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  • 2021-06-15 发布

【数学】2021届一轮复习人教A版(理)选修4-5不等式选讲

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选修4 - 5不等式选讲 ‎                   ‎ ‎1.[改编题]若a,b,c∈R,且满足|a - c|c;②b+c>a;③a - c>b;④|a|+|b|>|c|.‎ 其中错误的个数为(  )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎2.若不等式|3x - b|<4的解集中的整数有且仅有1,2,3,则b的取值范围为    . ‎ ‎ 3.[2018江苏高考改编]若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,则x2+y2+z2的最小值为    . ‎ ‎4.[2019浙江,16,4分]已知a∈R,函数f (x)=ax3 - x.若存在t∈R,使得|f (t+2) - f (t)|≤‎2‎‎3‎,则实数a的最大值是    . ‎ ‎5.[2017浙江,17,4分]已知a∈R,函数f (x)=|x+‎4‎x - a|+a在区间[1,4]上的最大值是5,则a的取值范围是   . ‎ ‎6.[2020石家庄摸底考试](1)已知a,b,c均为正实数,且a+b+c=1,证明‎1‎a‎+‎1‎b+‎‎1‎c≥9;‎ ‎(2)已知a,b,c均为正实数,且abc=1,证明a‎+b+‎c≤‎1‎a‎+‎1‎b+‎‎1‎c.‎ 考法1绝对值不等式的解法 ‎1[2019全国卷Ⅱ,23,10分][理]已知f (x)=|x - a|x+|x - 2|(x - a).‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f (x)<0的解集;‎ ‎(2)若x∈( - ∞,1)时,f (x)<0,求a的取值范围.‎ ‎(1)根据a=1,将原不等式化为|x - 1|x+|x - 2|(x - 1)<0,分别讨论x<1,1≤x<2,x≥2三种情况,即可求出结果.(2)分别讨论a≥1和a<1两种情况,即可得出结果.‎ ‎(1)当a=1时,原不等式可化为|x - 1|x+|x - 2|(x - 1)<0.‎ 当x<1时,原不等式可化为(1 - x)x+(2 - x)(x - 1)<0,即(x - 1)2>0,显然成立,此时解集为( - ∞,1);‎ 当1≤x<2时,原不等式可化为(x - 1)x+(2 - x)(x - 1)<0,解得x<1,此时解集为∅;‎ 当x≥2时,原不等式可化为(x - 1)x+(x - 2)(x - 1)<0,即(x - 1)2<0,显然不成立,此时解集为∅.‎ 综上,原不等式的解集为( - ∞,1).‎ ‎(2)当a≥1时,因为x∈( - ∞,1),所以f (x)<0可化为(a - x)x+(2 - x)(x - a)<0,即(x - a)(x - 1)>0,显然恒成立,所以a≥1满足题意.‎ 当a<1时,f (x)=‎2(x-a),a≤x<1,‎‎2(x-a)(1-x),xx - f (x)恒成立时a的取值范围.‎ ‎(1)把a的值代入已知函数式f (x)→去掉绝对值符号→求得结论 ‎(2)转化已知不等式→根据不等式恒成立的条件,构造关于a的不等式→解不等式,得出a的取值范围 ‎(1)由题意得,当a=2021时,‎ f (x)=‎‎2x-2021,x≥2021,‎‎2021,x<2021,‎ 易知f (x)在[2021,+∞)上单调递增,所以f (x)的值域为[2021,+∞).‎ ‎(2)由g(x)=|x+1|,不等式g(x) - 2>x - f (x)恒成立,知|x+1|+|x - a|>2恒成立,即(|x+1|+|x - a|)min>2.‎ 而|x+1|+|x - a|≥|(x+1) - (x - a)|=|1+a|,(绝对值三角不等式的应用)‎ 所以|1+a|>2,解得a>1或a< - 3.‎ 解决含参数绝对值不等式问题的关键是确定参数所满足的条件,基本思路就是先去掉绝对值符号,然后将其转化为一次不等式进行求解.‎ ‎3[2019山东潍坊二模]已知函数f (x)=|ax - 2|,不等式f (x)≤4的解集为{x| - 2≤x≤6}.‎ ‎(1)求实数a的值;‎ ‎(2)设g(x)=f (x)+f (x+3),若存在x∈R,使g(x) - tx≤2成立,求实数t的取值范围.‎ ‎(1)由题意知a≠0.由|ax - 2|≤4,得 - 4≤ax - 2≤4,即 - 2≤ax≤6.‎ 当a>0时, - ‎2‎a≤x≤‎6‎a,则‎-‎2‎a=-2,‎‎6‎a‎=6,‎解得a=1;‎ 当a<0时,‎6‎a≤x≤ - ‎2‎a,所以‎6‎a‎=-2,‎‎-‎2‎a=6,‎无解.‎ 所以实数a的值为1.‎ ‎(2)由已知得g(x)=f (x)+f (x+3)=|x - 2|+|x+1|,‎ 即g(x)=‎‎-2x+1(x≤-1),‎‎3(-10时,t≥kBM.‎ 易知kAM= - 1,kBM=‎1‎‎2‎,所以t≤ - 1或t≥‎1‎‎2‎,‎ 即t的取值范围为( - ∞, - 1]∪[‎1‎‎2‎,+∞).‎ ‎2.[2018全国卷Ⅰ,23,10分][理]已知f (x)=|x+1| - |ax - 1|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f (x)>1的解集;‎ ‎(2)若x∈(0,1)时不等式f (x)>x成立,求a的取值范围.‎ 考法3 不等式的证明 ‎4[2017全国卷Ⅱ,23,10分][理]已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:‎ ‎(1)(a+b)(a5+b5)≥4;‎ ‎(2)a+b≤2.‎ ‎(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6‎ ‎=(a3+b3)2 - 2a3b3+ab(a4+b4)‎ ‎=4+ab(a2 - b2)2‎ ‎≥4.‎ ‎(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)‎ ‎≤2+‎3(a+b‎)‎‎2‎‎4‎(a+b)(ab≤‎(a+b‎)‎‎2‎‎4‎的应用)‎ ‎=2+‎3(a+b‎)‎‎3‎‎4‎,(当且仅当a=b时取等号)‎ 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.‎ ‎3.[2019全国卷Ⅰ,23,10分][理]已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明:‎ ‎(1)‎1‎a‎+‎1‎b+‎‎1‎c≤a2+b2+c2;‎ ‎(2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.‎ 考法4利用绝对值三角不等式或基本不等式或数形结合法求最值 ‎5 [2019湖北、山东部分重点中学联考]已知函数f (x)=|x - 1|+|x+1|.‎ ‎(1)解不等式f (x)≤2;‎ ‎(2)设函数f (x)的最小值为m,若a,b均为正数,且‎1‎a‎+‎‎4‎b=m,求a+b的最小值.‎ ‎(1)∵ f (x)=‎-2x, x≤-1,‎‎2, -11,‎‎∴‎x≤-1,‎‎-2x≤2‎或‎-11,‎‎2x≤2.‎ ‎∴ - 1≤x≤1.∴不等式f (x)≤2的解集为[ - 1,1].‎ ‎(2)∵ |x - 1|+|x+1|≥|(x - 1) - (x+1)|=2,∴m=2.‎ 又‎1‎a‎+‎‎4‎b=2,a>0,b>0,∴‎1‎‎2a‎+‎‎2‎b=1.‎ ‎∴a+b=(a+b)(‎1‎‎2a‎+‎‎2‎b)=‎5‎‎2‎‎+‎2ab+‎b‎2a≥‎5‎‎2‎+2=‎9‎‎2‎,当且仅当‎1‎a‎+‎4‎b=2,‎b=2a,‎即a=‎3‎‎2‎,‎b=3‎时等号成立.‎ ‎∴(a+b)min=‎9‎‎2‎.‎ ‎6 [2019全国卷Ⅲ,23,10分][理]设x,y,z∈R,且x+y+z=1.‎ ‎(1)求(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;‎ ‎(2)若(x - 2)2+(y - 1)2+(z - a)2≥‎1‎‎3‎成立,证明:a≤ - 3或a≥ - 1.‎ ‎(1)根据条件x+y+z=1和基本不等式得到(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)2≥‎4‎‎3‎,讨论x,y,z是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题,基本不等式等号成立时构造的x,y,z代入原不等式,便可得到参数a的取值范围.‎ ‎(1)[(x - 1)+(y+1)+(z+1)]2‎ ‎=(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x - 1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x - 1)]‎ ‎≤3[(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)2],‎ 因为x+y+z=1,所以[(x - 1)+(y+1)+(z+1)]2=4.‎ 故(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)2≥‎4‎‎3‎,当且仅当x - 1=y+1=z+1,即x=‎5‎‎3‎,y= - ‎1‎‎3‎,z= - ‎1‎‎3‎时等号成立.‎ 所以(x - 1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为‎4‎‎3‎.‎ ‎(2)[(x - 2)+(y - 1)+(z - a)]2‎ ‎ =(x - 2)2+(y - 1)2+(z - a)2+2[(x - 2)(y - 1)+(y - 1)(z - a)+(z - a)(x - 2)]‎ ‎ ≤3[(x - 2)2+(y - 1)2+(z - a)2],‎ 故由已知得(x - 2)2+(y - 1)2+(z - a)2≥‎(2+a‎)‎‎2‎‎3‎,当且仅当x=‎4-a‎3‎,y=‎1-a‎3‎,z=‎2a-2‎‎3‎时等号成立.‎ 因此(x - 2)2+(y - 1)2+(z - a)2的最小值为‎(2+a‎)‎‎2‎‎3‎.‎ 由题设知‎(2+a‎)‎‎2‎‎3‎≥‎1‎‎3‎,解得a≤ - 3或a≥ - 1.‎ ‎4.[2019湖南娄底二模]已知函数f (x)=|x+1|+2|x - a|.‎ ‎(1)当a=1时,求不等式f (x)≤7的解集;‎ ‎(2)已知a> - 1,且f (x)的最小值等于3,求实数a的值.‎ ‎1.A 由题意得,a - c> - b,‎a - cc,‎b+c>a,‎∴①,②都正确,③不正确.‎ 又|a - c|=|c - a|≥|c| - |a|,‎ ‎∴|c| - |a||c|.④正确.故选A.‎ ‎2.(5,7) 由|3x - b|<4,得 - 4<3x - b<4,即‎ - 4+b‎3‎1的解集为{x|x>‎1‎‎2‎}.‎ ‎(2)当x∈(0,1)时|x+1| - |ax - 1|>x成立等价于当x∈(0,1)时|ax - 1|<1成立.‎ 若a≤0,则当x∈(0,1)时,|ax - 1|≥1;‎ 若a>0,|ax - 1|<1的解集为01时,f (x)≤7即3x - 1≤7,解得x≤‎8‎‎3‎,故1 - 1,所以f (x)=‎‎ - 3x+2a - 1(x< - 1),‎‎ - x+2a+1( - 1≤x