构搜集了位满足条件的高中男生的数据,得到如下表格:
身高/
体重/
根据表中数据计算得到关于的线性回归方程对应的直线的斜率为.
(1)求关于的线性回归方程(精确到整数部分);
(2)已知,且当时,回归方程的拟合效果较好。试结合数据,判断(1)中的回归方程的拟合效果是否良好?
(3)该市某高中有位男生同时符合条件与,将这位男生的身高(单位:)的数据绘制成如下的茎叶图。利用(1)中的回归方程估计这位男生的体重未超过的所有男生体重(单位:)的平均数(结果精确到整数部分).
20. 已知椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为,点与点
分别为椭圆的上顶点与左焦点,且的面积为(点为坐标原点).
(1)求的方程;
(2)直线过且与椭圆交于两点,且的面积为,求的斜率.
21.已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)是否存在非负实数,使得在上的最大值为?请证明你的结论.
请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),以直角坐标系的原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立坐标系,圆的极坐标方程为.
(1)求圆的直角坐标方程(化为标准方程)及曲线的普通方程;
(2)若圆与曲线的公共弦长为,求的值.
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)求不等式的解集;
(3)若函数的最小值不小于的最小值,求的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-5:AABDD 6-10:CCCDC 11、12:BA
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解:(1)∵,
∴
即
∵,
∴.
(2)
当且仅当,即时,取等号.
∵,
∴
18.(1)证明:因为,为线段的中点,
所以.
又两两垂直,且
所以平面,则.
因为,
所以平面.
(2)解:设,
则,
因为平面,
所以
解得.
因为
易知为正三角形,则
故三棱锥的侧面积为.
19.解(1)依题意可知,
∵,
∴,
故关于的线性回归方程为.
(2)∵
∴,
故(1)中的回归方程的拟合效果良好.
(3)令,得,
故这位男生中未超过的所有男生的身高(单位:)为
这为男生体重的平均数
故这位男生中体重未超过的所有男生体重的平均数为.
20.解:(1)∵的面积为,
∴,即.
又∵椭圆的四个顶点围成的菱形的面积为,
∴,即.
∴,
∴
∴,
∴的方程为.
(2)设直线的方程为,
联立,可得,
∴,
∴
∴
依题意可得,
整理得,
则,
∴
21.解:(1),
当时,在上单调递增.
当时,令,得;
令,得.
令,得.
∴在上单调递增,在上单调递减.
(2)当时,在上单调递增,无最大值,故不合题意.
当时,由(1)知,
设,
则,
令,得
易得,
从而,
故不存在非负实数,使得在上的最大值为.
22.解:(1)由,得,
所以,
即,
故曲线的直角坐标方程为.
曲线的普通方程为
(2)联立,得
因为圆的直径为,且圆与曲线的公共弦长为,
所以直线经过圆的圆心,
则,
又
所以
23.解(1)由,得,
∴或或
解得,故不等式的解集为.
(2)∵,
∴的最小值为.
∵,
∴,
则或,
解得.