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- 2021-06-15 发布
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3.2.2
复数代数形式的乘除运算
已知两复数
z
1
=a+bi
，
z
2
=c+di (a
，
b
，
c
，
d∈R)
(a+bi)±(c+di) =________________.
1.
加法、减法的运算法则
2.
加法运算律：
对任意
z
1
，
z
2
，
z
3
∈C
z
1
+z
2
=z
2
+z
1
,
(z
1
+z
2
)+z
3
=z
1
+(z
2
+z
3
)
交换律：
结合律：
(a±c)+(b±d)i
已知两复数
z
1
=a+bi
，
z
2
=c+di (a
，
b
，
c
，
d∈R)
3.
复数加、减的几何意义
设
OZ
1
，
OZ
2
分别与复数
z
1
=a+bi
，
z
2
=c+di
对应
.
x
o
y
Z
1
(a
，
b)
Z
2
(c
，
d)
Z
o
x
y
Z
2
(c
，
d)
Z
1
(a
，
b)
向量
OZ
1
+OZ
2
z
1
+z
2
向量
OZ
1
-OZ
2
z
1
-z
2
复平面中点
Z
1
与点
Z
2
间的距离
|z
1
-z
2
|
表示：
_________
______________.
已知两复数
z
1
=a+bi
，
z
2
=c+di (a
，
b
，
c
，
d∈R)
4.
复数模的几何意义：
Z
1
(a
，
b)
o
x
y
Z
2
(c
，
d)
特别地，
|z|
表示：
______________________.
复平面中点
Z
与原点间的距 离
如：
|z+(1+2i)|
表示：
_________________
_______________.
点
(-1
，
-2)
的距离
点
Z(
对应复数
z)
到
掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则
.
（重点）
2.
对复数除法法则的运用
.
（难点）
3.
乘法的运算法则与运算律
.
4.
共轭复数的定义是什么
.
探究点
1
复数乘法运算
我们规定，复数乘法法则如下：
设
z
1
=a+bi,z
2
=c+di
是任意两个复数，那么它们的乘积为：
(
a+bi
)(
c+di
)= ac+adi+bci+bdi
2
= ac+adi+bci-bd
= (ac-bd)+(ad+bc)i.
即
(
a+bi
)(
c+di
)= (ac-bd)+(ad+bc)i
注意：
两个复数的积是一个确定的复数
.
探究点
2
复数乘法的运算律
复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？
请验证乘法是否满足交换律
?
对任意复数
z
1
=a+bi,z
2
=c+di
则
z
1
·z
2
=(
a+bi
)(
c+di
)=ac+adi+bci+bdi
2
=ac+adi+bci-bd =(ac-bd)+(ad+bc)i
而
z
2
·z
1
= (
c+di
)(
a+bi
)=ac+bci+adi+bdi
2
=(ac-bd)+(ad+bc)i
所以
z
1
·
z
2
=z
2
·
z
1
(
交换律
)
乘法运算律
对任意
z
1
,z
2
,z
3
∈C,
有
z
1
·z
2
=z
2
·z
1
(
交换律
)
(z
1
·z
2
)·z
3
= z
1
·(z
2
·z
3
)
(
结合律
)
z
1
(z
2
+z
3
)=z
1
·z
2
+z
1
·z
3
(
分配律
)
例
1
计算
(1-2i)(3+4i)(-2+i).
解
:
(1-2i)(3+4i)(-2+i)
=(11-2i)(-2+i)
=-20+15i.
分析：
类似两个多项式相乘，把
i
2
换成
-1
例
2
计算
:(1) (3+4i)(3-4i);
(2) (1+i)
2
.
解
:
(1)(3+4i)(3-4i)
=3
2
-(4i)
2
=9-(-16)
=25.
(2)(1+i)
2
=1+2i+i
2
=1+2i-1
=2i.
【
总结提升
】
（
1
）实数集中的乘法公式在复数集中仍然成立；
（
2
）复数的混合运算也是先乘方，再乘除，最后加减，有括号应先处理括号里面的．
探究点
3
共轭复数的定义
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为
共轭复数
.
虚部不等于０的两个共轭复数也叫做
共轭虚数
.
实数
的共轭复数是它本身
.
思考
：若
z
1
，
z
2
是共轭复数，那么
（１）在复平面内，它们所对应的点有怎样的位置关系？
（２）
z
1
·z
2
是一个怎样的数？
记法：
复数
z=
a+b
i
的共轭复数记作
=
a-b
i
解：
⑴作图
y
x
(a,b)
(a,-b)
z
1
=a+b
i
o
y
x
(a,0)
z
1
=a
o
x
y
z
1
=b
i
(0,b)
(0,-b)
o
得出结论：
在复平面内，共轭复数
z
1
,z
2
所对应的点关于
实轴
对称
.
⑵
令
z
1
=a+b
i,
则
z
2
=a-b
i
则
z
1
·z
2
=(a+b
i
)(a-b
i
)
=a
2
-ab
i
+ab
i
-b
2
i
2
=a
2
+b
2
结论：
任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数
.
探究点
4
共轭复数
的相关运算性质
探究点
5
复数除法的法则
类比实数的除法是乘法的逆运算，我们规定复数的除法是乘法的逆运算
.
试探求复数除法的法则
.
复数除法的法则是
:
方法
:
在进行复数除法运算时
,
通常先把
在作根式除法时
,
分子分母都乘以分母的“有理化因式”
,
从而使分母“有理化”
.
这里分子分母都乘以分母的“实数化因式”
(
共轭复数
),
从而使分母“实数化”
.
先写成分式形式
然后分母实数化
,
分子分母同时乘以分母的共轭复数
结果化简成代数形式
B
2.
若复数
z=1+i (i
为虚数单位
)
是
z
的共轭复数 ，
则
+
的虚部为（
）
A. 0 B. -1 C. 1 D. -2
3.
（
2014
·新课标全国
卷
Ⅱ
）
( )
A
．
B. C. D.
B
A
5.
已知方程
x
2
-
2
x
+2=0
有两虚根为
x
1
,
x
2
,
求
x
1
4
+
x
2
4
的值
.
注
:
在复数范围内方程的根与系数的关系仍适用
.
i
i
1.
复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结果中把
i
2
换成－
1
，并且把实部和虚部分别合并
.
2.
实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立
.
3.
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为
共轭复数
.
虚部不等于０的两个共轭复数也叫做
共轭虚数
.
实数
的共轭复数是它本身
.
4.
复数代数形式的除法实质：分母实数化
.
男儿不展风云志，空负天生八尺躯
.
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