上海市大同中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 16页

www.ks5u.com 大同中学高一期中数学试卷 一. 填空题 ‎1.求值：________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 设x,x∈，直接利用反三角函数求解.‎ ‎【详解】设x,x∈，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查反三角函数求值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎2.一个扇形的弧长和面积都是5，则这个扇形的圆心角大小是________弧度 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设扇形的半径为R,圆心角是，再根据已知得方程组，解方程组即得解.‎ ‎【详解】设扇形的半径为R,圆心角是，‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查扇形的面积和圆心角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎3.函数的定义域是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解不等式即得解.‎ ‎【详解】由题得 所以x∈.‎ 故函数的定义域为 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，考查反三角函数和正切函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎4.函数的周期为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得函数的最小正周期为π，再利用图像得到函数的周期.‎ ‎【详解】由题得函数的最小正周期为π，‎ 函数就是把函数的图像在x轴上的保持不变，把x 轴下方的图像对称地翻折到x轴上方，如图，‎ 所以函数的周期为π.‎ 故答案为：π ‎【点睛】本题主要考查函数的周期，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎5.函数（，）的振幅是3，最小正周期是，初相是2，则它的解析式为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的性质求出，即得函数的解析式.‎ ‎【详解】因为函数（，）的振幅是3，所以A=3.‎ 因为函数的最小正周期是，所以.‎ 因为函数的初相是2，所以.‎ 所以函数的解析式为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法和三角函数的图像性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎6.某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图)，其中，记，，，…，的长度构成的数列为，则的通项公式__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 根据题意：OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1‎ ‎∴，‎ ‎∴是以1为首项，以1为公差等差数列 ‎∴.‎ 点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．‎ ‎7.已知数列中，，，，则________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得数列是等差数列，再求出等差数列的通项公式，再求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以数列是等差数列，‎ 因为，，‎ 所以公差.‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：299‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的判断和通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎8.在中，，且，则____________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦定理求出，再利用余弦定理求出.‎ ‎【详解】由正弦定理可知：，又 由余弦定理可知：‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形问题，属于基础题.‎ ‎9.关于的方程恒有实数解，则的取值范围是________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简原方程得，再换元得到，再利用方程有解得到m的取值范围.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以，‎ 设 所以，‎ 所以，‎ 由题得的值域为，‎ 因为关于的方程恒有实数解，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查方程的解的问题，考查同角的正弦余弦的关系和三角函数的值域的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.‎ ‎10.中国古代数学名著《九章算术》中“竹九节”问题曰：“今有竹九节，下三节容量四升，上四节容量三升，问中间两节欲均容各多少？”其意为：“现有一根9节的竹子，自上而下的容积成等差数列，下面3节容量为4升，上面4节容积为3升，问中间2节各多少容积？”则中间2节容积合计________升 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意题意设九节竹至下而上各节的容量分别为，，，，公差为，利用等差数列的前项和公式和通项公式列出方程组，求得首项和公差，再计算中间两节、的值，再求中间2节总容积.‎ ‎【详解】根据题意，九节竹的每一节容量变化均匀，即其每一节的容量成等差数列，‎ 设至下而上各节的容量分别为，，，，公差为，‎ 分析可得：，‎ 解可得，，‎ 则（升，‎ ‎（升．‎ 故中间两节的总容积为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的前项和的计算，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．‎ 二. 选择题题 ‎11.已知数列是等差数列，数列分别满足下列各式，其中数列必为等差数列的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】设数列的公差为d，‎ 选项A,B,C,都不满足同一常数，所以三个选项都是错误的；‎ 对于选项D，,‎ 所以数列必为等差数列.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查等差数列的判定和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎12.下列等式中正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用反三角函数对每一个选项逐一分析判断得解.‎ ‎【详解】选项A,中x,而是错误的，所以该选项错误；‎ 选项B, ,所以该选项是错误的；‎ 选项C,，所以该选项是正确的；‎ 选项D, ,反正切函数是定义域上的单调函数，所以该选项是错误的.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查反三角函数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎13.若将函数的图像向右平移个单位长度后，与函数的图像重合，则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 函数的图像向右平移个单位得，所以 ‎，所以得最小值为。‎ ‎14.定义函数，下列命题中正确的是（ ）‎ A. 该函数的值域是 B. 该函数是以为最小正周期的周期函数 C. 当且仅当（）时，该函数取到最大值 D. 当且仅当（）时，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 为分段函数，由已知分别解出自变量的范围，从而求得的值域为，，取得最大值1时，得或，求解的最小正周期，利用定义来判断，计算出不是的最小正周期，经过验证第四个命题是对的．‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎，‎ 的值域为，，所以选项A是错误的.‎ 当或时，取得最大值为1．‎ 所以选项C是错误的.‎ 不是以为最小正周期的周期函数，‎ 所以选项B是错误的.‎ 当时，‎ 所以选项D是正确的.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查求解函数的值域、周期、最值等知识，是三角函数的基础知识，应熟练掌握．‎ 三. 解答题 ‎15.已知，求和的值.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据已知求出，再求出和的值.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以，‎ 所以，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查反三角函数和三角函数求值，意在考查学生对这些知识理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎16.若，试判断△的形状.‎ ‎【答案】等腰或直角三角形 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，再利用和角差角的正弦和二倍角的正弦化简即得解.‎ ‎【详解】因，‎ 所以,‎ 所以 所以,‎ 因为,‎ 所以三角形是等腰三角形或直角三角形.‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式，考查和角差角的正弦和二倍角公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.‎ ‎17.一个凸边形的个内角的度数成等差数列，公差是5°，最小内角为120°，求该多边形的边数及最大内角的度数.‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设这是个边形，因为最小的角等于，公差等于，则个外角的度数依次是60， 55，50，，，由于任意多边形的外角和都等于 ‎，由此可以建立方程求出这是几边形．再求出最大内角的度数.‎ ‎【详解】设这是个边形，因为最小的角等于，公差等于，‎ 则个外角的度数依次是60，55，50，，，‎ 由于任意多边形的外角和都等于，所以，‎ ‎，‎ 或，经检验不符合题意，舍去，‎ 所以，这是个9边形．最大的内角为.‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的性质和应用，解题时要注意任意多边形的外角和都等于360度的应用．‎ ‎18.已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；‎ ‎（2）求方程在上解的个数.‎ ‎【答案】（1），，；（2）643‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先化简函数f(x)，再求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）由题得，解方程再给k取值即得解的个数.‎ ‎【详解】由题得 所以，‎ 所以f(x)=,‎ 所以函数的最小正周期为.‎ 令,‎ 所以,‎ 所以函数的单调递增区间为，.‎ ‎（2）由题得，‎ 所以,‎ 因为，‎ 当k=0时，‎ x＞2019.‎ 所以方程在上解的个数为643.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换和三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.‎ ‎19.已知等差数列的公差，数列满足，集合.‎ ‎（1）若，，求集合；‎ ‎（2）若，求使得集合恰有两个元素；‎ ‎（3）若集合恰有三个元素，，T是不超过5的正整数，求T的所有可能值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合.‎ ‎【答案】（1）；（2）或；（3）或4，时，，；时，，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等差数列的通项公式写出，进而求出，再根据周期性求解；（2）由集合 的元素个数，分析数列的周期，进而可求得答案；（3）分别令，2，3，4，5进行验证，判断的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列的通项公式及集合 ‎【详解】（1）等差数列的公差，，数列满足，‎ 集合．‎ 当，‎ 所以集合，0，．‎ ‎（2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：‎ 根据三角函数线，‎ ‎①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，‎ ‎②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，‎ 综上，或者．‎ ‎（3）①当时，，集合，，，符合题意．‎ 与之相应的一个等差数列的通项公式为，此时.‎ ‎②当时，，，，或者，‎ 等差数列的公差，，故，，又，2‎ 当时满足条件，此时，1，．‎ 与之相应的一个等差数列的通项公式为，此时 ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．‎ ‎ ‎