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- 2021-06-15 发布
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2020年春四川省泸县五中高三第一学月考试
理科数学
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x<1},B={x|},则
A. B.
C. D.
2.若复数,,其中是虚数单位,则复数的实部为
A. B. C.30 D.8
3.在等差数列 中,若,则等于
A.9 B.27 C.18 D.54
4.在平行四边形中,,则等于
A. B. C. D.
5.根据历年统计资料,我国东部沿海某地区60周岁以上的老年人占,在一个人是60周岁以上的条件下,其患高血压的概率为,则该地区一个人既是60周岁以上又患高血压的概率是
A. B. C. D.
6.函数(且)的图象可能为
A.B.C.D.
7.若的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是
A.210 B.180 C.160 D.175
8.已知函数,且函数有且只有一个零点,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
A. B.
C. D.
10.若函数的图象关于轴对称,则实数的值为
A.2 B.4 C. D.
11.设双曲线:的左、右焦点分别为,,过的直线与双曲线交于,两点,其中在左支上,在右支上.若,则
A. B.8 C. D.4
12.已知函数,,若对,且,使得,则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.设向量,,若,则______.
14.在中任取一实数作为,则使得不等式成立的概率为______.
15.已知抛物线经过点,直线与抛物线交于相异两点,,若的内切圆圆心为,则直线的斜率为______.
16.已知四面体ABCD的四个顶点均在球O的表面上,AB为球O的直径,AB=4,AD=2,BC=,则四面体ABCD体积的最大值为_______。
三、 解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共60分。
17.(12分)如图,已知的内角,,的对边分别是,,,且,点是的中点,,交于点,且,.
(I)求;
(II)求的面积.
18(12分)如图,平面ABCD⊥平面CDEF,且四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形, ,M是线段DE上的点,满足DM=2ME.
(I)证明:BE//平面MAC;
(II)求直线BF与平面MAC所成角的正弦值.
19(12分)随着科技的发展,网络已逐逐渐融入了人们的生活.在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西,在网上付款即可,两三天就会送到自己的家门口,如果近的话当天买当天就能送到,或着第二天就能送到,所以网购是非常方便的购物方式,某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数(单位:人)与时间(单位:年)的数据,列表如下:
1
2
3
4
5
24
27
41
64
79
(I)依据表中给出的数据,是否可用线性回归模型拟合与的关系,请计算相关系数并加以说明(计算结果精确到0.01).(若,则线性相关程度很高,可用线性线性回归模型拟合)
附:相关系数公式,参考数据.
(II)某网购专营店为吸引顾客,特推出两种促销方案.
方案一:毎满600元可减100元;
方案二:金额超过600元可抽奖三次,每次中奖的概率都为都为,且毎次抽奖互不影响,中奖1次打9折,中奖2次打8折,中奖3次打7折.
①两位顾客都购买了1050元的产品,求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率.
②如果你打算购买1000
元的产品,请从实际付款金额的数学期望的角度分折应该选择哪种优惠方案.
20.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别是,是其左右顶点,点是椭圆上任一点,且的周长为6,若面积的最大值为.
(I)求椭圆的方程;
(II)若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两个不同点,证明:直线于的交点在一条定直线上.
21.(12分)已知函数.
(I)当时,证明的图象与轴相切;
(II)当时,证明存在两个零点.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在极坐标系中,直线l:,P为直线l上一点,且点P在极轴上方以OP为一边作正三角形逆时针方向,且面积为.
(I)求Q点的极坐标;
(II)求外接圆的极坐标方程,并判断直线l与外接圆的位置关系.
23.(10分)已知函数,
(I)当时,解不等式;
(II)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
2020年春四川省泸县五中高三第一学月考试
理科数学参考答案
1.A 2.B 3.C 4.A 5.C 6.D 7.B 8.B 9.A 10.C 11.A 12.D
13. 14. 15.-1 16.
17.解(1),由得,
由余弦定理得,
,:
(2)连接,如下图:是的中点,,,
,
在中,由正弦定理得,
,,
,,
,,,
,,
,
18.(1)连接,交于,连接,由于,所以.所以.由于平面,平面,所以平面
(2)因为平面平面,,所以平面,可知两两垂直,分别以的方向为轴,建立空间直角坐标系.设则,.设平面的法向量,则,令,得平面的一个法向量,而,设所求角为,则.故直线与平面所成的角的正弦值为.
19.(1)由题知,,,,
,
则
.
故与的线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合.
(2)①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次,设顾客没有中奖为事件,
则,
故所求概率为.
②若选择方案一,则需付款(元),
若选择方案二,设付款元,则可能取值为700,800,900,1000.
;;
;.
所以(元),
因为,所以选择方案二更划算.
20解:(1)由题意得
椭圆的方程为;
(2)由(1)得,,,设直线的方程为,
,,由,得,
,,,
直线的方程为,直线的方程为,
,,
,直线与的交点在直线上.
21.证明:(1)当a=1时,f(x)=(x﹣2)lnx+x﹣1.
∴f′(x)=lnx++1,
若f(x)与x轴相切,切点为(x0,0),
∴f(x0)=(x0﹣2)lnx0+x0﹣1=0
f′(x0)=lnx0++1=0,解得x0=1或x0=4(舍去)
∴x0=1,∴切点为(1,0),
故f(x)的图象与x轴相切
(2)∵f(x)=(x﹣2)lnx+ax﹣1=0,
∴a=﹣=﹣lnx+,
设g(x)=﹣lnx+,
∴g′(x)=﹣﹣+=,
令h(x)=1﹣2x﹣2lnx
易知h(x)在(0,+∞)为减函数,
∵h(1)=1﹣1﹣2ln1=0,
∴当x∈(0,1)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,
当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减,
∴g(x)max=g(1)=1,
当x→0时,g(x)→﹣∞,当x→+∞时,g(x)→﹣∞,
∴当a<1时,y=g(x)与y=a有两个交点,
即当a<1时,证明f(x)存在两个零点
22.由题意,直线l:,以OP为一边作正三角形逆时针方向,
设,由且面积为,则:,得,所以.
由于为正三角形,所以:OQ的极角为,且,所以
由于为正三角形,得到其外接圆的直径,
设为外接圆上任意一点.
在中,,所以满足.
故的外接圆方程,
又由直线l:和的外接圆直角坐标方程为.
可得圆心到直线的距离,即为半径,故直线与圆相外切.
23.(1)当时,,所以,即求不同区间对应解集,所以的解集为.
(2)由题意,对任意的恒成立,即对任意的
恒成立,令 ,
所以函数的图象应该恒在的下方,数形结合可得.