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  • 2021-06-15 发布

湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟(三)数学(文)试题 Word版含解析

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www.ks5u.com 湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟(三)‎ 文科数学试题 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合,集合,设集合,则下列结论中正确的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求集合C,再根据集合与集合的关系判断即可.‎ ‎【详解】由题设,,则,故 选.‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用,属于基础题.‎ ‎2.若复数是纯虚数,其中是实数,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由纯虚数的定义可得m=0,故,化简可得.‎ ‎【详解】复数z=m(m+1)+(m+1)i是纯虚数,故m(m+1)=0且(m+1)≠0,‎ 解得m=0,故z=i,故i.‎ 故选:B.‎ 点睛】本题考查复数的分类和复数的乘除运算,属基础题.‎ ‎3.设命题 (其中为常数),则“”是“命题 - 21 -‎ 为真命题”( )‎ A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分且必要 D. 既不充分也不必要 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题p:x∈R,x2﹣4x+2m≥0(其中m为常数),由△=16﹣8m≤0,解得m范围即可判断出结论.‎ ‎【详解】若命题为真,则对任意,恒成立,所以,即.因为,则“”是“命题为真”的必要不充分条件,‎ 选.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.‎ ‎4.若,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.‎ ‎【详解】因为,由诱导公式得,所以 .‎ 故选:B ‎【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式,灵活掌握公式是关键,属于基础题.‎ ‎5.某位教师2017年的家庭总收入为80000元,各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图,已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元,则该教师2018年的家庭总收入为( )‎ - 21 -‎ A. 100000元 B. 95000元 C. 90000元 D. 85000元 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出2017年的就医费用,从而求出2018年的就医费用,由此能求出该教师2018年的家庭总收入.‎ ‎【详解】由已知得,2017年的就医费用为元,‎ 年的就医费用为元,‎ 该教师2018年的家庭总收入元.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查教师2018年的家庭总收入的求法,考查折线图和条形统计图的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.‎ ‎6.已知是公差为的等差数列,为的前项和.若,,成等比数列,则( )‎ A. B. 35 C. D. 25‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件求首项,再根据等差数列求和公式得结果,‎ ‎【详解】因为,,成等比数列,所以 - 21 -‎ ‎,‎ 因此,选C.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列通项公式与求和公式,考查基本求解能力,属基础题.‎ ‎7.函数的大致图象是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断奇偶性,再利用单调性进行判断,‎ ‎【详解】由题是偶函数,其定义域是,且在上是增函数,‎ 选.‎ ‎【点睛】此题主要考查对数函数的图象及其性质,是一道基础题;‎ ‎8.在长为的线段上任取一点,作一矩形,邻边长分別等于线段、的长,则该矩形面积小于的概率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 21 -‎ 根据几何概型的概率公式,设AC=x,则BC=10﹣x,由矩形的面积S=x(10﹣x)<16可求x的范围,利用几何概率的求解公式求解.‎ ‎【详解】设线段的长为,则线段长为,‎ 那么矩形面积为,或,又,‎ 所以该矩形面积小于的概率为.‎ 故选:C ‎【点睛】本题考查几何概型,考查了一元二次不等式的解法,明确测度比为长度比是关键,是中档题.‎ ‎9.已知向量,满足,且,则当变化时,的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量数量积得即可求解 ‎【详解】由已知,,则,‎ 因为,则,‎ 选.‎ ‎【点睛】本题考查向量数量积,向量的线性运算,是基础题 ‎10.设点,是双曲线的两个焦点,点是双曲线上一点,若,则的面积是( )‎ - 21 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 据题意,,且,解得.‎ 又,在中由余弦定理,得.‎ 从而,所以 ‎11.一艘海轮从处出发,以每小时40海里的速度沿东偏南海里方向直线航行,30分钟后到达处,在处有一座灯塔,海轮在处观察灯塔,其方向是东偏南,在处观察灯塔,其方向是北偏东,那么、两点间的距离是( )‎ A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图,在中,,,则 ‎;由正弦定理得,得,即B、C两点间的距离是10n mile.‎ 考点:解三角形.‎ - 21 -‎ ‎12.已知与函数关于点(,0)对称,与函数关于直线对称,若对任意,存在使成立,则实数的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求f(x)和g(x)的解析式,设求其最大值-1,原题等价于存在使得,分离参数a,构造函数求其最值即可求解 详解】依题意得:,,‎ 设,,,‎ 所以在单调递增,所以,‎ 故原题等价于存在使得,‎ ‎,,故只需,‎ 而在上单调递减,‎ 而,所以,‎ 故选.‎ ‎【点睛】本题考查函数的对称性及解析式求法,考查不等式恒成立及有解问题,考查转化化归能力,是中档题 - 21 -‎ 二、填空题(将答案填在答题纸上).‎ ‎13.已知函数的图像在点处的切线过点,则_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得函数f(x)的导数,可得切线的斜率,由两点的斜率公式,解方程可得a的值.‎ ‎【详解】,,‎ 又因为,切点是,‎ 切线方程是:,.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查导数的几何意义,考查两点的斜率公式,以及方程思想和运算能力,属于基础题.‎ ‎14.若圆的半径为1,圆心在第一象限,且与直线和轴都相切,则该圆的标准方程是_____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析:由于圆的半径为1且与轴相切,所以可以假设圆心.又圆与直线相切.所以可得.解得,由圆心在第一象限.所以.所以圆的方程为.‎ 考点:1.直线与圆的位置关系.2.直线与圆相切的判定.3.圆的标准方程.‎ ‎15.若函数的图象经过点 - 21 -‎ ‎,且相邻两条对称轴间的距离为.则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数f(x)的图象与性质求出T、ω和φ的值,写出f(x)的解析式,求出f()的值.‎ ‎【详解】因为相邻两条对称轴的距离为,所以,,‎ 所以,因为函数图象经过点,所以,‎ ‎,,所以,所以.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题,熟记性质准确计算是关键,是基础题.‎ ‎16.已知正四面体中,是棱的中点,是点在平面上的射影,则异面直线与所成角的余弦值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设点在平面上的射影为,得、、三点共线,且是的中点,得异面直线与所成角等于异面直线与所成角,即.在中求解即可 ‎【详解】设点在平面上的射影为,则、、三点共线,且是的中点,‎ 则异面直线与所成角等于异面直线与所成角,即.‎ 设正四面体的棱长为2,则,,,‎ - 21 -‎ 所以中,.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查异面直线所成的角及正四面体的基本性质,准确计算是解题关键,是基础题 三、解答题 (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.设数列的前项和为,已知.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)令,求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 分析:(1)由求得,由时,可得的递推式,得其为等比数列,从而易得通项公式;‎ ‎(2)根据(1)的结论,数列的前项和可用裂项相消法求得.‎ 详解:(1)∵ ①‎ 当时,,∴‎ 当时, ②‎ 由①-②得:‎ ‎∴‎ ‎∴是以为首项,公比为的等比数列 ‎∴‎ - 21 -‎ ‎(2)∵‎ ‎∴‎ 点睛:设数列是等差数列,是等比数列,则数列,,的前项和求法分别为分组求和法,错位相减法,裂项相消法.‎ ‎18.随着经济的发展,个人收入的提高.自2018年10月1日起,个人所得税起征点和税率的调整.调整如下:纳税人的工资、薪金所得,以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额.依照个人所得税税率表,调整前后的计算方法如下表:‎ 个人所得税税率表(调整前)‎ 个人所得税税率表(调整后)‎ 免征额3500元 免征额5000元 级数 全月应纳税所得额 税率(%)‎ 级数 全月应纳税所得额 税率(%)‎ ‎1‎ 不超过1500元的部分 ‎3‎ ‎1‎ 不超过3000元的部分 ‎3‎ ‎2‎ 超过1500元至4500元的部分 ‎10‎ ‎2‎ 超过3000元至12000元的部分 ‎10‎ ‎3‎ 超过4500元至9000元的部分 ‎20‎ ‎3‎ 超过12000元至25000元的部分 ‎10‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎…‎ ‎(1)假如小李某月的工资、薪金所得等税前收人总和不高于8000元,记表示总收人,表示应纳的税,试写出调整前后关于的函数表达式;‎ - 21 -‎ ‎(2)某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入,并制成下面的频数分布表:‎ 收入(元)‎ 人数 ‎30‎ ‎40‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎5‎ 先从收入在及的人群中按分层抽样抽取7人,再从中选2人作为新纳税法知识宣讲员,求两个宣讲员不全是同一收入人群的概率;‎ ‎(3)小李该月的工资、薪金等税前收入为7500元时,请你帮小李算一下调整后小李的实际收入比调整前增加了多少?‎ ‎【答案】(1)调整前关于的表达式为,调整后关于的表达式为 ‎(2)‎ ‎(3)220元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)对收入的范围分类,求出对应的表达式即可。‎ ‎(2)列出7人中抽取2人共21种情况,找出不在同一收入人群的有12种结果,问题得解。‎ ‎(3)计算出小红按调整起征点前应纳个税为元,小红按调整起征点后应纳个税为元,问题得解。‎ ‎【详解】解:(1)调整前关于的表达式为,‎ 调整后关于的表达式为.‎ - 21 -‎ ‎(2)由频数分布表可知从及的人群中按分层抽样抽取7人,其中中占3人,分别记为,中占4人,分别记为1,2,3,4,再从这7人中选2人的所有组合有:,,,,,,,,,,,,,,,12,13,14,23,24,34,共21种情况,‎ 其中不在同一收入人群的有:,,,,,,,,,,,,共12种,所以所求概率为.‎ ‎(3)由于小红的工资、薪金等税前收入为7500元,‎ 按调整起征点前应纳个税为元;‎ 按调整起征点后应纳个税为元,‎ 由此可知,调整起征点后应纳个税少交220元,‎ 即个人的实际收入增加了220元,‎ 所以小红的实际收入增加了220元.‎ ‎【点睛】本题主要考查了分段函数模型及古典概型概率计算,以及分段函数模型应用,考查转化能力及计算能力,属于基础题。‎ ‎19.在梯形中(图1),,,,过、分别作的垂线,垂足分别为、,且,将梯形沿、同侧折起,使得,且,得空间几何体 (图2).直线与平面所成角的正切值是.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求多面体的体积.‎ ‎【答案】(1)见证明;(2) ‎ ‎【解析】‎ - 21 -‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连接BE交AF于O,取AC的中点H,连接OH,可得OH∥CF,OH,再由已知DE∥CF,DE,可得四边形OEDH为平行四边形,则DH∥OE.由线面平行的判定可得EO∥面ACD,即BE∥面ACD;(2)证明平面,平面,利用求解即可 ‎【详解】(1)连接交于点,取的中点,连接,,‎ 因为四边形为矩形,则是的中位线,‎ 所以且,‎ 由已知得且,‎ 所以且,‎ 所以四边形为平行四边形,,‎ 又因为平面,平面,‎ 所以平面.‎ 即平面;‎ ‎(2)由已知,,,‎ 可得平面,‎ 又平面,所以平面平面,‎ 又,所以平面,‎ 设,,,‎ 因为直线与平面所成角的正切值是,‎ 所以,解得:,‎ ‎,,‎ - 21 -‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查直线与平面平行的判定,考查空间想象能力与思维能力,训练了利用等积法求多面体的体积,是中档题.‎ ‎20.已知点,直线,为平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,且.‎ ‎(1)求动点的轨迹的方程;‎ ‎(2)设直线与轨迹交于两点,、,且 (,且为常数),过弦的中点作平行于轴的直线交轨迹于点,连接、.试判断的面积是否为定值,若是,求出该定值,若不是,请说明理由 ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设,得,向量坐标化得;(2)联立方程组消去,由得,由的中点,得点, ,结合即可证明定值 ‎【详解】(1)设,则,‎ ‎,‎ ‎,‎ 即,即,‎ 所以动点的轨迹的方程.‎ ‎(2)联立方程组消去,得,‎ - 21 -‎ 依题意,,且,,‎ 由得,‎ 即,‎ 整理得:,所以,①‎ 因为的中点,所以点,依题意,‎ ‎,‎ 由方程中的判别式,得,所以,‎ 由①知,‎ 所以,又为常数,故的面积为定值.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线方程,直线与抛物线的位置关系,定值问题,考察方程思想和转化化归能力,是中档题 ‎21.已知函数,其中为实常数.‎ ‎(1)若当时,在区间上的最大值为,求的值;‎ ‎(2)对任意不同两点,,设直线的斜率为,若恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)讨论与0,1,e的大小关系确定最值得a - 21 -‎ 的方程即可求解;(2)原不等式化为,不妨设,整理得,设,当时,,得,分离,求其最值即可求解a的范围 详解】(1),令,则.‎ 所以在上单调递增,在上单调递减.‎ ‎①当,即时,在区间上单调递减,则,‎ 由已知,,即,符合题意.‎ ‎②当时,即时,在区间上单调递增,在上单调递减,‎ 则,由已知,,即,不符合题意,舍去.‎ ‎③当,即时,在区间上单调递增,则,‎ 由已知,,即,不符合题意,舍去.‎ 综上分析,.‎ ‎(2)由题意,,则原不等式化为,‎ 不妨设,则,即,‎ 即.‎ 设,则,‎ 由已知,当时,不等式恒成立,则在上是增函数.‎ 所以当时,,即,即恒成立,‎ - 21 -‎ 因为,当且仅当,即时取等号,所以.‎ 故的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性,不等式恒成立问题,构造函数与分离变量求最值,分类讨论思想,转化化归能力,是中档题 ‎22.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为,( 为参数).直线与曲线分别交于、两点.‎ ‎(1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;‎ ‎(2)若点的直角坐标为,,求的值.‎ ‎【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为,直线的普通方程为.(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由极坐标与普通方程互化,参数方程与普通方程互化直接求解即可;(2)将直线的参数方程代入,由韦达定理结合t的几何意义即可求解 ‎【详解】(1)由,得,‎ 所以曲线的直角坐标方程为,即,‎ 由直线的参数方程得直线的普通方程为.‎ - 21 -‎ ‎(2)将直线的参数方程代入,‎ 化简并整理,得.‎ 因为直线与曲线分别交于、两点,所以,‎ 解得,由一元二次方程根与系数的关系,得 ‎,,‎ 又因为,所以.‎ 因为点的直角坐标为,且在直线上,‎ 所以,‎ 解得,此时满足,故.‎ ‎【点睛】本题考查极坐标与普通方程互化,参数方程与普通方程互化,直线参数方程,t的几何意义,准确计算是关键,是基础题 ‎23.选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(1)当时,解不等式;‎ ‎(2)设不等式的解集为、,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)或;(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析:(1)分段去绝对值求解即可;‎ ‎(2)不等式的解集包含,所以不等式在恒成立,可得 - 21 -‎ ‎,即,所以,求解即可.‎ 试题解析:‎ ‎(1)当时,原不等式可化为.‎ ‎①当时,原不等式可化为,解得,此时得不等式的解集为.②‎ 当时,原不等式可化为,解得,此时得不等式的解集为.③当时,原不等式可化为,解得,此时得不等式的解集为.综上所述,当时,不等式可化为,的解集为或.‎ ‎(2)不等式,因为不等式的解集包含,所以不等式在,所以不等式,所以可得,即,所以,解得,求实数的取值范围是.‎ - 21 -‎ ‎ ‎ - 21 -‎

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