2018-2019学年福建省三明市高一上学期期末质量检测数学试题（解析版） 19页

‎2018-2019学年福建省三明市高一上学期期末质量检测数学试题 一、单选题 ‎1．已知角的终边过点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据角的终边过点，可得，再根据计算求得结果.‎ ‎【详解】‎ 已知角的终边经过点，，‎ ‎，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查任意角的三角函数的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.‎ ‎2．已知向量，，若，则实数的值为（ ）‎ A．-2 B．-3 C．0 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】直接利用向量平行的充要条件列方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为向量，，且，‎ 所以，解得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.‎ ‎3．函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数的解析式知，对数的真数大于0，偶次根号下非负，易得关于的不等式组，解出它的解集即可得到函数的定义域.‎ ‎【详解】‎ 要使函数有意义，‎ 则有，‎ 解得，‎ 函数的定义域是，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.‎ ‎4．在中，设，，为线段的中点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求得，然后利用向量减法的三角形法则即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，为线段的中点，‎ 所以，‎ 由向量减法的三角形法则可得，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．‎ ‎5．已知，，，则的大小关系为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出得范围，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为;‎ ‎;‎ ‎,‎ 所以，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ ‎6．方程在区间上的所有解的和为（ ）‎ A． B． C．1 D．0‎ ‎【答案】D ‎【解析】等价于，的根就是图象交点的横坐标，画出函数的图象，结合对称性即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为不是的根，‎ 所以等价于，‎ 的根就是图象交点的横坐标，‎ 画出图象，如图，‎ 因为都是奇函数，所以图象关于原点对称，‎ 又因为区间关于原点对称，‎ 所以图象在区间上的交点关于原点对称，‎ 所以，交点横坐标的和为0，即方程在区间上的所有解的和为0，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查方程的根、函数的零点以及函数图象的交点，属于中档题. 函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.‎ ‎7．函数，不论为何值的图象均过点，则实数的值为（ ）‎ A．-1 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】由幂函数的图象过定点,可得的图象过点,从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为不论为何值幂函数的图象均过点,‎ 不论为何值的图象均过点,‎ 又因为不论为何值的图象均过点，‎ 所以且，即，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函函数的几何性质，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.‎ ‎8．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】函数在区间上单调递增，等价于在上恒成立，即在上恒成立，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，‎ ‎，‎ ‎ 在区间上单调递增，‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ 即实数的取值范围为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查“分离常数”在解题中的应用以及利用单调性求参数的范围，属于中档题. 利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围.‎ ‎9．如图函数的部分图象，则（ ）‎ A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．，‎ ‎【答案】A ‎【解析】由求得，由求得，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 由图可知，，‎ ‎，‎ 又，‎ ‎，‎ ‎，所以时，可得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象与性质、以及由三角函数的图象求解析式，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.‎ ‎10．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数在上递减，可将转化为，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为与都在上递减，‎ 在上递减，‎ 等价于，‎ 解得，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调性的应用，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.‎ ‎11．已知，，且，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用同角三角函数之间的关系求出，再利用求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎ ，，且，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．‎ ‎12．已知函数有唯一零点，则实数的值为（ ）‎ A．-4 B．-3 C．-2 D．-1‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，函数有唯一零点，等价于有唯一零点，根据是偶函数可得的唯一零点一定是，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 化为 ‎，‎ 设，函数有唯一零点，‎ 等价于有唯一零点，‎ 因为 所以是偶函数，‎ 若有唯一零点，‎ 的图象与有唯一交点，‎ 因为的图象关于轴对称，‎ 所以的唯一零点一定是，‎ 所以，‎ 解得，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查方函数的零点以及函数的奇偶性与函数图象的应用，属于中档题. 函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数则______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数解析式可得再求出即可.‎ ‎【详解】‎ 因为函数 因为，‎ ‎，‎ 即，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题.对于分段函数解析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此解决这类题一定要层次清楚，思路清晰.‎ ‎14．已知，则_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于，则，然后将代入中，化简即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了同角三角函数的关系，属于基础题. 同角三角函数之间的关系包含平方关系与商的关系，平方关系是正弦与余弦值之间的转换，商的关系是正余弦与正切之间的转换.‎ ‎15．设，，则_____（用含的式子表示）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直接利用换底公式以及对数的运算法则化简即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数的运算法则以及换底公式的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于基础题.‎ ‎16．已知函数的图象关于点成中心对称，则式子 的取值范围为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据的图象关于点成中心对称，可得，可得，由求出的范围，化为，设，则，利用配方法可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎ 的图象关于点成中心对称，‎ ‎，即，可得，‎ 因为，所以或；‎ 或，‎ 或 则，‎ 设，‎ 则，‎ 当时，；当时，，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 求范围问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据: 换元法、不等式法、三角函数法、图象法,配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域.‎ 三、解答题 ‎17．设集合，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）当时化简集合，由补集的定义求出，再利用交集的定义求解即可；（2）由 ‎，可得，则解不等式即可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，，‎ 则.‎ ‎（2）因为，所以，则，所以.‎ ‎，所以，则解得.‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 集合的基本运算的关注点：‎ ‎（1）看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；‎ ‎（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；‎ ‎（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图．‎ ‎18．已知函数的最小正周期为.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）当时，求的值域.‎ ‎（3）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，且为偶函数，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】（1）由周期公式可得，从而可得结果；（2）由,可得,利用正弦函数的单调性可得结果；（3）的图象向左平移个单位后得，利用可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意知，‎ 所以.‎ ‎（2）,,‎ ‎,‎ 所以当时，的值域为.‎ ‎（3）的图象向左平移个单位后得，‎ 为偶函数，，即，‎ ‎，即，‎ 又，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的周期性、奇偶性和值域，属于中档题.已知的奇偶性求时，往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答：（1）时， 是奇函数；（2） 时， 是偶函数.‎ ‎19．已知向量，. ‎ ‎（1）设向量与的夹角为，求；‎ ‎（2）设向量，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）求出，，结合，利用向量夹角公式可得结果；（2）由，利用三角函数的有界性求出是范围，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）向量，，‎ 则，， ‎ ‎.‎ ‎（2），‎ 所以，‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量的模、夹角及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.‎ ‎20．已知函数. ‎ ‎（1）若，且函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；‎ ‎（2）令，且为偶函数，试判断的单调性，并加以证明.‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】（1）根据，结合二次函数的图象与函数在上单调递增，可得，从而可得结果；（2）为偶函数，，则，设为区间上的任意两个数，且，则，讨论三种情况，分别判断符号，从而可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，且函数在上单调递增，‎ 则，解得，‎ 所以实数的取值范围是.‎ ‎（2）为偶函数，，‎ 即对任意都成立，‎ 所以，则.‎ 设为区间上的任意两个数，且，‎ 则，‎ ‎①当时，的单调增区间为；‎ ‎②当时，或时，，‎ 所以在区间和上单调递增；‎ ‎③当时，或时，，‎ 在区间和上单调递增；‎ 同理在区间和上单调递减.‎ 综上所知：当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为和；当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为和.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.‎ ‎21．已知函数. ‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）若函数在区间上有三个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数化为，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数 的递增区间；（2）当时，在区间和上单调递增，在区间上单调递减，求得,,,,在区间上有三个零点，等价于函数与的图象在区间上有三个交点，数形结合可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎，‎ 由，得.‎ 所以函数的单调递增区间为.‎ ‎（2）由，得，‎ 函数的单调递减区间为.‎ 当时，在区间和上单调递增，‎ 在区间上单调递减.‎ ‎,,,,‎ 又在区间上有三个零点，等价于函数与的图象在区间上有三个交点，结合草图可知，‎ 所以函数在区间上有三个零点时，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象以及辅助角公式的应用，属于中档题.函数的单调区间的求法：(1) 代换法：①若,把看作是一个整体，由 求得函数的减区间，求得增区间.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）当时，求在时的值域；‎ ‎（2）若对任意，，均有，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）当时，，由，可得，由对数函数的单调性可得结果；（2）由对数函数的定义域可得在时恒成立，则，，均有，等价于在时恒成立，即在时恒成立，讨论两种情况，结合二次函数定性质可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，‎ 因为，所以，则，‎ 所以在时的值域为.‎ ‎（2）依题意对任意，，恒成立，‎ 所以在时恒成立，则.‎ 对任意，函数在区间上单调递减，‎ 由已知，均有，‎ 所以在时恒成立，‎ 即在时恒成立.‎ ‎①当，时，，则符合题意.‎ ‎②当时，在时恒成立，‎ 则在时恒成立，‎ 令，‎ 所以则.‎ 由①、②可得的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的性质以及对数函数的性质、转化与划归思想与分类讨论思想的应用，属于难题. 转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.‎