2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第十二章素养提升6　高考中概率、统计解答题的提分策略 4页

www.ks5u.com 素养提升6　高考中概率、统计解答题的提分策略 素养解读　1.概率、统计解答题是高考中相对独立的一块内容,处理问题的方式、方法体现了较高的思维能力.该类问题以应用题为载体,注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、转化与化归能力.‎ ‎2.概率问题的核心是概率计算,而用频率估计概率、古典概型、几何概型是概率计算的核心,统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法,重点是频率分布直方图,茎叶图和样本的数字特征.概率与统计相互渗透,背景新颖,充分体现了概率、统计的工具性和交汇性.‎ ‎1[2019全国卷Ⅰ,17,12分][文]某商场为提高服务质量,随机调查了50名男顾客和50名女顾客,每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价,得到下面列联表:‎ 满意 不满意 男顾客 ‎40‎ ‎10‎ 女顾客 ‎30‎ ‎20‎ ‎(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;‎ ‎(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?‎ 附:K2=n(ad - bc‎)‎‎2‎‎(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)‎.‎ P(K2≥k)‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎(1)由题中表格可知,50名男顾客中对该商场服务满意的有40人,所以男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为‎40‎‎50‎=0.8,①‎ ‎50名女顾客中对该商场服务满意的有30人,所以女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为‎30‎‎50‎=0.6.②‎ ‎(2)由列联表可知K2的观测值k=‎100×(40×20 - 30×10‎‎)‎‎2‎‎50×50×70×30‎≈4.762>3.841,③‎ 故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.④‎ 感悟升华 阅卷 现场 得分点 第(1)问采 点得分说明 ‎①男顾客对该商场服务满意的概率估计正确得3分;‎ ‎②女顾客对该商场服务满意的概率估计正确得3分.‎ ‎6分 第(2)问采 点得分说明 ‎③K2的观测值k计算正确得4分;‎ ‎④做出判断得2分.‎ ‎6分 ‎1.概率与统计问题需要从数据中获取有用的信息,通过数据的筛选、分析,构建相关模型.‎ 要特别注意从表格、直方图、茎叶图中获取信息,并利用图表信息进行数据分析.‎ ‎2.解题的关键在“辨”——辨析、辨型、辨图,只要找到模型,问题便迎刃而解,而概率统计模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程,同时,还需清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系,注意放回和不放回试验的区别.‎ ‎3.会套用线性回归方程、K2公式,并能够进一步求值与分析. ‎ 答题 策略 ‎2[2015安徽,17,12分][文]某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图(如图6 - 1所示),其中样本数据分组区间为:[40,50),[50,60),…,[80,90),[90,100].‎ ‎ (Ⅰ)求频率分布直方图中a的值;‎ ‎(Ⅱ)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率;‎ ‎(Ⅲ)从评分在[40,60)的受访职工中,随机抽取2人,求此2人的评分都在[40,50)的概率.‎ ‎(Ⅰ)利用频率分布直方图中所有小矩形的面积和为1,即可求解a的值;(Ⅱ)求出后两组的频率和即可;(Ⅲ)先列举出所有的基本事件和满足要求的基本事件,再利用古典概型的概率计算公式求解.‎ ‎(Ⅰ)因为(0.004+a+0.018+0.022×2+0.028)×10=1,所以a=0.006.3分 ‎(Ⅱ)由所给频率分布直方图知,50名受访职工的评分不低于80的频率为(0.022+0.018)×10=0.4,‎ 所以估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为0.4.5分 ‎(Ⅲ)受访职工中评分在[50,60)的有50×0.006×10=3(人),分别记为A1,A2,A3;‎ 受访职工中评分在[40,50)的有50×0.004×10=2(人),分别记为B1,B2.8分 从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果有10种,它们是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},11分 其中所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种,即{B1,B2},故所求的概率为‎1‎‎10‎.12分 感悟升华 素养探源 素养 考查途径 直观想象 对频率分布直方图的理解和应用.‎ 数学运算 根据各矩形面积和为1列方程求参数;基本事件的列举和概率的计算.‎ 数学建模 把实际问题抽象为古典概型问题.‎ 得分要点 ‎①得步骤分:步骤要规范,求解要完整.解题步骤中常见的失分点如下.第(2)问中,不会用频率估计概率,第(3)问中步骤不完整,没有指出基本事件总数与满足要求的基本事件包含的基本事件个数,或者只指出事件个数,没有一一列举出10个基本事件及满足要求的基本事件,导致失3分或2分.‎ ‎②得关键分.如第(1)问中,需正确求得a=0.006;第(3)问中,需列出10个基本事件,错写、多写、少写均不得分.‎ ‎③得计算分.如第(1)问和第(2)问中,要厘清频率分布直方图的意义,计算正确,否则将导致后续皆错而大量失分.第(3)问中需利用“频数、样本容量、频率之间的关系”正确求得各区间的人数,并准确列出基本事件,正确计算概率.‎ ‎3[2018全国卷Ⅱ,18,12分][文]图6 - 2是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:y‎＾‎= - 30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②:y‎＾‎=99+17.5t.‎ 图6 - 2‎ ‎(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值.‎ ‎(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.‎ ‎(1)将t=19与t=9分别代入线性回归模型①与②,可求得2018年的环境基础设施投资额的预测值.(2)根据线性回归模型①与②,并结合已知的折线图进行分析;也可以根据两个线性回归方程对2018年(或附近的其他年份)的环境基础设施投资额进行预报,分析它们与真实值产生的残差,进而分析两个模型的可靠性.‎ ‎(1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y‎＾‎= - 30.4+13.5×19=226.1(亿元).2分 利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y‎＾‎=99+17.5×9=256.5(亿元).4分 ‎(2)利用模型②得到的预测值更可靠.5分 理由如下:‎ ‎(i)从图6 - 2可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y= - 30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016‎ 年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始,环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y‎＾‎=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.12分 ‎(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.12分 ‎(以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)‎ 感悟升华 素养 探源 素养 考查途径 数据分析 根据题目中的数据明确t,y的含义.‎ 数学建模 线性回归模型的应用.‎ 数学运算 求解预测值.‎ 失分 探源 ‎1.计算失误.如第(1)问中因计算错误而丢分.‎ ‎2.不善于运用所学的统计知识来分析解决问题,特别在第(2)问的说明理由过程中不能合理阐述,主要原因是平时学习以及备考中没有养成应用概率统计知识来分析和解决实际问题的习惯.因此我们应该强化数学应用意识.‎