数学卷·2018届江西省赣州市十三县（市）联考高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版） 19页

‎2016-2017学年江西省赣州市十三县（市）联考高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．过点（1，﹣3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（　　）‎ A．x﹣2y﹣7=0 B．2x+y+1=0 C．x﹣2y+7=0 D．2x+y﹣1=0‎ ‎2．高二某班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（　　）‎ A．30 B．31 C．32 D．33‎ ‎3．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）‎ A． B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．‎ ‎4．在等比数列{an}中，若公比q=2，S3=7，则S6的值为（　　）‎ A．56 B．58 C．63 D．64‎ ‎5．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题 ‎①α∥β=l⊥m；‎ ‎②α⊥β⇒l∥m；‎ ‎③l∥m⇒α⊥β；‎ ‎④l⊥m⇒α∥β．‎ 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④‎ ‎6．已知△ABC的三边长为a、b、c，满足直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离，则△ABC是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上情况都有可能 ‎7．若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（　　）‎ A．[，] B．（0，] C．（1，] D．（，]‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，输出p的值是（　　）‎ A．5 B．1 C． D．‎ ‎9．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　）‎ A．60 B．72 C．81 D．114‎ ‎11．若向量、满足||=|2+|=2，则在方向上投影的最大值是（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎12．圆锥的轴截面SAB是边长为4的正三角形（S为顶点），O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，请将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为　　．‎ ‎14．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为　　．‎ ‎15．在[0，10]上随机的取一个数m，则事件“圆x2+y2=4与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=m2相交”发生的概率　　．‎ ‎16．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=，则球O的表面积为　　．‎ ‎　‎ 三．解答题（17题10分，其它题12分，写出必要的文字说明）‎ ‎17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：‎ ‎（1）直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．‎ ‎18．某重点高中拟把学校打造成新型示范高中，为此制定了学生“七不准”，“一日三省十问”等新的规章制度．新规章制度实施一段时间后，学校就新规章制度随机抽取部分学生进行问卷调查，调查卷共有10个问题，每个问题10分，调查结束后，按分数分成5组：[50，60），60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并作出频率分布直方图与样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．‎ ‎（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；‎ ‎（2）在选取的样本中，从分数在70分以下的学生中随机抽取2名学生进行座谈会，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[50，60）内的概率．‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎3 4‎ ‎1 2 3 4 5 6 7 8‎ ‎19．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2C﹣3cos（A+B）=1‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若c=，求△ABC周长的最大值．‎ ‎20．已知点P（1，1），过点P动直线l与圆C：x2+y2﹣2y﹣4=0交与点A，B两点．‎ ‎（1）若|AB|=，求直线l的倾斜角；‎ ‎（2求线段AB中点M的轨迹方程．‎ ‎21．在如图所示的圆锥中，OP是圆锥的高，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，E是线段AC的中点，D是线段PB的中点，且PO=2，OB=1．‎ ‎（1）试在PB上确定一点F，使得EF∥面COD，并说明理由；‎ ‎（2）求点A到面COD的距离．‎ ‎22．已知n∈N*，设Sn是单调递减的等比数列{an}的前n项和，a1=且S2+a2，S4+a4，S3+a3成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记数列{nan}的前n项和为Tn，求证：对于任意正整数n，．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年江西省赣州市十三县（市）联考高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．过点（1，﹣3）且平行于直线x﹣2y+3=0的直线方程为（　　）‎ A．x﹣2y﹣7=0 B．2x+y+1=0 C．x﹣2y+7=0 D．2x+y﹣1=0‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】设与直线x﹣2y+3=0平行的直线方程为x﹣2y+c=0，把点（1，﹣3）代入求得c的值，即可求得所求的直线的方程．‎ ‎【解答】解：设与直线x﹣2y+3=0平行的直线方程为x﹣2y+c=0，把点（1，﹣3）代入可得 1+2×3+c=0，c=7，‎ 故所求的直线的方程为x﹣2y﹣7=0，‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎2．高二某班共有学生56人，座号分别为1，2，3，…，56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（　　）‎ A．30 B．31 C．32 D．33‎ ‎【考点】系统抽样方法．‎ ‎【分析】根据系统抽样原理求出抽样间隔，由第一组抽出的学号得出每组抽出的学号是什么．‎ ‎【解答】解：根据系统抽样原理得，抽样间隔是=14，‎ 且第一组抽出的学号为4，‎ 那么每组抽出的学号为4+14（n﹣1），其中n=1、2、3、4；‎ 所以第二组抽取的学号为4+14×2=32．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎3．如果a＜b＜0，那么下列不等式成立的是（　　）‎ A． B．ab＜b2 C．﹣ab＜﹣a2 D．‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：由于a＜b＜0，不妨令a=﹣2，b=﹣1，可得=﹣1，∴，故A不正确．‎ 可得ab=2，b2=1，∴ab＞b2，故B不正确．‎ 可得﹣ab=﹣2，﹣a2=﹣4，∴﹣ab＞﹣a2，故C不正确．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎4．在等比数列{an}中，若公比q=2，S3=7，则S6的值为（　　）‎ A．56 B．58 C．63 D．64‎ ‎【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由等比数列前n项和公式先求出a1，由此能求出S6的值．‎ ‎【解答】解：∵等比数列{an}中，公比q=2，S3=7，‎ ‎∴==7a1=7，‎ 解得a1=1，‎ ‎∴S6==63．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题 ‎①α∥β=l⊥m；‎ ‎②α⊥β⇒l∥m；‎ ‎③l∥m⇒α⊥β；‎ ‎④l⊥m⇒α∥β．‎ 其中正确命题的序号是（　　）‎ A．①②③ B．②③④ C．①③ D．②④‎ ‎【考点】平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；‎ 当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；‎ 由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题；‎ 当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．‎ ‎【解答】解：l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；‎ 因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；‎ 因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；‎ 由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．‎ 所以真命题为①③．‎ 故选 C．‎ ‎　‎ ‎6．已知△ABC的三边长为a、b、c，满足直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离，则△ABC是（　　）‎ A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上情况都有可能 ‎【考点】解三角形；直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由题意可得，圆心到直线的距离＞1，即 c2＞a2+b2，故△ABC是钝角三角形．‎ ‎【解答】解：∵直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相离，‎ ‎∴圆心到直线的距离＞1，即 c2＞a2+b2，‎ 故△ABC是钝角三角形，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎7．若x为三角形中的最小内角，则函数y=sinx+cosx的值域是（　　）‎ A．[，] B．（0，] C．（1，] D．（，]‎ ‎【考点】正弦函数的定义域和值域．‎ ‎【分析】由x为三角形中的最小内角，可得0＜x≤而y=sinx+cosx=，结合已知所求的x的范围可求y的范围．‎ ‎【解答】解：因为x为三角形中的最小内角，‎ 所以0＜x≤‎ y=sinx+cosx=‎ ‎∴‎ 故选C ‎　‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，输出p的值是（　　）‎ A．5 B．1 C． D．‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．‎ ‎【解答】解：程序在运行过程中各变量值变化如下表：‎ ‎ i T P 是否继续循环 循环前 1 0 15，‎ 第一圈 2 1 =5 是 第二圈 3 2 =1 是 第三圈 4 3 = 否 故退出循环．输出P=‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎9．在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（　　）‎ A． B． C．﹣ D．﹣‎ ‎【考点】三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用两角和的余弦即可求得答案．‎ ‎【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，‎ ‎∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，‎ ‎∴BD=AD=a，CD=a，‎ 在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，‎ ‎∴cosA=cos（+θ）=coscosθ﹣sinsinθ=×﹣×=﹣．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（　　）‎ A．60 B．72 C．81 D．114‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】由已知中的三视图可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，代入柱体表面积公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，‎ 底面面积为：12，底面周长为：16，‎ 棱柱的高为3，‎ 故柱体的表面积S=2×12+16×3=72，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．若向量、满足||=|2+|=2，则在方向上投影的最大值是（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】对条件式子两边平方，用||表示出的夹角θ的余弦值，代入投影公式，利用基本不等式得出投影的最大值．‎ ‎【解答】解：∵|2|=2，||=2，‎ ‎∴||2+4+16=4，‎ 设的夹角为θ，‎ 则||2+8||cosθ+12=0．‎ ‎∴cosθ=﹣．‎ ‎∴在方向上投影为||cosθ=﹣=﹣（+）．‎ ‎∵+≥2=．‎ ‎∴||cosθ≤﹣．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．圆锥的轴截面SAB是边长为4的正三角形（S为顶点），O为底面中心，M为SO中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周），若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．‎ ‎【分析】过M作MP3⊥AM交AB于P3，过P3作P1P2⊥AB交圆锥底面圆周为P1，P2，则P点轨迹为线段P1P2．根据射影定理求出OP3，再利用垂径定理解出P1P2的长．‎ ‎【解答】解：过M作MP3⊥AM交AB于P3，过P3作P1P2⊥AB交圆锥底面圆周为P1，P2，‎ 则P1P2⊥平面AMP3，∴AM⊥P2P1，即P点轨迹为线段P1P2．‎ ‎∵△SAB是边长为4的等边三角形，∴AO=2，SO=2，∴OM==．‎ ‎∵∠AMP3=90°，∴OM2=AO•OP3，解得OP3=．‎ ‎∴P1P2=2=．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，请将答案填在答题纸上）‎ ‎13．已知变量x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为　2　．‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．‎ ‎【解答】解：画出可行域如图阴影部分，‎ 由得A（1，0）‎ 目标函数z=2x+y可看做斜率为﹣2的动直线，其纵截距越大z越大，‎ 由图数形结合可得当动直线过点A（1，0）时，z最大=2×1+0=2．‎ 故答案为：2．‎ ‎　‎ ‎14．如图，茎叶图记录了甲、乙两组各3名同学在期末考试中的数学成绩，则方差较小的那组同学成绩的方差为　　．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差；茎叶图．‎ ‎【分析】由茎叶图数据分别求出甲乙两组的方差，比较大小．‎ ‎【解答】解：由已知可得甲的平均成绩为=92，方差为 [（92﹣88）2+（92﹣92）2+（96﹣92）2]=；‎ 乙的平均成绩为=92，方差为 [（92﹣90）2+（92﹣91）2+（95﹣92）2]=，‎ 所以方差较小的那组同学成绩的方差为．‎ 故答案为：‎ ‎　‎ ‎15．在[0，10]上随机的取一个数m，则事件“圆x2+y2=4与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=m2相交”发生的概率　　．‎ ‎【考点】几何概型．‎ ‎【分析】计算两圆的圆心距d，利用两圆相交R﹣r＜d＜R+r，求出m的取值范围，再利用几何概型计算对应的概率值．‎ ‎【解答】解：圆x2+y2=4与圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=m2的圆心距为 d==5，‎ 若两圆相交，则，‎ 解得3＜m＜7；‎ 所以，两圆相交时发生的概率为：‎ P==．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=，则球O的表面积为　16π　．‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积 ‎【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，‎ ‎∵SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，‎ ‎∴BC==，‎ ‎∴∠ABC=90°．‎ ‎∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=1，‎ ‎∴球O的半径R==2，‎ ‎∴球O的表面积S=4πR2=16π．‎ 故答案为：16π．‎ ‎　‎ 三．解答题（17题10分，其它题12分，写出必要的文字说明）‎ ‎17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1．求证：‎ ‎（1）直线DE∥平面A1C1F；‎ ‎（2）平面B1DE⊥平面A1C1F．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．‎ ‎【分析】（1）通过证明DE∥AC，进而DE∥A1C1，据此可得直线DE∥平面A1C1F1；‎ ‎（2）通过证明A1F⊥DE结合题目已知条件A1F⊥B1D，进而可得平面B1DE⊥平面A1C1F．‎ ‎【解答】解：（1）∵D，E分别为AB，BC的中点，‎ ‎∴DE为△ABC的中位线，‎ ‎∴DE∥AC，‎ ‎∵ABC﹣A1B1C1为棱柱，‎ ‎∴AC∥A1C1，‎ ‎∴DE∥A1C1，‎ ‎∵A1C1⊂平面A1C1F，且DE⊄平面A1C1F，‎ ‎∴DE∥A1C1F；‎ ‎（2）∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱，‎ ‎∴AA1⊥平面A1B1C1，‎ ‎∴AA1⊥A1C1，‎ 又∵A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1=A1，AA1、A1B1⊂平面AA1B1B，‎ ‎∴A1C1⊥平面AA1B1B，‎ ‎∵DE∥A1C1，‎ ‎∴DE⊥平面AA1B1B，‎ 又∵A1F⊂平面AA1B1B，‎ ‎∴DE⊥A1F，‎ 又∵A1F⊥B1D，DE∩B1D=D，且DE、B1D⊂平面B1DE，‎ ‎∴A1F⊥平面B1DE，‎ 又∵A1F⊂平面A1C1F，‎ ‎∴平面B1DE⊥平面A1C1F．‎ ‎　‎ ‎18．某重点高中拟把学校打造成新型示范高中，为此制定了学生“七不准”，“一日三省十问”等新的规章制度．新规章制度实施一段时间后，学校就新规章制度随机抽取部分学生进行问卷调查，调查卷共有10个问题，每个问题10分，调查结束后，按分数分成5组：[50，60），60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，并作出频率分布直方图与样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50，60），[90，100]的数据）．‎ ‎（1）求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值；‎ ‎（2）在选取的样本中，从分数在70分以下的学生中随机抽取2名学生进行座谈会，求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[50，60）内的概率．‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎3 4‎ ‎1 2 3 4 5 6 7 8‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由样本容量和频数频率的关系易得答案；‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，分数在[60，70）内的学生有5人，分数在[50，60）内的学生有2人，利用组合知识可得基本事件 的个数，即可求所抽取的2名学生中恰有一人得分在[50，60）内的概率．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知，样本容量n==50，…‎ y==0.004，…‎ x=0.100﹣0.004﹣0.010﹣0.016﹣0.040=0.030．…‎ ‎（2）由题意可知，分数在[60，70）内的学生有5人，分数在[50，60）内的学生有2人，抽取的2名学生的所有情况有=21种，其中2名同学的分数恰有一人在[50，60）内的情况有10种，…‎ ‎∴所抽取的2名学生中恰有一人得分在[50，60）内的概率P=．…‎ ‎　‎ ‎19．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2C﹣3cos（A+B）=1‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若c=，求△ABC周长的最大值．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】（1）由内角和定理、诱导公式、二倍角余弦公式的变形化简已知的等式，求出cosC的值，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出C的值；‎ ‎（2）方法1：由（1）和内角和定理表示出A、B的关系，由正弦定理求出a、b，代入a+b利用两角和差的正弦公式化简，由A的范围和正弦函数的性质求出a+b的范围，即可求出△ABC周长的最大值；‎ 方法2：由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，代入数据结合完全平方公式化简，利用基本不等式求出a+b的最大值，即可求出△ABC周长的最大值．‎ ‎【解答】解：（1）由cos2C﹣3cos（A+B）=1和A+B=π﹣C得，‎ ‎2cos2C+3cosC﹣2=0，则（2cosC﹣1）（cosC+2）=0…‎ 解得cosC=或cosC=﹣2（舍去），…‎ 因为0＜C＜π，所以C=； …‎ ‎（2）方法1：由（1）得，A+B=，则B=﹣A，‎ 由得，，‎ 则a=，b=，…‎ 则a+b=+=+‎ ‎=+2（）=‎ ‎= …‎ ‎∵，∴，‎ 则，即a+b=≤，‎ 综上：a+b+c≤，即△ABC周长的最大值是． …‎ 法2：由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ 则6=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab…‎ 即6≥= …‎ 解得（a+b）2≤24，则a+b≤（当且仅当a=b=时取到等号）‎ 综上：a+b+c≤，即△ABC周长的最大值是． …‎ ‎　‎ ‎20．已知点P（1，1），过点P动直线l与圆C：x2+y2﹣2y﹣4=0交与点A，B两点．‎ ‎（1）若|AB|=，求直线l的倾斜角；‎ ‎（2求线段AB中点M的轨迹方程．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系；轨迹方程．‎ ‎【分析】（1）利用点斜式，设出过P点的直线l，利用与圆的弦长为，求出k的值，可得直线l的倾斜角；‎ ‎（2）设M的坐标（x，y），由垂径定理可知∠PMC=90°，故点M的轨迹是以CP为直径的圆．可得方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意：圆C：x2+y2﹣2y﹣4=0，‎ 化为圆的标准方程x2+（y﹣1）2=5，圆心C（0，1），r=．‎ ‎∵又|AB|=‎ 当动直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1时，显然不满足题意；‎ 当动直线l的斜率存在时，设动直线l的方程为：y﹣1=k（x﹣1）即kx﹣y+1﹣k=0‎ 故弦心距d==．‎ 再由点到直线的距离公式可得d==，‎ 解得：k=．‎ ‎ 即直线l的斜率等于±，‎ 根据tanθ=k，‎ 故得直线l的倾斜角等于或．‎ ‎（2）由题意：线段AB中点为M，设M的坐标（x，y），‎ 由垂径定理可知∠PMC=90°，故点M的轨迹是以CP为直径的圆，‎ 又∵点C（0，1），P（1，1）‎ 故M的轨迹方程为．‎ ‎　‎ ‎21．在如图所示的圆锥中，OP是圆锥的高，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点，E是线段AC的中点，D是线段PB的中点，且PO=2，OB=1．‎ ‎（1）试在PB上确定一点F，使得EF∥面COD，并说明理由；‎ ‎（2）求点A到面COD的距离．‎ ‎【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】（1）连接BE，设BE∩OC=G，由题意G为△ABC的重心，可得=2，连接DG，利用EF∥平面COD，可得EF∥DG，进而得出F点的位置．‎ ‎（2）由PO⊥平面ABC，可得OC⊥PO，利用线面面面垂直的判定与性质定理可得OC⊥平面POB．OC⊥OD．利用VA﹣OCD=VD﹣AOC，即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）连接BE，设BE∩OC=G，由题意G为△ABC的重心，∴=2，‎ 连接DG，‎ ‎∵EF∥平面COD，EF⊂平面BEF，平面BEF∩平面COD=DG，‎ ‎∴EF∥DG，‎ ‎∴==2，‎ 又BD=DP，∴DF=PF=PB．‎ ‎∴点F是PB上靠近点P的四等分点． ‎ ‎（2）由PO⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，‎ ‎∴OC⊥PO，又点C是弧AB的中点，OC⊥AB，∴OC⊥平面POB．‎ OD⊂平面POB，∴OC⊥OD．‎ S△COD=OC•OD==．‎ ‎∵VA﹣OCD=VD﹣AOC，∴•S△COD•d=•PO，‎ ‎∴d=，‎ ‎∴点A到面COD的距离．‎ ‎　‎ ‎22．已知n∈N*，设Sn是单调递减的等比数列{an}的前n项和，a1=且S2+a2，S4+a4，S3+a3成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）记数列{nan}的前n项和为Tn，求证：对于任意正整数n，．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）依题意可求得q=，而a1=1，从而可求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）利用“错位相减法”即可得出数列{nan}的前n项和为Tn，再利用放缩法即可证明．‎ ‎【解答】解：（ I）设数列 {an}的公比为q，由2（S4+a4）=S2+a2+S3+a3，‎ 得（S4﹣S2）+（S4﹣S3）+2a4=a2+a3，即4a4=a2，‎ ‎∴q2=，‎ ‎∵{an}是单调递减数列，‎ ‎∴q=，‎ ‎∴an=（）n．‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎∴，‎ ‎①，②‎ ‎②﹣①得：，，‎ 由，得T1＜T2＜T3＜…＜Tn，‎ 故，‎ 又，‎ 因此对于任意正整数n，‎ ‎　‎ ‎2016年12月9日