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- 2021-06-15 发布
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湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟(三)
文科数学试题
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合,集合,设集合,则下列结论中正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求集合C,再根据集合与集合的关系判断即可.
【详解】由题设,,则,故
选.
【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,属于基础题.
2.若复数是纯虚数,其中是实数,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由纯虚数的定义可得m=0,故,化简可得.
【详解】复数z=m(m+1)+(m+1)i是纯虚数,故m(m+1)=0且(m+1)≠0,
解得m=0,故z=i,故i.
故选:B.
点睛】本题考查复数的分类和复数的乘除运算,属基础题.
3.设命题 (其中为常数),则“”是“命题
- 21 -
为真命题”( )
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充分且必要 D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】
命题p:x∈R,x2﹣4x+2m≥0(其中m为常数),由△=16﹣8m≤0,解得m范围即可判断出结论.
【详解】若命题为真,则对任意,恒成立,所以,即.因为,则“”是“命题为真”的必要不充分条件,
选.
【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
4.若,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.
【详解】因为,由诱导公式得,所以 .
故选:B
【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式,灵活掌握公式是关键,属于基础题.
5.某位教师2017年的家庭总收入为80000元,各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图,已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元,则该教师2018年的家庭总收入为( )
- 21 -
A. 100000元 B. 95000元 C. 90000元 D. 85000元
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出2017年的就医费用,从而求出2018年的就医费用,由此能求出该教师2018年的家庭总收入.
【详解】由已知得,2017年的就医费用为元,
年的就医费用为元,
该教师2018年的家庭总收入元.
故选:D.
【点睛】本题考查教师2018年的家庭总收入的求法,考查折线图和条形统计图的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.
6.已知是公差为的等差数列,为的前项和.若,,成等比数列,则( )
A. B. 35 C. D. 25
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件求首项,再根据等差数列求和公式得结果,
【详解】因为,,成等比数列,所以
- 21 -
,
因此,选C.
【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式,考查基本求解能力,属基础题.
7.函数的大致图象是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断奇偶性,再利用单调性进行判断,
【详解】由题是偶函数,其定义域是,且在上是增函数,
选.
【点睛】此题主要考查对数函数的图象及其性质,是一道基础题;
8.在长为的线段上任取一点,作一矩形,邻边长分別等于线段、的长,则该矩形面积小于的概率为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
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根据几何概型的概率公式,设AC=x,则BC=10﹣x,由矩形的面积S=x(10﹣x)<16可求x的范围,利用几何概率的求解公式求解.
【详解】设线段的长为,则线段长为,
那么矩形面积为,或,又,
所以该矩形面积小于的概率为.
故选:C
【点睛】本题考查几何概型,考查了一元二次不等式的解法,明确测度比为长度比是关键,是中档题.
9.已知向量,满足,且,则当变化时,的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由向量数量积得即可求解
【详解】由已知,,则,
因为,则,
选.
【点睛】本题考查向量数量积,向量的线性运算,是基础题
10.设点,是双曲线的两个焦点,点是双曲线上一点,若,则的面积是( )
- 21 -
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
据题意,,且,解得.
又,在中由余弦定理,得.
从而,所以
11.一艘海轮从处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南海里方向直线航行,30分钟后到达处,在处有一座灯塔,海轮在处观察灯塔,其方向是东偏南,在处观察灯塔,其方向是北偏东,那么、两点间的距离是( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
【答案】A
【解析】
如图,在中,,,则
;由正弦定理得,得,即B、C两点间的距离是10n mile.
考点:解三角形.
- 21 -
12.已知与函数关于点(,0)对称,与函数关于直线对称,若对任意,存在使成立,则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求f(x)和g(x)的解析式,设求其最大值-1,原题等价于存在使得,分离参数a,构造函数求其最值即可求解
详解】依题意得:,,
设,,,
所以在单调递增,所以,
故原题等价于存在使得,
,,故只需,
而在上单调递减,
而,所以,
故选.
【点睛】本题考查函数的对称性及解析式求法,考查不等式恒成立及有解问题,考查转化化归能力,是中档题
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二、填空题(将答案填在答题纸上).
13.已知函数的图像在点处的切线过点,则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
求得函数f(x)的导数,可得切线的斜率,由两点的斜率公式,解方程可得a的值.
【详解】,,
又因为,切点是,
切线方程是:,.
故答案为
【点睛】本题考查导数的几何意义,考查两点的斜率公式,以及方程思想和运算能力,属于基础题.
14.若圆的半径为1,圆心在第一象限,且与直线和轴都相切,则该圆的标准方程是_____
【答案】
【解析】
试题分析:由于圆的半径为1且与轴相切,所以可以假设圆心.又圆与直线相切.所以可得.解得,由圆心在第一象限.所以.所以圆的方程为.
考点:1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程.
15.若函数的图象经过点
- 21 -
,且相邻两条对称轴间的距离为.则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数f(x)的图象与性质求出T、ω和φ的值,写出f(x)的解析式,求出f()的值.
【详解】因为相邻两条对称轴的距离为,所以,,
所以,因为函数图象经过点,所以,
,,所以,所以.
故答案为.
【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题,熟记性质准确计算是关键,是基础题.
16.已知正四面体中,是棱的中点,是点在平面上的射影,则异面直线与所成角的余弦值为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
设点在平面上的射影为,得、、三点共线,且是的中点,得异面直线与所成角等于异面直线与所成角,即.在中求解即可
【详解】设点在平面上的射影为,则、、三点共线,且是的中点,
则异面直线与所成角等于异面直线与所成角,即.
设正四面体的棱长为2,则,,,
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所以中,.
故答案为
【点睛】本题考查异面直线所成的角及正四面体的基本性质,准确计算是解题关键,是基础题
三、解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.设数列的前项和为,已知.
(1)求数列的通项公式;
(2)令,求数列的前项和.
【答案】(1)(2)
【解析】
分析:(1)由求得,由时,可得的递推式,得其为等比数列,从而易得通项公式;
(2)根据(1)的结论,数列的前项和可用裂项相消法求得.
详解:(1)∵ ①
当时,,∴
当时, ②
由①-②得:
∴
∴是以为首项,公比为的等比数列
∴
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(2)∵
∴
点睛:设数列是等差数列,是等比数列,则数列,,的前项和求法分别为分组求和法,错位相减法,裂项相消法.
18.随着经济的发展,个人收入的提高.自2018年10月1日起,个人所得税起征点和税率的调整.调整如下:纳税人的工资、薪金所得,以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表,调整前后的计算方法如下表:
个人所得税税率表(调整前)
个人所得税税率表(调整后)
免征额3500元
免征额5000元
级数
全月应纳税所得额
税率(%)
级数
全月应纳税所得额
税率(%)
1
不超过1500元的部分
3
1
不超过3000元的部分
3
2
超过1500元至4500元的部分
10
2
超过3000元至12000元的部分
10
3
超过4500元至9000元的部分
20
3
超过12000元至25000元的部分
10
…
…
…
…
…
…
(1)假如小李某月的工资、薪金所得等税前收人总和不高于8000元,记表示总收人,表示应纳的税,试写出调整前后关于的函数表达式;
- 21 -
(2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入,并制成下面的频数分布表:
收入(元)
人数
30
40
10
8
7
5
先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人,再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员,求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率;
(3)小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时,请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少?
【答案】(1)调整前关于的表达式为,调整后关于的表达式为
(2)
(3)220元
【解析】
【分析】
(1)对收入的范围分类,求出对应的表达式即可。
(2)列出7人中抽取2人共21种情况,找出不在同一收入人群的有12种结果,问题得解。
(3)计算出小红按调整起征点前应纳个税为元,小红按调整起征点后应纳个税为元,问题得解。
【详解】解:(1)调整前关于的表达式为,
调整后关于的表达式为.
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(2)由频数分布表可知从及的人群中按分层抽样抽取7人,其中中占3人,分别记为,中占4人,分别记为1,2,3,4,再从这7人中选2人的所有组合有:,,,,,,,,,,,,,,,12,13,14,23,24,34,共21种情况,
其中不在同一收入人群的有:,,,,,,,,,,,,共12种,所以所求概率为.
(3)由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元,
按调整起征点前应纳个税为元;
按调整起征点后应纳个税为元,
由此可知,调整起征点后应纳个税少交220元,
即个人的实际收入增加了220元,
所以小红的实际收入增加了220元.
【点睛】本题主要考查了分段函数模型及古典概型概率计算,以及分段函数模型应用,考查转化能力及计算能力,属于基础题。
19.在梯形中(图1),,,,过、分别作的垂线,垂足分别为、,且,将梯形沿、同侧折起,使得,且,得空间几何体 (图2).直线与平面所成角的正切值是.
(1)求证:平面;
(2)求多面体的体积.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
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【分析】
(1)连接BE交AF于O,取AC的中点H,连接OH,可得OH∥CF,OH,再由已知DE∥CF,DE,可得四边形OEDH为平行四边形,则DH∥OE.由线面平行的判定可得EO∥面ACD,即BE∥面ACD;(2)证明平面,平面,利用求解即可
【详解】(1)连接交于点,取的中点,连接,,
因为四边形为矩形,则是的中位线,
所以且,
由已知得且,
所以且,
所以四边形为平行四边形,,
又因为平面,平面,
所以平面.
即平面;
(2)由已知,,,
可得平面,
又平面,所以平面平面,
又,所以平面,
设,,,
因为直线与平面所成角的正切值是,
所以,解得:,
,,
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.
【点睛】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用等积法求多面体的体积,是中档题.
20.已知点,直线,为平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,且.
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)设直线与轨迹交于两点,、,且 (,且为常数),过弦的中点作平行于轴的直线交轨迹于点,连接、.试判断的面积是否为定值,若是,求出该定值,若不是,请说明理由
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
【分析】
(1)设,得,向量坐标化得;(2)联立方程组消去,由得,由的中点,得点, ,结合即可证明定值
【详解】(1)设,则,
,
,
即,即,
所以动点的轨迹的方程.
(2)联立方程组消去,得,
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依题意,,且,,
由得,
即,
整理得:,所以,①
因为的中点,所以点,依题意,
,
由方程中的判别式,得,所以,
由①知,
所以,又为常数,故的面积为定值.
【点睛】本题考查抛物线方程,直线与抛物线的位置关系,定值问题,考察方程思想和转化化归能力,是中档题
21.已知函数,其中为实常数.
(1)若当时,在区间上的最大值为,求的值;
(2)对任意不同两点,,设直线的斜率为,若恒成立,求的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
(1)讨论与0,1,e的大小关系确定最值得a
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的方程即可求解;(2)原不等式化为,不妨设,整理得,设,当时,,得,分离,求其最值即可求解a的范围
详解】(1),令,则.
所以在上单调递增,在上单调递减.
①当,即时,在区间上单调递减,则,
由已知,,即,符合题意.
②当时,即时,在区间上单调递增,在上单调递减,
则,由已知,,即,不符合题意,舍去.
③当,即时,在区间上单调递增,则,
由已知,,即,不符合题意,舍去.
综上分析,.
(2)由题意,,则原不等式化为,
不妨设,则,即,
即.
设,则,
由已知,当时,不等式恒成立,则在上是增函数.
所以当时,,即,即恒成立,
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因为,当且仅当,即时取等号,所以.
故的取值范围是.
【点睛】本题考查函数的单调性,不等式恒成立问题,构造函数与分离变量求最值,分类讨论思想,转化化归能力,是中档题
22.选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为,( 为参数).直线与曲线分别交于、两点.
(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)若点的直角坐标为,,求的值.
【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为,直线的普通方程为.(2)
【解析】
【分析】
(1)由极坐标与普通方程互化,参数方程与普通方程互化直接求解即可;(2)将直线的参数方程代入,由韦达定理结合t的几何意义即可求解
【详解】(1)由,得,
所以曲线的直角坐标方程为,即,
由直线的参数方程得直线的普通方程为.
- 21 -
(2)将直线的参数方程代入,
化简并整理,得.
因为直线与曲线分别交于、两点,所以,
解得,由一元二次方程根与系数的关系,得
,,
又因为,所以.
因为点的直角坐标为,且在直线上,
所以,
解得,此时满足,故.
【点睛】本题考查极坐标与普通方程互化,参数方程与普通方程互化,直线参数方程,t的几何意义,准确计算是关键,是基础题
23.选修4-5:不等式选讲
已知函数.
(1)当时,解不等式;
(2)设不等式的解集为、,求实数的取值范围.
【答案】(1)或;(2).
【解析】
试题分析:(1)分段去绝对值求解即可;
(2)不等式的解集包含,所以不等式在恒成立,可得
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,即,所以,求解即可.
试题解析:
(1)当时,原不等式可化为.
①当时,原不等式可化为,解得,此时得不等式的解集为.②
当时,原不等式可化为,解得,此时得不等式的解集为.③当时,原不等式可化为,解得,此时得不等式的解集为.综上所述,当时,不等式可化为,的解集为或.
(2)不等式,因为不等式的解集包含,所以不等式在,所以不等式,所以可得,即,所以,解得,求实数的取值范围是.
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