高考数学专题复习：复数代数形式的四则运算 4页

‎3.2复数代数形式的四则运算 一、选择题 ‎1、若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数的点是(　　)‎ A．E　　　　　 B．F C．G D．H ‎2、对任意复数z＝x＋yi (x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　)‎ A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2‎ C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|‎ ‎3、下列式子中正确的是(　　)‎ A．3i>2i B．|2＋3i|>|1－4i|‎ C．|2－i|>2·i4 D．i2>－i ‎4、设a，b为实数，若复数＝1＋i，则(　　)‎ A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1‎ C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3‎ ‎5、已知i2＝－1，则i(1－i)等于(　　)‎ A.－i B．＋i C．－－i D．－＋i ‎6、复数2等于(　　)‎ A．－3－4i B．－3＋4i C．3－4i D．3＋4i 二、填空题 ‎7、设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z＝______.‎ ‎8、设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(其中i为虚数单位)，则z的模为________．‎ ‎9、若复数z＝1－2i (i为虚数单位)，则z·＋z＝__________.‎ 三、解答题 ‎10、(1)证明|z|＝1⇔z＝；‎ ‎(2)已知复数z满足z·＋3z＝5＋3i，求复数z.‎ ‎11、已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0 (a∈R)有实数根b.‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)若复数z满足|－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值．‎ ‎12、已知复平面上的▱ABCD中，对应的复数为6＋8i，对应的复数为－4＋6i，求向量对应的复数．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、D　[由题图知复数z＝3＋i，‎ ‎∴＝＝＝＝2－i.‎ ‎∴表示复数的点为H.]‎ ‎2、D　[可对选项逐个检查，A项，|z－|≥2y，故A错，B项，z2＝x2－y2＋2xyi，故B错，C项，|z－|≥2y，故C错，D项正确．]‎ ‎3、C　[在A、D中都含有虚数．因虚数不能比较大小，故A、D错；在B中：‎ ‎|2＋3i|＝，|1－4i|＝＝，故B错；在C中，|2－i|＝＝，2·i4＝2，故C正确．]‎ ‎4、A ‎5、B　[i(1－i)＝i＋，选B.]‎ ‎6、A　[2＝2‎ ‎＝(1－2i)2＝－3－4i.]‎ 二、填空题 ‎7、＋i 解析　设z＝x＋yi，则z＋|z|＝＋x＋yi＝2＋i，‎ ‎∴，∴，∴z＝＋i.‎ ‎8、2‎ 解析　考查复数的运算、模的性质．z(2－3i)＝2(3＋2i)，2－3i与3＋2i的模相等，z的模为2.‎ ‎9、6－2i 解析　z·＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i＝6－2i.‎ 三、解答题 ‎10、(1)证明　设z＝x＋yi (x，y∈R)，‎ 则|z|＝1⇔x2＋y2＝1，‎ z＝⇔z·＝1⇔(x＋yi)(x－yi)＝1‎ ‎⇔x2＋y2＝1，‎ ‎∴|z|＝1⇔z＝.‎ ‎(2)解　设z＝x＋yi (x，y∈R)，则＝x－yi，‎ 由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋3(x＋yi)‎ ‎＝(x2＋y2＋3x)＋3yi＝5＋3i，‎ ‎∴∴或.‎ ‎∴z＝1＋i或z＝－4＋i.‎ ‎11、解　(1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0 (a∈R)的实根，‎ ‎∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，‎ 故　解得a＝b＝3.‎ ‎(2)设z＝x＋yi (x，y∈R)，‎ 由|－3－3i|＝2|z|，‎ 得(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，‎ 即(x＋1)2＋(y－1)2＝8.‎ ‎∴Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，2为半径的圆．‎ 如图，当Z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值．‎ ‎∵|OO1|＝，半径r＝2，‎ ‎∴当z＝1－i时，|z|min＝.‎ ‎12、解　设▱ABCD的对角线AC与BD相交于点P，由复数加减法的几何意义，得 ‎＝－＝－＝(－)‎ ‎＝(－6－8i＋4－6i)＝－1－7i，‎ 所以向量对应的复数为－1－7i.‎