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  • 2021-06-15 发布

【数学】2019届一轮复习全国通用版(理)第33讲 一元二次不等式及其解法学案

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第33讲 一元二次不等式及其解法 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.‎ ‎2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.‎ ‎3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.‎ ‎2017·江苏卷,7‎ ‎2016·江苏卷,5‎ ‎2015·山东卷,1‎ 对一元二次不等式的考查.主要以考查解法为主,同时也考查一元二次方程的判别式、根的存在性及二次函数的图象与性质等.另外,以函数、数列为载体,以一元二次不等式的解法为手段求参数的取值范围也是热点.‎ 分值:5分 三个二次之间的关系 判别式Δ=b2-‎‎4ac Δ>0‎ Δ=0‎ Δ<0‎ 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两相异实根x1,x2(x1<x2)‎ 有两相等实根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 ‎__{x|x<x1或x>x2}__‎ ‎____‎ ‎__R__‎ ax2+bx+c<0(a>0)的解集 ‎__{x|x1<x<x2}__‎ ‎__∅__‎ ‎__∅__‎ ‎1.思维辨析(在括号内打“√”或“×”).‎ ‎(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.( √ )‎ ‎(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.( √ )‎ ‎(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.( × )‎ ‎(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-‎4ac≤0.( × )‎ ‎(5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<0‎ 的解集一定不是空集.( √ )‎ 解析 (1)正确.由不等式解集为(x1,x2)可知a>0,故正确.‎ ‎(2)正确.由不等式的解集可知命题正确.‎ ‎(3)错误.当a<0时,不等式的解集为∅,故错误.‎ ‎(4)错误.不等式恒成立的条件为或故错误.‎ ‎(5)正确.图象开口向下,则一定有小于0的部分,故正确.‎ ‎2.已知全集U=R,集合A=,B=,则A∩B=( D )‎ A.(1,2)   B.(2,3)  ‎ C.[2,3)   D.(1,2]‎ 解析 ∵>0,∴(x-1)(x-3)<0,∴1<x<3.又∵4-2x≥0,∴4≥2x,∴x≤2,∴A∩B={x|1<x≤2},故选D.‎ ‎3.不等式x(2-x)>0的解集为__(0,2)__.‎ 解析 ∵x(2-x)>0,∴x(x-2)<0,∴0<x<2,故解集为(0,2).‎ ‎4.关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a+b=__-14__.‎ 解析 由题意可知a<0且-和是方程ax2+bx+2=0的两个根,∴解得∴a+b=-14.‎ ‎5.不等式x2+ax+4≤0的解集不是空集,则实数a的取值范围是__(-∞-4]∪[4,+∞)__.‎ 解析 由题意可知Δ=a2-16≥0解得a≥4或a≤-4.‎ 一 含参数的一元二次不等式的解法 ‎(1)二次项中若含有参数应讨论是小于零,等于零,还是大于零,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式.‎ ‎(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与零的关系.‎ ‎(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.‎ ‎【例1】 解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R).‎ 解析 原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0.‎ ‎①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1.‎ ‎②当a>0时,原不等式化为(x+1)≥0,解得x≥或x≤-1.‎ ‎③当a<0时,原不等式化为(x+1)≤0.‎ 当>-1,即a<-2时,解得-1≤x≤;‎ 当=-1,即a=-2时,解得x=-1满足题意;‎ 当<-1,即-2a2(a∈R).‎ 解析 (1)原不等式等价于⇔ ‎⇔⇔ 借助于数轴,如图所示.‎ ‎∴原不等式的解集为{x|-2≤x<-1或2a2,∴12x2-ax-a2>0,即(4x+a)(3x-a)>0,‎ 令(4x+a)(3x-a)=0,得x1=-,x2=.‎ 当a>0时,-<,解集为x<-或x>};‎ 当a=0时,x2>0,解集为{x|x≠0};‎ 当a<0时,->,解集为x<或x>-}.‎ 综上所述,当a>0时,不等式的解集为x<-或x>};‎ 当a=0时,不等式的解集为{x|x≠0};‎ 当a<0时,不等式的解集为x<或x>-}.‎ 易错点 分不清主元、次元 错因分析:如果式子中含有两个或多个变量,解题时通常是以一个为主,兼顾其他.‎ ‎【例1】 (1)对任意x∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-‎2a的值恒大于零,求a的取值范围.‎ ‎(2)对任意a∈[-1,1],函数f(x)=x2+(a-4)x+4-‎2a的值恒大于零,求x的取值范围.‎ 解析 (1)当x∈[-1,1]时,x2+(a-4)x+4-‎2a>0恒成立⇔(x-2)a+x2-4x+4>0恒成立⇔(x-2)a>-(x-2)2恒成立.‎ ‎∵-1≤x≤1时,-3≤x-2≤-1,∴a<-(x-2)恒成立.‎ ‎∵1≤-(x-2)≤3,∴a的取值范围是(-∞,1).‎ ‎(2)f(x)=x2+(a-4)x+4-‎2a=(x-2)a+x2-4x+4,‎ 令g(a)=(x-2)a+x2-4x+4,‎ 依题意,在a∈[-1,1]时,g(a)的值恒大于零,‎ ‎∴解得x<1或x>3.‎ ‎∴x的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞).‎ ‎【跟踪训练1】 若不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则k的取值范围为( D )‎ A.(-3,0)   B.[-3,0)‎ C.[-3,0]   D.(-3,0]‎ 解析 当k=0时,显然成立;‎ 当k≠0时,一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,‎ 则解得-3<k<0.‎ 综上,k的取值范围是(-3,0],故选D.‎ 课时达标 第33讲 ‎[解密考纲]考查不等式的解法,常以选择题或填空题的形式出现.在解答题中也涉及一元二次不等式的解法.‎ 一、选择题 ‎1.不等式<1的解集是( A )‎ A.(-∞,-1)∪(1,+∞) B.(1,+∞)‎ C.(-∞,-1) D.(-1,1)‎ 解析 ∵<1,∴-1<0,即<0,该不等式可化为 ‎(x+1)(x-1)>0,∴x<-1或x>1,故选A.‎ ‎2.不等式-x2+3x-2>0的解集是( C )‎ A.{x|x<-2或x>-1} B.{x|x<1或x>2}‎ C.{x|14},则对于函数f(x)=ax2+bx+c应有( B )‎ A.f(5)0的解集是(-1,3),则不等式f(-2x)<0的解集是( A )‎ A.∪ B. C.∪ D. 解析 由f(x)>0,得ax2+(ab-1)x-b>0,又其解集是(-1,3),‎ ‎∴a<0,且解得a=-1或(舍去),‎ ‎∴a=-1,b=-3,∴f(x)=-x2+2x+3,‎ ‎∴f(-2x)=-4x2-4x+3,由-4x2-4x+3<0,得4x2+4x-3>0,解得x>或x<-,故选A.‎ ‎6.若不等式(a-a2)(x2+1)+x≤0对一切x∈(0,2]恒成立,则a的取值范围是( C )‎ A. B. C.∪ D. 解析 ∵x∈(0,2],∴a2-a≥=.‎ 要使a2-a≥在x∈(0,2]时恒成立,则a2-a≥max,‎ 由基本不等式得x+≥2,当且仅当x=1时,等号成立,即max=.由a2-a≥,解得a≤或a≥.‎ 二、填空题 ‎7.已知不等式组的解集是不等式2x2-9x+a<0的解集的子集,则实数a的取值范围是__(-∞,9]__.‎ 解析 不等式组的解集是{x|2<x<3}.设f(x)=2x2-9x+a,则由题意得解得a≤9.‎ ‎8.若对任意实数p∈[-1,1],不等式px2+(p-3)x-3>0成立,则实数x的取值范围为__(-3,-1)__.‎ 解析 不等式可变形为(x2+x)p-3x-3>0,令f(p)=(x2+x)p-3x-3,p∈[-1,1].原不等式成立等价于f(p)>0,p∈[-1,1],则即解得-3<x<-1.‎ ‎9.已知二次函数f(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>0的解集为(1,2),若方程f(x)的最大值小于1,则a的取值范围是__(-4,0)__.‎ 解析 由题意知a<0,可设f(x)=a(x-1)(x-2)=ax2-3ax+‎2a,∴f(x)max=f=-<1,∴a>-4,故-4<a<0.‎ 三、解答题 ‎10.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.‎ ‎(1)解关于a的不等式f(1)>0;‎ ‎(2)若不等式f(x)>b的解集为(-1,3),求实数a,b的值.‎ 解析 (1)由题意知f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+‎6a+3>0,即a2-‎6a-3<0,解得3-2b的解集为(-1,3),‎ ‎∴方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,‎ ‎∴解得 即a的值为3±,b的值为-3.‎ ‎11.解关于x的不等式ax2-(‎2a+1)x+2<0(a∈R).‎ 解析 原不等式可化为(ax-1)(x-2)<0.‎ ‎①当a>0时,原不等式可以化为a(x-2)<0,‎ 等价于(x-2)·<0.当0,即<2时,原不等式的解集是2,‎ 即原不等式的解集是{x|x>2}.‎ ‎③当a<0时,原不等式可以化为a(x-2)<0,‎ 等价于(x-2)·>0,‎ 由于<2,故原不等式的解集是x<或x>2.‎ 综上:当a<0时,不等式的解集为x<或x>2;‎ 当a=0时,不等式的解集为{x|x>2};当0时,不等式的解集为2x+m成立,求实数m的取值范围.‎ 解析 (1)由f(0)=2,得c=2,‎ 所以f(x)=ax2+bx+2(a≠0),‎ 由f(x+2)-f(x)=[a(x+2)2+b(x+2)+2]-(ax2+bx+2)=4ax+‎4a+2b,又f(x+2)-f(x)=16x,得4ax+‎4a+2b=16x,‎ 故a=4,b=-8,所以f(x)=4x2-8x+2.‎ ‎(2)因为存在x∈[1,2],使不等式f(x)>2x+m成立,‎ 即存在x∈[1,2],使不等式m<4x2-10x+2成立,‎ 令g(x)=4x2-10x+2,x∈[1,2],故g(x)max=g(2)=-2,‎ 所以m<-2,即m的取值范围是(-∞,-2).‎ ‎12.若二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(x+2)-f(x)=16x且f(0)=2.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)若存在x∈[1,2],使不等式f(x)>2x+m成立,求实数m的取值范围.‎ 解析 (1)由f(0)=2,得c=2,‎ 所以f(x)=ax2+bx+2(a≠0),‎ 由f(x+2)-f(x)=[a(x+2)2+b(x+2)+2]-(ax2+bx+2)=4ax+‎4a+2b,又f(x+2)-f(x)=16x,得4ax+‎4a+2b=16x,‎ 故a=4,b=-8,所以f(x)=4x2-8x+2.‎ ‎(2)因为存在x∈[1,2],使不等式f(x)>2x+m成立,‎ 即存在x∈[1,2],使不等式m<4x2-10x+2成立,‎ 令g(x)=4x2-10x+2,x∈[1,2],故g(x)max=g(2)=-2,‎ 所以m<-2,即m的取值范围是(-∞,-2).‎

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