2019-2020学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等六校高一上学期期末联考数学试题（解析版） 16页

‎2019-2020学年江西省南昌市八一中学、洪都中学等六校高一上学期期末联考数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，集合为函数的定义域，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先求出集合A,B,进而取并集即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ ‎∴，‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查并集的概念及运算，考查对数型函数的定义域与不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2．已知函数，则（ ）‎ A．9 B．3 C．0 D．-2‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据对应法则，代入求值即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查分段函数的对应法则，考查求值问题，属于基础题.‎ ‎3．已知为第三象限角，且，，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】把sinα+cosα＝2m两边平方可得m的方程，解方程可得m，结合角的范围可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：把sinα+cosα＝2m两边平方可得1+sin2α＝4m2，‎ 又sin2α＝m2，∴3m2＝1，解得m，‎ 又α为第三象限角，∴m 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两角和与差的三角函数，涉及二倍角公式，属基础题．‎ ‎4．已知，则的值为（ ）‎ A． B．2 C．2或2 D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】巧用“1”，化弦为切，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 解：∵，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数求值，考查“1”的巧用及正余弦齐次式求值，考查计算能力，属于常考题型.‎ ‎5．若在是减函数，则的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】‎ 分析：先确定三角函数单调减区间，再根据集合包含关系确定的最大值.‎ 详解：因为，‎ 所以由得 因此，从而的最大值为，选A.‎ 点睛：函数的性质： ‎ ‎(1). (2)周期 (3)由 求对称轴， (4)由求增区间；‎ 由求减区间.‎ ‎6．若，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由已知条件，结合二倍角公式及诱导公式，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数求值，考查二倍角公式及诱导公式，考查计算能力.‎ ‎7．函数与函数的交点的横坐标所在的大致区间是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】该问题可转化为方程lnx0解的问题，进一步可转化为函数h（x）＝lnx的零点问题．‎ ‎【详解】‎ 令h（x）＝lnx，因为f（2）＝ln2﹣1＜0，f（3）＝ln30，‎ 又函数h（x）在（2，3）上的图象是一条连续不断的曲线，‎ 所以函数h（x）在区间（2，3）内有零点，即lnx0有解，‎ 函数与函数的交点的横坐标所在的大致区间（2，3）‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数零点的存在问题，注意函数与方程思想、转化与化归思想的运用．‎ ‎8．已知函数的最小正周期为，将的图象向右移个单位长度，所得图象关于原点对称，则的一个值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由函数的周期求得ω＝2，再根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得函数y＝sin（2x2） 它为奇函数，故有2kπ，k∈z，‎ 结合所给的选项可得的值．‎ ‎【详解】‎ 由题意可得 π，∴ω＝2．把函数y＝f（x）的图象向右平移个单位长度（＞0），‎ 所得图象对应的函数解析式为y＝sin[2（x）]＝sin（2x2）．‎ 再由它的图象关于原点对称，可得它为奇函数，故有2kπ，k∈z，‎ ‎∴，,‎ 结合所给的选项，故可以等于，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的对称性，属于中档题．‎ ‎9．在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示，它是由个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若直角三角形中较小的锐角为，大正方形的面积是，小正方形的面积是，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意即可算出每个直角三角形的面积，再根据勾股定理和面积关系即可算出三角形的两条直角边．从而算出 ‎【详解】‎ 由题意得直角三角形的面积,设三角形的边长分别为，则有 ‎，所以，所以 ‎，选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角形的面积公式以及直角三角形中，正弦、余弦的计算，属于基础题．‎ ‎10．设函数，将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则的最小值等于 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】【详解】‎ 由题意将的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，说明了是此函数周期的整数倍,得,解得,又,令,得.‎ ‎11．若函数为偶函数，为奇函数，则的值为（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据奇偶性分别求出字母的值，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵函数为偶函数，‎ ‎∴，‎ ‎∵为奇函数，且定义域为R，‎ ‎∴， ，‎ ‎∴，‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查奇偶性的定义，旨在考查学生对概念的掌握程度.‎ ‎12．设函数（），，则方程在区间上的解的个数是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意得，方程在区间上的解的个数即函数与函数的图像在区间上的交点个数．‎ 在同一坐标系内画出两个函数图像，注意当时，恒成立，易得交点个数为.选A．‎ 点睛：函数零点的求解与判断方法：‎ ‎（1）直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．‎ ‎（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．‎ ‎（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．但在应用图象解题时要注意两个函数图象在同一坐标系内的相对位置，要做到观察仔细，避免出错．‎ 二、填空题 ‎13．若集合，则集合中的元素个数为____________．‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据集合的元素关系确定集合即可．‎ ‎【详解】‎ 解：A＝{﹣1，1}，B＝{0，2}，‎ ‎∵x∈A，y∈B，‎ ‎∴x＝1或x＝﹣1，y＝0或y＝2，‎ 则z＝x+y＝﹣1，1，3，‎ 即为{﹣1，1，3}．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合元素个数的确定，利用条件确定集合的元素即可，比较基础．‎ ‎14．若指数函数的图象经过点，则的值为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据条件先求出a，然后利用对数的性质进行求解即可．‎ ‎【详解】‎ 解：∵指数函数y＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（3，64），‎ ‎∴a3＝64，∴a＝4．‎ ‎∴loga2＝log42，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数幂和对数的计算，要求熟练掌握指数幂和对数的运算法则，比较基础．‎ ‎15．函数y=Asin(x+)(＞0,||＜,x∈R)的部分图象如图，则函数表达式为 ‎ ‎【答案】y=‎ ‎【解析】解：因为由图像可知，周期为16，所以振幅为4，过点（-2,0），代入表达式解得满足题意的，故为A ‎16．若，则的取值为________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由条件可得，解得：，，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 解：∵，‎ ‎∴，‎ 解得：或（舍去）‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 故答案为：1‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数求值，考查二倍角余弦公式，考查计算能力.‎ 三、解答题 ‎17．已知，求的值.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，且，再由余弦的倍角公式，化简求得，代入即可求解.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得，且，‎ 又由，所以 而，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角恒等变换的化简求值问题，其中解答中熟记三角恒等变换的公式，合理准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎18．已知的图象上相邻两对称轴的距离为.‎ ‎（1）若，求的递增区间；‎ ‎（2）若时，若的最大值与最小值之和为5，求的值.‎ ‎【答案】(1) 增区间是[kπ－, kπ＋], k∈Z (2) ‎ ‎【解析】试题分析：首先根据已知条件，求出周期，进而求出的值，确定出函数解析式，由正弦函数的递增区间，，即可求出的递增区间 由确定出的函数解析式，根据的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质即可求出函数的最大值，即可得到的值 解析：已知 由，则T＝π＝，∴w＝2‎ ‎∴‎ ‎（1）令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ则－＋kπ≤x≤＋kπ 故f(x)的增区间是[kπ－, kπ＋], k∈Z ‎ ‎（2）当x∈[0, ]时，≤2x＋≤ ‎ ‎∴sin(2x＋)∈[－, 1] ‎ ‎∴∴‎ 点睛：这是一道求三角函数递增区间以及利用函数在某区间的最大值求得参数的题目，主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域和值域，解题的关键是熟练掌握正弦函数的性质，属于中档题。‎ ‎19．已知集合，．‎ ‎（1）若，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由可知，从而可得实数的不等式组；‎ ‎（2）由可知，从而可得实数的不等式组.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵集合，‎ ‎．‎ 若，则，‎ 则，且，‎ 解得：‎ 即此时实数的取值范围为；‎ ‎（2）若，则，‎ ‎①当时，，解得，满足条件，‎ ‎②当时，若，则，此时不等式组无解，‎ 综上所述此时实数的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题考查交并运算，考查转化能力与分类讨论思想，解题关键是：，.‎ ‎20．已知f(α)＝.‎ ‎(1)化简f(α)；‎ ‎(2)若f(α)＝，且<α<，求cosα－sinα的值；‎ ‎(3)若α＝－，求f(α)的值．‎ ‎【答案】（1）f(α)＝sinα·cosα.（2）cosα－sinα＝－. (3) －‎ ‎【解析】(1)根据三角函数的诱导公式化简，得，即可得到答案；‎ ‎ (2)由（1）知，再根据同角三角函数的基本关系式，即可求解.‎ ‎ (3)由，代入，利用诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)f(α)＝＝sinα·cosα.‎ ‎(2)由f(α)＝sinαcosα＝可知 ‎(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×＝.‎ 又∵<α<，∴cosα