2018-2019学年内蒙古赤峰二中高一下学期第二次月考数学（理）试题（解析版） 17页

‎2018-2019学年内蒙古赤峰二中高一下学期第二次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．不等式的解集为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据分式不等式解法，化为一元二次不等式，进而通过穿根法得到不等式解集。‎ ‎【详解】‎ 不等式可化简为 且 ‎ 根据零点和穿根法，该分式不等式的解集为 ‎ ‎ 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查了分式不等式的解法，切记不能直接去分母解不等式，属于基础题。‎ ‎2．在等比数列中，若，是方程的两根，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题首先可以根据“、是方程的两根”计算出的值，然后通过等比数列的相关性质得出，即可计算出的值。‎ ‎【详解】‎ 因为、是方程的两根，‎ 所以根据韦达定理可知，‎ 因为数列是等比数列，‎ 所以，，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的相关性质，主要考查等比数列中等比中项的灵活应用，若，则有，考查推理能力，体现了基础性，是简单题。‎ ‎3．在中，已知 ，则此三角形的解的情况是（ ）‎ A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的情况不确定 ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用正弦定理列出关系式，将的值代入求出的值，即可做出判断.‎ 详解：在中，，‎ 由正弦定理，‎ 得，‎ 则此时三角形无解，故选C.‎ 点睛：本题主要考查正弦定理在解三角形中的应用，属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.‎ ‎4．若满足，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题首先可以通过题目所给出的不等式组画出不等式组在坐标系中所表示的可行域，然后通过对目标函数进行平移即可找出可行域内使得目标函数取最小值的点为，最后将代入目标函数中即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 可根据题目所给不等式组画出如图所示的平面区域，‎ 得出、、，‎ 再根据线性规划的相关性质对目标函数进行平移，‎ 可知当目标函数过点时取最小值，此时，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划的相关性质，能否通过不等式组正确的画出可行域并在可行域中找出目标函数的最优解是解决本题的关键，考查数形结合思想，考查推理能力，锻炼了学生的绘图能力，是中档题。‎ ‎5．已知，，且，，成等差数列，则有 A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 ‎【答案】B ‎【解析】解：由题意可知： ，且： ，‎ 由均值不等式有： ，当且仅当 时等号成立.‎ 本题选择B选项.‎ ‎6．已知的一个内角为，并且三边长构成公差为2的等差数列，则的周长为（ ）‎ A．15 B．18 C．21 D．24‎ ‎【答案】A ‎【解析】设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，设公差为d＝2，推出a﹣b＝b﹣c＝2，a＝c+4，b＝c+2，利用余弦定理能求出三边长，从而得到这个三角形的周长．‎ ‎【详解】‎ 解：不妨设三角形的三边分别为a、b、c，且a＞b＞c＞0，‎ 设公差为d＝2，三个角分别为、A、B、C，‎ 则a﹣b＝b﹣c＝2，‎ a＝c+4，b＝c+2，‎ ‎∵A＝120°．‎ ‎∴cosA．‎ ‎∴c＝3，‎ ‎∴b＝c+2＝5，a＝c+4＝7．‎ ‎∴这个三角形的周长＝3+5+7＝15．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形的周长的求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．注意余弦定理的合理运用，是中档题．‎ ‎7．南北朝数学家祖暅在推导球的体积公式时构造了一个中间空心的几何体，经后继学者改进后这个中间空心的几何体其三视图如图所示.现用一与下底面平行且与下底面距离为的平面去截该几何体，则截面面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，首先得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，得到截面为圆环，明确其半径求面积．‎ ‎【详解】‎ 由已知得到几何体为一个圆柱挖去一个圆锥，底面半径为2高为2，截面为圆环，小圆半径 为，大圆半径为2，设小圆半径为，则，得到，所以截面圆环的面积 ‎.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了几何体得到三视图以及截面面积的求法；关键是明确几何体形状，然后得到截面 的性质以及相关的数据求面积．‎ ‎8．在R上定义运算:=ad-bc,若不等式≥1对任意实数x恒成立,则实数a的最大值为(　　)‎ A．- B．- C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据定义化简不等式，并参变分离得x2-x+1≥a2-a，根据恒成立转化为x2-x+1最小值不小于a2-a，最后根据二次函数性质求最小值，得关于a不等式，解不等式得结果.‎ ‎【详解】‎ 由定义知,不等式≥1等价于x2-x-(a2-a-2)≥1,所以x2-x+1≥a2-a对任意实数x恒成立.因为x2-x+1=+≥,所以a2-a≤,解得-≤a≤,则实数a的最大值为. 选D.‎ ‎【点睛】‎ 对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法, 使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件.二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论，三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.‎ ‎9．数列满足，对任意的都有，则（ ）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据题意，将变形可得，进而可得，裂项可得；据此由数列求和方法可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意，数列满足对任意都有，则，‎ 则，‎ 则；‎ 则；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查数列的递推公式和数列的裂项相消法求和，关键是求出数列的通项公式，属于综合题．‎ ‎10．中，角的对边分别为，且，，则面积的最大值为（　　）‎ A． B．2 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】通过正弦定理化简表达式，利用余弦定理求出的大小，再利用余弦定理及均值不等式求出的最大值，从而求得三角形面积的最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎∵，‎ 由正弦定理得，‎ 即；‎ 由余弦定理得，‎ 结合，得；‎ 又，‎ 由余弦定理可得，当且仅当等号成立，‎ ‎∴，即面积的最大值为．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正余弦定理，三角形面积公式，基本不等式，属于中档题.在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.又二元等式条件下的二元函数的最值问题可考虑用基本不等式来求.‎ ‎11．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，若三棱锥体积的最大值为2，则球的表面积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据棱锥的最大高度和勾股定理计算球的半径，从而得出外接球的表面积．‎ 详解：因为，所以，‎ 过的中点作平面的垂下，则球心在上，‎ 设，球的半径为，则棱锥的高的最大值为，‎ 因为，所以，‎ 由勾股定理得，解得，‎ 所以球的表面积为，故选D．‎ 点睛：本题考查了有关球的组合体问题，以及三棱锥的体积的求法，解答时要认真审题，注意球的性质的合理运用，求解球的组合体问题常用方法有（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）利用球的截面的性质，根据勾股定理列出方程求解球的半径．‎ ‎12．若正数满足，则的最小值为（　　）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，解得，又由，得，再利用基本不等式，即可求解其最小值.‎ ‎【详解】‎ 由题意，设，解得其中，‎ 因为，所以，整理得，‎ 又由，‎ 当且仅当，即等号成立，‎ 所以的最小值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了换元法的应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理利用换元法，以及准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13．不等式的解集为 或 ，则实数a的取值范围______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得和是方程的根，根据判别式大于等于0，直接比较和a的大小即可，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得和是方程的根，‎ 又，‎ 所以，故.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解一元二次不等式，一元二次方程有根的判定，属于中档题.‎ ‎14．等差数列{an}前n项和为Sn，公差d<0，若S20>0,S21<0,，当Sn取得最大值时，n的值为_______．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】试题分析：根据所给的等差数列的,，根据等差数列的前n项和公式，看出第11项小于0，第10项和第11项的和大于0，得到第10项大于0，这样前10项的和最大．‎ ‎∵等差数列中，，即，‎ ‎∴达到最大值时对应的项数n的值为10‎ ‎【考点】等差数列性质 ‎15．设为两两不重合的平面， 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：‎ ‎①若，则；‎ ‎②若且则 ‎ ‎③若//，则；‎ ‎④若// ，则 ‎ 则上述命题中正确的是_________‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】根据平行垂直的判定与性质逐项分析即可.‎ ‎【详解】‎ 对于① 由于不确定m,n是否相交，所以推不出 ②因为，所以或， 可知必过的一条垂线，所以正确.③若//,可能，推不出 ④//，可推出，所以正确.故填②④.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面垂直，线面平行，面面垂直，面面平行的判定和性质，属于中档题.‎ ‎16．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，已知正数列{an}满足Sn=（an），n∈N，其中Sn为数列{an}的前n项的和，则[]=______．‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】先由数列的关系求出，再利用放缩法和裂项相消求得前n项和S的值，可得答案.‎ ‎【详解】‎ 由题可知，当时，化简可得，当 所以数列是以首项和公差都是1的等差数列，即 又时， ‎ 记 ‎ 一方面 ‎ 另一方面 ‎ 所以 ‎ 即 ‎ 故答案为20‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了新定义、数列通项与求和、不等式知识点，构造新的等差数列以及用放缩法求数列的和是解答本题的关键，注意常见的裂项相消法求和的模型，属于难题.‎ 三、解答题 ‎17．已知数列为等差数列，；数列是公比为的等比数列，，.‎ ‎（1）求数列，的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ； (2) ‎ ‎【解析】（1）将等差和等比数列的各项都化为首项和公差或公比的形式，从而求得基本量；根据等差和等比数列通项公式求得结果；（2）通过分组求和的方式，分别求解出等差和等比数列的前项和，加和得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等差数列的首项为，公差为 ‎ 解得：， ‎ ‎，， ‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列、等比数列通项公式和前项和的求解，分组求和法求解数列的和的问题，属于基础题.‎ ‎18．如图，是正方形，是正方形的中心，底面，是的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若，，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）通过中位线证得，根据线面平行的判定定理证得结论；（2）利用体积桥可知，根据公式求解出即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）连接 为正方形，则为中点 在中，分别为中点，∥‎ 又平面，平面 平面 ‎（2）由题意知：，又，‎ 点到面的距离为 ‎【点睛】‎ 本题考查线面平行关系、线面垂直关系的证明，三棱锥体积的求解，考查学生对于直线与平面位置关系涉及到的定理的掌握情况.求解三棱锥体积时，常采用体积桥的方式进行转化.‎ ‎19．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.‎ ‎（1）求角B的大小；‎ ‎（2）设a=2，c=3，求b和的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则B=．‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得 详解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，‎ 又由，得，‎ 即，可得．‎ 又因为，可得B=．‎ ‎（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，‎ 有，故b=．‎ 由，可得．因为a