2019届二轮复习（理）第九章平面解析几何第53讲课件（31张）（全国通用） 31页

第 53 讲　两条直线的位置关系 考试要求　 1. 根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直 (B 级要求 ) ； 2. 用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标 (B 级要求 ) ； 3. 两点间的距离、点到直线的距离、两条平行直线间的距离 (B 级要求 ). 1.( 2018· 徐州模拟 ) 过点 (1 ， 0) 且与直线 x － 2 y － 2 ＝ 0 平行的直线方程是 ________. 诊 断 自 测 所以所求直线方程为 x － 2 y － 1 ＝ 0. 答案 　 x － 2 y － 1 ＝ 0 2.( 教材改编 ) 已知点 ( a ， 2)( a >0) 到直线 l ： x － y ＋ 3 ＝ 0 的距离为 1 ，则 a ＝ ________. 3.( 教材改编 ) 若直线 (3 a ＋ 2) x ＋ (1 － 4 a ) y ＋ 8 ＝ 0 与 (5 a － 2) x ＋ ( a ＋ 4) y － 7 ＝ 0 垂直，则 a ＝ ________. 解析　 由两直线垂直的充要条件得 (3 a ＋ 2)(5 a － 2) ＋ (1 － 4 a )( a ＋ 4) ＝ 0 ，解得 a ＝ 0 或 a ＝ 1. 答案 　 0 或 1 4. ( 必修 2P94 习题 18 改编 ) 已知直线 l ： y ＝ 3 x ＋ 3 ，那么： (1) 直线 l 关于点 M (3 ， 2) 对称的直线的方程为 __________; (2) l 关于直线 x ＋ y ＋ 2 ＝ 0 对称的直线的方程为 ________. 答案　 (1) y ＝ 3 x － 17 　 (2) x － 3 y － 1 ＝ 0 1. 两条直线的位置关系 (1) 两条直线平行与垂直 ① 两条直线平行： ( ⅰ ) 对于两条不重合的直线 l 1 、 l 2 ，若其斜率分别为 k 1 、 k 2 ，则有 l 1 ∥ l 2 ⇔ ________ . ( ⅱ ) 当直线 l 1 、 l 2 不重合且斜率都不存在时， l 1 ∥ l 2 . ② 两条直线垂直： ( ⅰ ) 如果两条直线 l 1 、 l 2 的斜率存在，设为 k 1 、 k 2 ，则有 l 1 ⊥ l 2 ⇔ ________ ___ . ( ⅱ ) 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0 时， l 1 ⊥ l 2 . 知 识 梳 理 k 1 ＝ k 2 k 1 · k 2 ＝－ 1 2. 几种距离 考点一　两条直线的平行与垂直 【例 1 】 (1)( 2018· 苏北四市联考 ) 已知 a ， b 为正数，且直线 ax ＋ by － 6 ＝ 0 与直线 2 x ＋ ( b － 3) y ＋ 5 ＝ 0 互相平行，则 2 a ＋ 3 b 的最小值为 ________. (2) ( 一题多解 ) 已知直线 l 1 ： ax ＋ 2 y ＋ 6 ＝ 0 和直线 l 2 ： x ＋ ( a － 1) y ＋ a 2 － 1 ＝ 0. ① 试判断 l 1 与 l 2 能否平行； ② 当 l 1 ⊥ l 2 时，求 a 的值 . 答案　 25 (2) 解　 ① 法一　 当 a ＝ 1 时， l 1 ： x ＋ 2 y ＋ 6 ＝ 0 ， l 2 ： x ＝ 0 ， l 1 不平行于 l 2 ； 当 a ＝ 0 时， l 1 ： y ＝－ 3 ， l 2 ： x － y － 1 ＝ 0 ， l 1 不平行于 l 2 ； 综上可知，当 a ＝－ 1 时， l 1 ∥ l 2 . 法二　 由 A 1 B 2 － A 2 B 1 ＝ 0 ， 得 a ( a － 1) － 1×2 ＝ 0 ， 由 A 1 C 2 － A 2 C 1 ≠0 ，得 a ( a 2 － 1) － 1×6≠0 ， 故当 a ＝－ 1 时， l 1 ∥ l 2 . ② 法一　 当 a ＝ 1 时， l 1 ： x ＋ 2 y ＋ 6 ＝ 0 ， l 2 ： x ＝ 0 ， l 1 与 l 2 不垂直，故 a ＝ 1 不成立； 当 a ＝ 0 时， l 1 ： y ＝－ 3 ， l 2 ： x － y － 1 ＝ 0 ， l 1 与 l 2 不垂直； 当 a ≠1 且 a ≠0 时， 规律方法　 (1) 当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况 . 同时还要注意 x ， y 的系数不能同时为零这一隐含条件 . (2) 在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 . 【训练 1 】 若直线 l 1 经过不同的两点 A (2 a ＋ 2 ， 0) ， B (2 ， 2) ， l 2 经过不同的两点 C (0 ， 1 ＋ a ) ， D (1 ， 1). 若 l 1 ∥ l 2 ， l 1 ⊥ l 2 时，分别求实数 a 的值 . 解　 当 a ＝ 0 时， A (2 ， 0) ， B (2 ， 2) ， C (0 ， 1) ， D (1 ， 1). 此时 k AB 不存在，而 k CD ＝ 0 ，所以 l 1 ⊥ l 2 . 当 a ＝－ 1 时， A (0 ， 0) ， B (2 ， 2) ， C (0 ， 0) ， D (1 ， 1) ， k AB ＝ k CD ＝ 1 ，又均过原点 (0 ， 0) ， 所以 l 1 与 l 2 重合 . 当 a ≠0 且 a ≠ － 1 时， 得 a ＝ 1 或 a ＝－ 1( 舍去 ) ； 若 l 1 ⊥ l 2 ，则 k AB · k CD ＝－ 1 ， 综上， 当 a ＝ 1 时， l 1 ∥ l 2 ；当 a ＝ 0 时， l 1 ⊥ l 2 . 考点二　两条直线的交点与距离问题 【例 2 】 (1)( 2018· 宿迁模拟 ) 求经过两条直线 l 1 ： x ＋ y － 4 ＝ 0 和 l 2 ： x － y ＋ 2 ＝ 0 的交点，且与直线 2 x － y － 1 ＝ 0 垂直的直线方程为 ________. ( 2) ( 一题多解 ) 直线 l 过点 P ( － 1 ， 2) 且到点 A (2 ， 3) 和点 B ( － 4 ， 5) 的距离相等，则直线 l 的方程为 ________. ∴ l 1 与 l 2 的交点坐标为 (1 ， 3). 设与直线 2 x － y － 1 ＝ 0 垂直的直线方程为 x ＋ 2 y ＋ c ＝ 0 ， 则 1 ＋ 2 × 3 ＋ c ＝ 0 ， ∴ c ＝－ 7. ∴ 所求直线方程为 x ＋ 2 y － 7 ＝ 0. ( 2) 法一　 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程 为 y － 2 ＝ k ( x ＋ 1) ，即 kx － y ＋ k ＋ 2 ＝ 0. 即 |3 k － 1| ＝ | － 3 k － 3| ， 即 x ＋ 3 y － 5 ＝ 0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x ＝－ 1 ，也符合题意 . 故所求直线 l 的方程为 x ＋ 3 y － 5 ＝ 0 或 x ＝－ 1. 即 x ＋ 3 y － 5 ＝ 0. 当 l 过 AB 的中点时， AB 的中点为 ( － 1 ， 4). ∴ 直线 l 的方程为 x ＝－ 1. 故所求直线 l 的方程为 x ＋ 3 y － 5 ＝ 0 或 x ＝－ 1. 答案　 (1) x ＋ 2 y － 7 ＝ 0 　 (2) x ＋ 3 y － 5 ＝ 0 或 x ＝－ 1 规律方法 　 (1) 求过两直线交点的直线方程的方法： 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程 . (2) 利用距离公式应注意： ① 点 P ( x 0 ， y 0 ) 到直线 x ＝ a 的距离 d ＝ | x 0 － a | ，到直线 y ＝ b 的距离 d ＝ | y 0 － b | ； ② 两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x ， y 的系数化为相等 . 【训练 2 】 (1)( 2018· 济南模拟 ) 若动点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 ) 分别在直线 l 1 ： x － y － 5 ＝ 0 ， l 2 ： x － y － 15 ＝ 0 上移动，则 P 1 P 2 的中点 P 到原点的距离的最小值是 ________. ( 2) 如图，设一直线过点 ( － 1 ， 1) ，它被两平行直线 l 1 ： x ＋ 2 y － 1 ＝ 0 ， l 2 ： x ＋ 2 y － 3 ＝ 0 所截的线段的中点在直线 l 3 ： x － y － 1 ＝ 0 上，求其方程 . (1) 解析　 设 P 1 P 2 的中点为 P ( x ， y ) ， ∵ x 1 － y 1 － 5 ＝ 0 ， x 2 － y 2 － 15 ＝ 0. ∴ ( x 1 ＋ x 2 ) － ( y 1 ＋ y 2 ) ＝ 20 ，即 x － y ＝ 10. ∴ y ＝ x － 10 ， ∴ P ( x ， x － 10) ， (2) 解　 与 l 1 、 l 2 平行且距离相等的直线方程为 x ＋ 2 y － 2 ＝ 0. 设所求直线方程为 ( x ＋ 2 y － 2) ＋ λ ( x － y － 1) ＝ 0 ， 即 (1 ＋ λ ) x ＋ (2 － λ ) y － 2 － λ ＝ 0. 又直线过点 ( － 1 ， 1) ， ∴ (1 ＋ λ )( － 1) ＋ (2 － λ )·1 － 2 － λ ＝ 0. 考点三　对称问题 【例 3 】 (1)( 2018· 苏州模拟 ) 过点 P (0 ， 1) 作直线 l ，使它被直线 l 1 ： 2 x ＋ y － 8 ＝ 0 和 l 2 ： x － 3 y ＋ 10 ＝ 0 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为 ________. ( 2)( 2018· 泰州模拟 ) 已知直线 l ： 2 x － 3 y ＋ 1 ＝ 0 ，求直线 m ： 3 x － 2 y － 6 ＝ 0 关于直线 l 的对称直线 m ′ 的方程 . (1) 解析　 设 l 1 与 l 的交点为 A ( a ， 8 － 2 a ) ，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B ( － a ， 2 a － 6) 在 l 2 上，代入 l 2 的方程得－ a － 3(2 a － 6) ＋ 10 ＝ 0 ，解得 a ＝ 4 ，即点 A (4 ， 0) 在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x ＋ 4 y － 4 ＝ 0. 答案　 x ＋ 4 y － 4 ＝ 0 (2) 解 　在直线 m 上任取一点，如 M (2 ， 0) ，则 M (2 ， 0) 关于直线 l 的对称点 M ′ 必在直线 m ′ 上 . 设对称点 M ′( a ， b ) ，则 又 ∵ m ′ 经过点 N (4 ， 3). ∴ 由两点式得直线 m ′ 的方程为 9 x － 46 y ＋ 102 ＝ 0. 【训练 3 】 已知直线 l ： 3 x － y ＋ 3 ＝ 0 ，求： (1) 点 P (4 ， 5) 关于 l 的对称点； (2) 直线 x － y － 2 ＝ 0 关于直线 l 对称的直线方程； (3) 直线 l 关于 (1 ， 2) 的对称直线 . 解　 (1) 设 P ( x ， y ) 关于直线 l ： 3 x － y ＋ 3 ＝ 0 的对称点为 P ′( x ′ ， y ′) ， 把 x ＝ 4 ， y ＝ 5 代入 ③④ 得 x ′ ＝－ 2 ， y ′ ＝ 7 ， ∴ P (4 ， 5) 关于直线 l 的对称点 P ′ 的坐标为 ( － 2 ， 7 ). ( 2) 用 ③④ 分别代换 x － y － 2 ＝ 0 中的 x ， y ， (3) 在直线 l ： 3 x － y ＋ 3 ＝ 0 上取点 M (0 ， 3) 关于 (1 ， 2) 的对称点 M ′( x ′ ， y ′) ， l 关于 (1 ， 2) 的对称直线平行于直线 l ， ∴ k ＝ 3 ， ∴ 对称直线方程为 y － 1 ＝ 3×( x － 2) ， 即 3 x － y － 5 ＝ 0.