2020届二轮复习直接证明与间接证明数学归纳法课件（31张）（全国通用） 31页

第4节　直接证明与间接证明、数学归纳法 [ 考纲展示 ] 1. 了解直接证明的两种基本方法 : 综合法和分析法 ; 了解综合法和分析法的思考过程和特点 . 2. 了解反证法的思考过程和特点 . 3. 了解数学归纳法的原理 , 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 . 知识链条完善 考点专项突破 知识链条完善 把散落的知识连起来 知识梳理 1. 直接证明 (1) 综合法 定义 : 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等 , 经过一系列的推理论证 , 最后推导出 的证明方法 . (2) 分析法 定义 : 从要证明的结论出发 , 逐步寻求使它成立的充分条件 , 直至最后 , 把要证明的结论归结为 ( 已知条件、定理、定义、公理等 ) 为止的证明方法 . 所要证明的结论成立 判定一个明显成立的条件 2. 间接证明 —— 反证法 一般地 , 假设原命题 ( 即在原命题的条件下 , 结论不成立 ), 经过正确的推理 , 最后得出矛盾 , 因此说明 , 从而证明了 , 这样的证明方法叫做反证法 . 3. 数学归纳法 一般地 , 证明一个与正整数 n 有关的命题 , 可按下列步骤进行 : (1) 归纳奠基 : 证明当 n 取第一个值 n 0 (n 0 ∈ N * ) 时命题成立 ; (2) 归纳递推 : 假设 时命题成立 , 证明当 时命题也成立 . 只要完成这两个步骤 , 就可以断定命题对从 n 0 开始的所有正整数 n 都成立 . 上述证明方法叫做数学归纳法 . 不成立 假设错误 原命题成立 n=k(k≥n 0 ,k∈ N * ) n=k+1 对点自测 B 1. 用分析法证明 : 欲使① A>B, 只需② C0, 所以 a 2 >ab. ① 又 ab-b 2 =b(a-b)>0, 所以 ab>b 2 , ② 由①②得 a 2 >ab>b 2 . 故选 B. B 3. 用反证法证明命题 : “ 设 a,b 为实数 , 则方程 x 3 +ax+b=0 至少有一个实根 ” 时 , 要做的假设是 ( 　 　 ) (A) 方程 x 3 +ax+b=0 没有实根 (B) 方程 x 3 +ax+b=0 至多有一个实根 (C) 方程 x 3 +ax+b=0 至多有两个实根 (D) 方程 x 3 +ax+b=0 恰好有两个实根 A 解析 : 因为 “ 方程 x 3 +ax+b=0 至少有一个实根 ” 等价于 “ 方程 x 3 +ax+b=0 的实根的个数大于或等于 1 ” , 所以要做的假设是 “ 方程 x 3 +ax+b=0 没有实根 ” . 故选 A. D 5. 下列说法正确的序号是 　　　　 .  ① 综合法是直接证明 , 分析法是间接证明 . ② 分析法是从要证明的结论出发 , 逐步寻找使结论成立的充要条件 . ③ 用反证法证明结论“ a>b” 时 , 应假设“ ab ” 的否定是 “ a≤b ” ;④ 中反证法是只否定结论 , 因此①②③④均不正确 . 答案 : ⑤ 考点专项突破 在讲练中理解知识 考点一　综合法 反思归纳 考点二　分析法 反思归纳 (1) 逆向思考是用分析法证题的主要思想 , 通过反推 , 逐步寻找使结论成立的充分条件 . 正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键 . (2) 证明较复杂的问题时 , 可以采用两头凑的办法 , 即通过分析法找出某个与结论等价 ( 或充分 ) 的中间结论 , 然后通过综合法证明这个中间结论 , 从而使原命题得证 . 考点三　反证法 反思归纳 (1) 当一个命题的结论是以 “ 至多 ”“ 至少 ”“ 唯一 ” 或以否定形式出现时 , 可用反证法来证 , 反证法关键是在正确的推理下得出矛盾 , 矛盾可以是与已知条件矛盾 , 与假设矛盾 , 与定义、公理、定理矛盾 , 与事实矛盾等 . (2) 用反证法证明不等式要把握三点 :① 必须否定结论 ;② 必须从否定结论进行推理 ;③ 推导出的矛盾必须是明显的 . 【 跟踪训练 3】 设 {a n } 是公比为 q 的等比数列 . (1) 推导 {a n } 的前 n 项和公式 ; (2) 设 q≠1, 证明数列 {a n +1} 不是等比数列 . 考点四　数学归纳法 反思归纳 利用数列的递推关系式 , 求出数列的前几项 , 猜测其通项公式 , 然后用数学归纳法证明 , 是不完全归纳法与数学归纳法相结合的一种解决数列通项公式的重要方法 , 也是 “ 归纳 — 猜想 — 证明 ” 问题的重要解题模式 , 求解此类问题时 , 在准确归纳出数列通项公式 , 用数学归纳法证明时要注意应用数列的递推关系式 , 由 n=k 推到 n=k+1 时的情况 . 备选例题 【 例 1】 已知 a≥b>0, 求证 :2a 3 -b 3 ≥2ab 2 -a 2 b. 证明 : 要证明 2a 3 -b 3 ≥2ab 2 -a 2 b 成立 , 只需证 2a 3 -b 3 -2ab 2 +a 2 b≥0, 即 2a(a 2 -b 2 )+b(a 2 -b 2 )≥0, 即 (a+b)(a-b)(2a+b)≥0. 因为 a≥b>0, 所以 a-b≥0,a+b>0,2a+b>0, 从而 (a+b)(a-b)(2a+b)≥0 成立 , 所以 2a 3 -b 3 ≥2ab 2 -a 2 b. 【 例 2】 在△ ABC 中 , 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 已知 sin Asin B+sin B sin C+cos 2B=1. (1) 求证 :a,b,c 成等差数列 ; (2) 若 C= , 求证 5a=3b. 证明 : (1) 由已知得 sin Asin B+sin Bsin C=2sin 2 B, 因为 sin B≠0, 所以 sin A+sin C=2sin B, 由正弦定理 , 有 a+c=2b, 即 a,b,c 成等差数列 . (2) 由 C= ,c=2b-a 及余弦定理得 (2b-a) 2 =a 2 +b 2 +ab, 即有 5ab-3b 2 =0, 因为 b≠0, 所以 5a=3b. (1)a+b≥2; (2)a 2 +a<2 与 b 2 +b<2 不可能同时成立 . (2) 假设 a 2 +a<2 与 b 2 +b<2 同时成立 , 则由 a 2 +a<2 及 a>0, 得 0