【推荐】专题3-1-3+空间向量的数量积运算-试题君之课时同步君2017-2018学年高二数学人教版（选修2-1）x 5页

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若 a ， b 均为非零向量，则  a b | a || b |是 a 与 b 共线的 A．充分不必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 2．已知 3| a | ， 4| b | ， , 120 < >a b ，则 2  | a b | A． 2 B． 76 C． 2 19 D． 4 【答案】C 【解析】 2 2 22 4 4 4 9 16 4 3 4 cos120 76             | a b | a b a b ， 所以 2 76 2 19  | a b | ．故选 C． 3．若非零向量 a ， b 满足 | a | | b | ， (2 ) 0  a b b ，则 a 与 b 的夹角为 A． 30 B． 60 C．120 D．150 【答案】B 【解析】由题可得 2 2 2(2 ) 2 2 cos , 0       < >a b b a b b | b | a b | b | ，即 1cos , 2 < >a b ，即 ,< >a b 60  ．故选 B． 4．在棱长为 2 的正四面体 ABCD 中， E ， F 分别是 BC ， AD 的中点，则 AE CF   A． 0 B． 2 C． 3 D． 2 【答案】D 【解析】 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 4 4AE CF CE CA CA CD CB CA CA CD CB CA CB                         1 1 1 1 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2 1 2 2 22 2 4 2 4 2 2 2 2CD CA CA CA CD                          ．故选 D． 5．已知 a，b 是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且 AB＝4，CD＝2，则直线 a 与 b 所成的角 是 A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】C 【解析】由题可知 1 1cos , ( ) (8 8| || | AB CDAB CD AC CD DB CD AC CD CD CD AB CD                      < > 21 1) (0 2 0)8 2DB CD       ，即 , 60AB CD   < > ．故选 C． 6．正三棱柱 ABC-A1B1C1 的各棱长都为 2，E，F 分别是 AB，A1C1 的中点，则 EF 的长是 A． 2 B． 3 C． 5 D． 7 【答案】C 二、填空题：请将答案填在题中横线上． 7．如果 1e ， 2e 是两个夹角为 60的单位向量，则 1 2 a e e 与 1 22 b e e 的夹角为________________． 【答案】120 【解析】因为 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( 2 ) 1 2 cos60 1cos , 2 22 2cos60 5 4cos60                 < > e e e ea ba b | a || b | | e e || e e | ，所以 , 120 < >a b ．故填120． 8．已知向量 a ， b 满足 2| a | ， 2| b | ，且 a 与 b 的夹角为 60，则 2 | a b | ________________． 【答案】 2 7 【解析】 2 2 22 4 4 4 4 4 4 2 2cos 60 28            | a b | a b a b ，所以 2 2 7 | a b | ．故填 2 7 ． 9．若非零向量 a ， b 满足 ( 3 ) (7 5 ) ⊥a b a b ，且 ( 4 ) (7 2 ) ⊥a b a b ，则向量a 与 b 的夹角为 ________________． 【答案】 60 10．如图，在平行四边形 ABCD 中， 4AD  ， 3CD  ， 60D  ， PA  平面 ABCD ， 6PA  ，则 PC 的长为________________． 【答案】 7 【解析】因为 PC PA AD DC      ，所以 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 2 2 2 6 4 3 0 0 2 4 3cos120 49 PC PA AD DC PA AD DC PA AD PA DC AD DC                                    , 所以| | 7PC  ，即 7PC  ．故填 7 ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．已知在空间四边形 OACB 中，OB OC ， AB AC ，求证：OA BC ． 【答案】证明见解析． 【解析】因为OB OC ， AB AC ，OA OA ， 所以 OAC OAB△ ≌△ ，所以 AOC AOB   ． ( ) | || | cos | || | cos 0 OA BC OA OC OB OA OC OA OB OA OC AOC OA OB AOB                         ∠ ∠ ， 所以OA BC  ⊥ ，所以OA BC ． 12．如图所示，在四棱锥 P ABCD 中，PA  平面 ABCD ，AB BC ，AB AD ，且 PA AB BC   1 12 AD  ，求 PB 与CD 所成的角． 【答案】 60．