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  • 2021-06-15 发布

四川省泸县五中2020届高三下学期第一次在线月考数学(理)试题

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‎2020年春四川省泸县五中高三第一学月考试 理科数学 注意事项:‎ ‎1.答卷前,考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。‎ ‎2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.已知集合A={x|x<1},B={x|},则 A. B.‎ C. D.‎ ‎2.若复数,,其中是虚数单位,则复数的实部为 ‎ A. B. C.30 D.8‎ ‎3.在等差数列 中,若,则等于 ‎ A.9 B.27 C.18 D.54‎ ‎4.在平行四边形中,,则等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎5.根据历年统计资料,我国东部沿海某地区60周岁以上的老年人占,在一个人是60周岁以上的条件下,其患高血压的概率为,则该地区一个人既是60周岁以上又患高血压的概率是 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.函数(且)的图象可能为 A.B.C.D.‎ ‎7.若的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中的常数项是 A.210 B.180 C.160 D.175‎ ‎8.已知函数,且函数有且只有一个零点,则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A. B.‎ C. D.‎ ‎10.若函数的图象关于轴对称,则实数的值为 ‎ A.2 B.4 C. D.‎ ‎11.设双曲线:的左、右焦点分别为,,过的直线与双曲线交于,两点,其中在左支上,在右支上.若,则 ‎ A. B.8 C. D.4‎ ‎12.已知函数,,若对,且,使得,则实数的取值范围是 ‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.设向量,,若,则______.‎ ‎14.在中任取一实数作为,则使得不等式成立的概率为______.‎ ‎15.已知抛物线经过点,直线与抛物线交于相异两点,,若的内切圆圆心为,则直线的斜率为______.‎ ‎16.已知四面体ABCD的四个顶点均在球O的表面上,AB为球O的直径,AB=4,AD=2,BC=,则四面体ABCD体积的最大值为_______。‎ 三、 解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.(12分)如图,已知的内角,,的对边分别是,,,且,点是的中点,,交于点,且,.‎ ‎(I)求;‎ ‎(II)求的面积.‎ ‎18(12分)如图,平面ABCD⊥平面CDEF,且四边形ABCD是梯形,四边形CDEF是矩形, ,M是线段DE上的点,满足DM=2ME.‎ ‎(I)证明:BE//平面MAC;‎ ‎(II)求直线BF与平面MAC所成角的正弦值.‎ ‎19(12分)随着科技的发展,网络已逐逐渐融入了人们的生活.在家里面不用出门就可以买到自己想要的东西,在网上付款即可,两三天就会送到自己的家门口,如果近的话当天买当天就能送到,或着第二天就能送到,所以网购是非常方便的购物方式,某公司组织统计了近五年来该公司网购的人数(单位:人)与时间(单位:年)的数据,列表如下:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎24‎ ‎27‎ ‎41‎ ‎64‎ ‎79‎ ‎(I)依据表中给出的数据,是否可用线性回归模型拟合与的关系,请计算相关系数并加以说明(计算结果精确到0.01).(若,则线性相关程度很高,可用线性线性回归模型拟合)‎ 附:相关系数公式,参考数据.‎ ‎(II)某网购专营店为吸引顾客,特推出两种促销方案.‎ 方案一:毎满600元可减100元;‎ 方案二:金额超过600元可抽奖三次,每次中奖的概率都为都为,且毎次抽奖互不影响,中奖1次打9折,中奖2次打8折,中奖3次打7折.‎ ‎①两位顾客都购买了1050元的产品,求至少有一名顾客选择方案二比选择方案一更优惠的概率.‎ ‎②如果你打算购买1000‎ 元的产品,请从实际付款金额的数学期望的角度分折应该选择哪种优惠方案.‎ ‎20.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别是,是其左右顶点,点是椭圆上任一点,且的周长为6,若面积的最大值为.‎ ‎(I)求椭圆的方程;‎ ‎(II)若过点且斜率不为0的直线交椭圆于两个不同点,证明:直线于的交点在一条定直线上.‎ ‎21.(12分)已知函数.‎ ‎(I)当时,证明的图象与轴相切;‎ ‎(II)当时,证明存在两个零点.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)‎ 在极坐标系中,直线l:,P为直线l上一点,且点P在极轴上方以OP为一边作正三角形逆时针方向,且面积为.‎ ‎(I)求Q点的极坐标;‎ ‎(II)求外接圆的极坐标方程,并判断直线l与外接圆的位置关系.‎ ‎23.(10分)已知函数,‎ ‎(I)当时,解不等式;‎ ‎(II)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎2020年春四川省泸县五中高三第一学月考试 理科数学参考答案 ‎1.A 2.B 3.C 4.A 5.C 6.D 7.B 8.B 9.A 10.C 11.A 12.D ‎13. 14. 15.-1 16.‎ ‎17.解(1),由得,‎ 由余弦定理得,‎ ‎,:‎ ‎(2)连接,如下图:是的中点,,,‎ ‎,‎ 在中,由正弦定理得,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎,,, ‎ ‎,,‎ ‎,‎ ‎18.(1)连接,交于,连接,由于,所以.所以.由于平面,平面,所以平面 ‎(2)因为平面平面,,所以平面,可知两两垂直,分别以的方向为轴,建立空间直角坐标系.设则,.设平面的法向量,则,令,得平面的一个法向量,而,设所求角为,则.故直线与平面所成的角的正弦值为.‎ ‎19.(1)由题知,,,,‎ ‎,‎ 则 ‎ ‎.‎ 故与的线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合.‎ ‎(2)①选择方案二比方案一更优惠则需要至少中奖一次,设顾客没有中奖为事件,‎ 则,‎ 故所求概率为.‎ ‎②若选择方案一,则需付款(元),‎ 若选择方案二,设付款元,则可能取值为700,800,900,1000.‎ ‎;;‎ ‎;.‎ 所以(元),‎ 因为,所以选择方案二更划算.‎ ‎20解:(1)由题意得 ‎ 椭圆的方程为;‎ ‎(2)由(1)得,,,设直线的方程为,‎ ‎,,由,得,‎ ‎,,,‎ 直线的方程为,直线的方程为,‎ ‎,,‎ ‎,直线与的交点在直线上.‎ ‎21.证明:(1)当a=1时,f(x)=(x﹣2)lnx+x﹣1.‎ ‎∴f′(x)=lnx++1,‎ 若f(x)与x轴相切,切点为(x0,0),‎ ‎∴f(x0)=(x0﹣2)lnx0+x0﹣1=0‎ f′(x0)=lnx0++1=0,解得x0=1或x0=4(舍去)‎ ‎∴x0=1,∴切点为(1,0),‎ 故f(x)的图象与x轴相切 ‎(2)∵f(x)=(x﹣2)lnx+ax﹣1=0,‎ ‎∴a=﹣=﹣lnx+,‎ 设g(x)=﹣lnx+,‎ ‎∴g′(x)=﹣﹣+=,‎ 令h(x)=1﹣2x﹣2lnx 易知h(x)在(0,+∞)为减函数,‎ ‎∵h(1)=1﹣1﹣2ln1=0,‎ ‎∴当x∈(0,1)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,‎ 当x∈(1,+∞)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减,‎ ‎∴g(x)max=g(1)=1,‎ 当x→0时,g(x)→﹣∞,当x→+∞时,g(x)→﹣∞,‎ ‎∴当a<1时,y=g(x)与y=a有两个交点,‎ 即当a<1时,证明f(x)存在两个零点 ‎22.由题意,直线l:,以OP为一边作正三角形逆时针方向,‎ 设,由且面积为,则:,得,所以.‎ 由于为正三角形,所以:OQ的极角为,且,所以 由于为正三角形,得到其外接圆的直径,‎ 设为外接圆上任意一点.‎ 在中,,所以满足.‎ 故的外接圆方程,‎ 又由直线l:和的外接圆直角坐标方程为.‎ 可得圆心到直线的距离,即为半径,故直线与圆相外切.‎ ‎23.(1)当时,,所以,即求不同区间对应解集,所以的解集为.‎ ‎(2)由题意,对任意的恒成立,即对任意的 恒成立,令 ,‎ 所以函数的图象应该恒在的下方,数形结合可得.‎

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