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- 2021-06-15 发布
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云南省曲靖二中2020届高三适应性考试数学试题(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷
一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分,在每小题的四个选项中,只有一项符合要求.)
1.已知集合,则的真子集的个数为( )
A.5 B.6 C.7 D.8
2.设是虚数单位,若复数是实数,则的值为( )
A. B. C.1 D.2
3. 命题“”的否定是( )
A. B.
C. D.
4.已知,则的值为( )
A. B. C. D.
5.设变量满足约束条件 ,则目标函数的最大值为( )
A.3 B.4 C.18 D.40
6.某学校为了解高三年级1000名同学宅家学习期间上课、锻炼、休息等情况,决定将高三年级学生编号为1,2,3……1000,从这1000名学生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行网上问卷调查,若46号同学被抽到,则下面4名同学中也被抽到的是( )
A.8号学生 B.200号学生 C.616号学生 D.815号学生
7.已知函数那么f 的值为( )
A.27 B. C.-27 D.-
8.已知双曲线的一条渐近线与圆相交于A,B两点,若|AB|=2,则C的离心率为( )
A. B. C.2 D.4
9.七巧板由七块板(五个等腰直角三角形,一个正方形,一个平行四边形)组成的。如图,将七巧板拼成一个正方形,在正方形内任取一点,则该点落在正方形内的概率为( )
A. B. C. D.
10.中国古代数学名著《九章算术》中,将底面是直角三角形的直棱柱称为 “堑堵”。已知某“堑堵”的正视图和俯视图如下图所示,则该“堑堵”的左视图的面积为( )
A. B.
C. D.
11.已知函数.则关于它有关性质的说法中不正确的是( )
A.周期为
B.将其图象向右平移个单位,所得图象关于y轴对称
C.对称中心为()
D.上单调递减
12.已知球的直径,,是该球面上的两点,,则三棱锥的体积最大值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.)
13.若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______.
14.已知,,则向量在向量方向上的投影为_______.
15.直线过抛物线的焦点,交抛物线于点(点在轴上方),过点作直线的垂线,垂足为,若垂足恰好在线段的垂直平分线上,则直线的斜率为_______.
16.是等边三角形,点D在边的延长线上,且,,则______;______.
三、 解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题,每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.)
17.(本小题满分12分)为了调查某社区居民每天参加健身的时间,某机构在该社区随机采访男性、女性各50名,其中每人每天的健身时间不少于1小时称为“健身族”,否则称其为"非健身族”,调查结果如下:
健身族
非健身族
合计
男性
40
10
50
女性
30
20
50
合计
70
30
100
(1)若居民每人每天的平均健身时间不低于70分钟,则称该社区为“健身社区”. 已知被随机采访的男性健身族,男性非健身族,女性健身族,女性非健身族每人每天的平均健分时间分別是1.2小时,0.8小时,1.5小时,0.7小时,试估计该社区可否称为“健身社区”?
(2)根据以上数据,能否在犯错误的概率不超过5%的情况下认为“健身族”与“性别”有关?
参考公式: ,其中.
参考数据:
0. 50
0. 40
0. 25
0. 05
0. 025
0. 010
0. 455
0. 708
1. 321
3. 840
5. 024
6. 635
18.(本小题满分12分)已知数列是等比数列,,是和的等差中项.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列的前项和.
19.(本小题满分12分)如图,平面平面,四边形是菱形,,,,.
(1)求四棱锥的体积;
(2)在上有一点,使得,求的值.
20.(本小题满分12分)设().
(1)求函数的单调区间;
(2)若在上有且只有一个零点,求实数的取值范围.
21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,已知点,,动点满足直线与直线的斜率之积为.记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程,并说明是什么曲线;
(2)过点作直线与曲线交于不同的两点,试问在轴上是否存在定点,使得直线与直线恰好关于轴对称?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
请考生在第22、23两题中任选一题作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.(本小题满分10分)【选修4−4:坐标系与参数方程】
在数学中,有多种方程都可以表示心型曲线,其中有著名的笛卡尔心型曲线.如图,在直角坐标系中,以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系。图中的曲线就是笛卡尔心型曲线,其极坐标方程为(),为该曲线上的任意一点.
(1)当时,求点的极坐标;
(2)将射线绕原点逆时针旋转与该曲线相交于点,求的最大值.
23.(本小题满分10分)【选修4−5:不等式选讲】
已知函数.
(1)解不等式;
(2)若,,,求证:.
【参考答案】
1.C 2.D 3.C 4.A 5.C 6.C 7.B 8.C 9.D 10.B 11.D 12.B
13. 14. 15. 16.
17.解:(1)随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为
小时,
由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时,
因为1.15小时小时=70分钟,所以该社区不可称为“健身社区”;
(2)由联立表可得,
所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关.
18. 解:(1)设数列的公比为,因为,所以,.
因为是和的等差中项,所以.即,化简得.
因为公比,所以.所以().
(2)因为,所以..
则,①
.②
①-②得,
,所以.
19.解:(1)∵四边形是菱形,∴,
又∵平面平面,平面平面,平面
∴平面,在中,,设,计算得,在梯形中,
梯形的面积,∴四棱锥的体积为.
(2)在平面内作,且,连接交于,则点满足,证明如下:∵,∴,且,
∴四边形是平行四边形.∴,
又菱形中,.∴,
∴四边形是平行四边形 ,∴,即.
∵,∴,又,∴.
20. 解:(1)
21. 解:(1)由题设可得,,,则,化简得. ,
所以C为中心在坐标原点,焦点在X轴上的椭圆,不含左右顶点.
(2)存在定点,满足直线QA与直线QB恰好关于x轴对称,
由题设知,直线l的斜率不为0,设直线的方程为,
与椭圆C的方程联立整理得,设,,定点(依题意).
由根与系数的关系可得,,
直线与直线恰好关于x轴对称,则直线与直线的斜率互为相反数,
所以,即.
又,,所以整理得.
从而可得即,
所以当,即时,直线与直线恰好关于x轴对称
所以,在轴上存在点,满足直线与直线恰好关于x轴对称
22. 解:(1)设点在极坐标系中的坐标,由,得,,,或,
所以点的极坐标为或.
(2)由题意可设,.由,得,.
,故时,的最大值为.
23. 解:(1).
当时,由,解得,此时;
当时,不成立;
当时,由,解得,此时.
综上所述,不等式的解集为;
(2)要证,即证,
因为,,所以,,,
.
所以,.故所证不等式成立.