2018-2019学年黑龙江省双鸭山市第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题 解析版 21页

绝密★启用前 黑龙江省双鸭山市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．某高中有学生1 000人，其中一、二、三年级的人数比为4∶3∶1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ）‎ A．100 B．40 C．75 D．25‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分层抽样的方法，即可求解三年级抽取的人数，得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，按一、二、三年级的人数比为4∶3∶1，要用分层抽样的方法，从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则三年级抽取的人数为人，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的方法是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎2．某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布.已知数学成绩平均分为90分,60分以下的人数占10%,则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为 （ ）‎ A．40% B．30% C．20% D．10%‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据考生的数学成绩服从正态分布，数学成绩的平均分为90分，得到正态曲线关于对称，根据60分以下的人数占，得到高于120分的人数所成的比例也为，根据正分布的对称性，即可得到90分至120分的人数，‎ ‎【详解】‎ 根据考生的数学成绩服从正态分布，数学成绩的平均分为90分，‎ 得到正态曲线关于对称，根据60分以下的人数占，‎ 得到高于120分的人数所成的比例也为，‎ 根据正分布的对称性，则90分至120分的人数所占的比例为，‎ 故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中是正态分布曲线的对称性和所表示的意义是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎3．对于空间的两条直线和一个平面，下列命题中的真命题是 （ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐一判定，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，对于A中，若，则与平行、相交或异面，所以不正确；‎ 对于B中，若，垂直与同一平面的两直线是平行的，则是正确的；‎ 对于C中，若，则，所以是不正确的；‎ 对于D中，若，则与平行、相交或异面，所以不正确；‎ 故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了线面平行与线面垂直的性质的应用，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，合理判定是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题。‎ ‎4．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为，则在吹东风的条件下下雨的概率为 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，利用条件概率的计算公式，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 设事件A表示某地三月份吹东风，事件B表示三月份下雨，‎ 根据条件概率的计算公式，可得在吹东风的条件下下雨的概率为,‎ 故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了条件概率的计算问题，其中解答中正确理解条件的概念，以及条件概率的计算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力。‎ ‎5．甲、乙两名学生六次数学测验成绩如图所示。 ‎ ‎ ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数； ‎ ‎②甲同学的平均分比乙同学的平均分高； ‎ ‎③甲同学的平均分比乙同学的平均分低； ‎ ‎④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差。 ‎ 上面说法正确的是（ ）‎ A．②④ B．①②④ C．③④ D．①③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由茎叶图的数据，求出甲乙同学成绩的中位数、平均数，方差等数据，比较即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 根据给定的茎叶图中的数据可知：‎ 对于①中，甲同学成绩的中位数是81，乙同学的中位数是87.5，‎ 所以甲同学的中位数小于乙同学的中位数，所以不正确；‎ 对于②中，甲同学的平均数为，‎ 乙同学的平均数为，‎ 所以乙的平均数高于甲的平均数，所以②不正确；‎ 对于③中，甲同学的平均分为分，乙同学的平均分为，所以甲同学的平均分低于乙同学的平均分，所以③正确；‎ 对于④中，又由甲同学的成绩数据比较集中，方差小，乙同学的数据比较分散，方差大，‎ 所以甲同学的方差小于乙同学的方差，‎ 综上可知，正确的说法为③④，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用茎叶图分析数据的平均数、中位数和方差等问题，其中解答中熟练掌握茎叶图的数据的读取，以及中位数、平均数的计算公式等是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎6．下图是把二进制数 化成十进制数的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：根据程序框图，值依次为：，循环后，，，，，应该是输出的结果，故选判断框可以是．选C．‎ 考点：程序框图．‎ ‎7．在4次独立重复试验中,事件A发生的概率相同,若事件A至少发生1次的概率为,则事件A在1次试验中发生的概率为(　 　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式，求得事件A至少发生1次的对立事件为在4次独立重复试验中，事件A一次也没有发生，即可求解得到答案。‎ ‎【详解】‎ 由题意，事件A在以试验中发生的概率为，事件A在一次试验中不发生的概率为，‎ 因为事件A至少发生1次的概率是，它的对立事件是“在4次独立试验中，事件A一次也没有发生”，‎ 所以由条件知，解得，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了独立重复试验的知识，其中解答中对于至少或至多等方面的问题，采取对立事件求解，能较好地简化运算，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题。‎ ‎8．已知双曲线的一个焦点与圆的圆心重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的标准方程为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵圆化成标准方程，得，∴圆的圆心为，∵双曲线的一个焦点为，且的离心率等于，∴，且，因此， ，可得该双曲线的标准方程为，故选A.‎ 点睛：本题给出双曲线的离心率，并且一个焦点为已知圆的圆心，求双曲线的标准方程，着重考查了圆的标准方程、双曲线的基本概念和简单几何性质等知识，属于基础题；将圆化成标准方程得圆的圆心为，可得，结合双曲线的离心率算出，由平方关系得到，由此即可得出该双曲线的标准方程.‎ ‎9．设A为定圆C圆周上一点，在圆周上等可能地任取一点与A连接，求弦长超过半径倍的概率（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先找出满足条件弦的长度超过的图象的测度，再代入几何概型计算公式求解，即可得到答案。‎ ‎【详解】‎ 根据题意可得，满足条件：“弦的长度超过对应的弧”，‎ 其构成的区域为半圆,‎ 则弦长超过半径倍的概率，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何概型的概率计算中的“几何度量”，对于几何概型的“几何度量”可以线段的长度比、图形的面积比、几何体的体积比等，且这个“几何度量”只与“大小”有关，与形状和位置无关，着重考查了分析问题和解答问题的能力。‎ ‎10．命题“设，若，则或”是一个真命题；‎ ‚若“”为真命题，则均为真命题；‎ ƒ命题“”的否定是“”；‎ ‎④“”是函数为偶函数的充要条件。‎ 其中正确判断的个数是 （ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别根据四种命题的等价关系，复合命题的真值表，以及存在性命题与全称命题的关系和充要条件的判定方法，逐一判定，即可得到结论。‎ ‎【详解】‎ 对于①中，命题“设，若，则或”的逆否命题为“设，若且，则”是一个真命题，所以原命题也是真命题；‎ 对于②中，若“”为真命题，根据复合命题的真值表可知，命题中至少有一个是真命题，所以均为真命题是不正确的；‎ 对于③中，命题“”的否定是 ‎“”，所以不正确；‎ 对于④中，当“”是函数为偶函数，且函数 是偶函数，则，所以是正确，‎ 综上可知，正确的命题①④，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简易逻辑的有关命题的真假判定，其中解答中熟记四种命题的等价关系，充要条件的判定方法，以及命题的否定的概念和复合命题真假判定的方法等知识点是解答此类问题的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题。‎ ‎11．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为的共有（ ）‎ A.24对 B.30对 C.48对 D.60对 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：在正方体中，与上平面中一条对角线成的直线有，，，共八对直线，与上平面中另一条对角线的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有对直线，去掉重复，则有对.故选C.‎ 考点：1.直线的位置关系；2.异面直线所成的角.‎ ‎12．已知为抛物线的准线与轴的交点，是抛物线的焦点，点在抛物线上且，当取最大值时，点在以为焦点的双曲线上，若，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据抛物线的定义可知，等于点到准线的距离，即，设直线的方程为，联立方程组，根据由，解得，得到的最大值为，求得，再根据双曲线的定义和，即可求解。‎ ‎【详解】‎ 由题意已知为抛物线的准线与轴的交点，则 ，‎ 是抛物线的焦点，则，‎ 根据抛物线的定义可知，等于点到准线的距离，即，‎ 设直线的方程为，‎ 联立方程组 ，得，‎ 由，解得，‎ 则，即的最大值为，‎ 当时，直线的方程为，此时解得，‎ 又由点在以为焦点的双曲线上，且，‎ 根据双曲线的定义可知 ‎ 且，即，解得，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了双曲线与抛物线标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线和抛物线的标准方程及其简单的几何性质，以及联立方程组，合理转化为直线与曲线的位置关系的应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．的展开式中的系数为__________。‎ ‎【答案】－20‎ ‎【解析】‎ 二项展开式的通项公式．令，得．即其系数为．故本题应填．‎ ‎14．设F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一个焦点，若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据对称性，不妨设，短轴端点为，从而可知点在双曲线上，‎ ‎∴.‎ 考点：双曲线的标准方程及其性质.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中的信息进行 等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用，焦点坐标，渐近线方程等性质，‎ 也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.‎ 视频 ‎15．已知三棱锥的顶点都在球的球面上,,且平面，则三棱锥的体积等于_____________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定，且为的中点，在计算三棱锥的体积，利用三棱锥的体积等于三棱锥的体积，即可求得答案。‎ ‎【详解】‎ 三棱锥的顶点都在球的球面上，且，‎ 所以，且为的中点，‎ 因为，‎ 所以的面积为，‎ 因为平面，‎ 所以三棱锥的体积为，‎ 因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，‎ 所以三棱锥的体积等于12.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三棱锥的体积的计算，其中解答中先确定，且为的中点，在计算三棱锥的体积，利用三棱锥的体积等于三棱锥的体积是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题。‎ ‎16．集合的4元子集中，任意两个元素的差的绝对值都不为1，这样的4元子集的个数为_______个。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 不妨设，有，相当于从中任意选出4个，所有的取法共有，运算求得结果。‎ ‎【详解】‎ 不妨设，由于任意两个元素的差的绝对值都不为1，‎ 故有，‎ 将分别减去，这时相当于从中任意选出4个，所有的取法共有中不同的取法，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了排列组合的应用，其中解答中转化为相当于从中任意选出4个，利用组合数的公式求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，他们分别到气象局与市医院抄录了2至5月每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数，得到如下资料(表)：‎ 日期 ‎2月10日 ‎3月10日 ‎4月10日 ‎5月10日 昼夜温差x(℃)‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎12‎ ‎8‎ 就诊人数y(个)‎ ‎25‎ ‎29‎ ‎26‎ ‎16‎ ‎ ‎ 请根据以上数据，求出y关于x的线性回归方程 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，根据表中的数据，分别求得，进而求得，的值，即可得到回归直线的方程。‎ ‎【详解】‎ 由题意，根据表中的数据，分别求得，‎ 代入公式，得 又由，所以回归直线的方程为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了回归直线方程的求解，其中解答中根据表中的数据，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。‎ ‎18．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下.‎ 寿命（h）‎ ‎100～200‎ ‎200～300‎ ‎300～400‎ ‎400～500‎ ‎500～600‎ 个 数 ‎20‎ ‎30‎ ‎80‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎（1）补全频率分布表，并画出频率分布直方图；‎ ‎（2）从频率分布直方图求平均数．（只列出算式即可）‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎（1）根据题意，列出样本频率分布表如下：‎ 画出频率分布直方图，如下：‎ ‎(2)=365‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图，以及频率分布直方表的应用，其中对于用样本估计总体主要注意以下两个方面：1、用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观；2、频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.‎ ‎19．已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于两点，且.‎ ‎（1）求抛物线的方程;‎ ‎（2）为坐位原点，为抛物线上一点，若，求的值.‎ ‎【答案】（1）y2＝8x.（2）λ＝0，或λ＝2.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：第一问求抛物线的焦点弦长问题可直接利用焦半径公式，先写出直线的方程，再与抛物线的方程联立方程组，设而不求，利用根与系数关系得出 ‎，然后利用焦半径公式得出焦点弦长公式，求出弦长，第二问根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.‎ 试题解析：‎ ‎ (1)直线AB的方程是y＝2（x-2），与y2＝8x联立，消去y得x2－5x＋4＝0，‎ 由根与系数的关系得x1＋x2＝5.由抛物线定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝9， ‎ ‎(2)由x2－5x＋4＝0，得x1＝1，x2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)．‎ 设＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4，4)＝(4λ＋1，4λ－2)， ‎ 又y＝8x3，即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，‎ 解得λ＝0或λ＝2.‎ ‎【点睛】求弦长问题，一般采用设而不求联立方程组，借助根与系数关系，利用弦长公式去求；但是遇到抛物线的焦点弦长问题时，可直接利用焦半径公式，使用焦点弦长公式，求出弦长.遇到与向量有关的问题，一般采用坐标法去解决，根据联立方程组解出的A、B两点坐标，和向量的坐标关系表示出点C的坐标，由于点C在抛物线上满足抛物线方程，求出参数值.‎ ‎20．如图，在三棱锥中，，，°,平面平面，分别为中点.‎ ‎（1）求证：平面;‎ ‎（2）求二面的大小. ‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三角形的中位线定理可得 ‎，进而由线面平行的判定定理，即可正面的结论；‎ ‎（2）以D为原点建立空间空间直角坐标系，分别求出平面PBE的法向量和平面PAB的法向量，代入向量的夹角公式，即可求解二面角的大小。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）在中，D、E分别为AB、AC的中点，‎ 所以，又由平面平面，‎ 所以平面。‎ ‎（2）连接PD，因为PA=PB，E为AB的中点，所以，‎ 因为，，所以，‎ 以D为原点建立空间直角坐标系，如图所示，‎ 由，所以 所以,‎ 设平面PBE的法向量为，‎ 则 ，即，令，得，‎ 因为平面，所以平面PAB的法向量为，‎ 设二面角的大小为，‎ 所以，所以，‎ 即二面角的大小为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何中的线面平行的判定和二面角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力；解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理，明确角的构成，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎21．某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A、B、C、D四个问题，规则如下：‎ ‎①每位参加者记分器的初始分均为10分，答对问题A、B、C、D分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；‎ ‎②每回答一题，记分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；‎ ‎③每位参加者按问题A、B、C、D顺序作答，直至答题结束。‎ 假设甲同学对问题A、B、C、D回答正确的概率依次为、、、，且各题回答正确与否相互之间没有影响。‎ ‎（1）求甲同学能进入下一轮的概率；‎ ‎（2）用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望Εξ。‎ ‎【答案】（1）；（2） 分布列见解析，期望为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，列举甲能进入下一轮的五种情况，由于每题答题结果相互独立，根据相互对立事件和互斥事件的概率公式，得到结果；‎ ‎（2）哟图一可知答对一个题或答错一个题都不能决定你甲的去留，所以最少答两个题，随机变量可能的取值为，由于每题的答题结构都是相对独立的，根据相互对立事件同时发生的概率得到结果。‎ ‎【详解】‎ 设分别是第一、二、三、四个问题，用表示甲同学第个问题回答正确，用表示第个问题回答错误，则是对立事件，‎ 由题意得，,‎ 则，‎ ‎（1）记“甲同学能进入下一轮”为事件Q，‎ 则 ‎ ‎。‎ ‎（2）由题意，可知随机变量可能的取值，‎ 由于每题答题结果都是相对对立的，‎ 因为,‎ ‎,‎ 所以。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可取值有那些？当随机变量取这些值时所对应的事件的概率有是多少，计算出概率值后，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望；列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题.‎ ‎22．已知椭圆的离心率不大于。‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）若椭圆的离心率为，试问在椭圆上是否存在两个不同的点关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过原点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】（1）；（2）或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由椭圆的方程，求得椭圆的离心率为，得到，即的，‎ 又由，即可求解的取值范围；‎ ‎（2）由题意，求得椭圆方程为，当时，椭圆C上不存在两个不同的点A,B关于直线对称，当时，得到直线，联立方程组，利用根与系数的关系和向量的数量积的运算，即可求解。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由椭圆的方程，可知，‎ 又由，则椭圆的离心率为 ‎ 又由椭圆的离心率大于，即，即的，‎ 又由，所以的取值范围是。‎ ‎（2）由得椭圆方程为 当时，椭圆C上不存在两个不同的点A,B关于直线对称 当时，假设在椭圆上存在两个不同的点A,B关于直线对称，此时设直线，联立消去y整理得 即：‎ 设。则 ‎，‎ 设线段A,B的中点为K，则 又K在直线上,故整理得‚‎ 将代入即整理得解得，‎ 又因为以AB为直径的圆恰好过圆心，得 即，整理得，‎ 将代入，得解得满足 所以或 ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等。‎