2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期第一次阶段性测试数学（理）试题（解析版） 14页

‎2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二上学期第一次阶段性测试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．过点且垂直于直线的直线方程为(　　)‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设所求直线方程为,代入得,故选D.‎ ‎2．圆的圆心和半径分别为 A． 圆心，半径为2 B． 圆心，半径为2‎ C． 圆心，半径为4 D． 圆心，半径为4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将圆的一般式化成标准方程，即可得到圆心和半径。‎ ‎【详解】‎ 将配方得 ‎ ‎ 所以圆心为，半径为2‎ 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化，属于基础题。‎ ‎3．若两直线与平行，则它们之间的距离为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两条直线平行，可求得m的值，再根据平行线的距离公式求得距离。‎ ‎【详解】‎ 因为两条直线平行，所以 ，所以 ‎ 所以两条直线可以化为与 所以两条平行线间距离为 ‎ 所以选D ‎【点睛】‎ 本题考查了两条直线平行的条件，平行线间的距离公式的简单应用，属于基础题。‎ ‎4．下列说法的正确的是 A． 经过定点的直线的方程都可以表示为 B． 经过定点的直线的方程都可以表示为 C． 不经过原点的直线的方程都可以表示为 D． 经过任意两个不同的点的直线的方程都可以表示为 ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 考虑斜率不存在和平行于x轴的直线，利用排除法。‎ ‎【详解】‎ 经过定点的直线的方程都可以表示为但斜率不存在时，无法表示，故A错，同理B错。斜率不存在和平行于x轴的直线也无法表示，故C错。所以D正确。故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线方程的定义和直线方程的基本应用，一定要注意斜率不存在的情况。‎ ‎5．若变量满足，则的最小值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出可行域，利用图像判断出目标函数在A点取最小值，求解即可。‎ ‎【详解】‎ 有图可知，，y的系数小于零，故截距越大，目标函数值越小。所以在A点取最小值。A点坐标为（2,2），所以的最小值为-8，故选D。‎ ‎【点睛】‎ ‎1、先画出可行域，高中阶段可行域是封闭图形。‎ ‎2、令目标函数，解得判断目标函数最值的参考直线方程。‎ ‎3.画出判断目标函数最值的参考直线方程的图像进行上下平移 ‎4.根据参考直线方程的截距大小判断取最值的点 ‎（1）当时截距越大目标函数值越大，截距越小目标函数值越小 ‎（2）当时截距越大目标函数值越小，截距越小目标函数值越大 ‎5.联立方程求点的坐标，求最值。‎ ‎6．过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据AB的直线方程，求得其垂直平分线的方程，进而求得圆心坐标；利用圆心到点的距离等于半径求得半径，得到圆的方程。‎ ‎【详解】‎ 过AB的直线方程为 ，A、B的中点为 ‎ 所以AB的垂直平分线为 ‎ 所以圆心坐标为，解得，即圆心坐标为 半径为 ‎ 所以圆的方程为 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与圆的位置关系及其简单应用，注意弦的垂直平分线经过圆心这个特殊性质，属于基础题。‎ ‎7．若点满足，点在圆 上，则的最大值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据线性约束条件，画出可行域；求可行域内到点距离的最大值即可。‎ ‎【详解】‎ 根据所给不等式组，画出可行域如下图所示 因为在圆 上，所以即求可行域内到点距离加半径即可 由图可知，可行域内点（1，1）到点（-2，3）的距离最大，‎ 所以 ，所以PQ最大值为5+1=6‎ 所以选A ‎【点睛】‎ 本题考查了线性规划与圆方程的简单应用，关键是分析出哪个点才是最优解，属于中档题。‎ ‎8．已知点，若直线过点与线段有公共点，则直线的斜率的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据A、B的坐标，连接后得到线段AB；由图像可分析出斜率的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 斜率 ，‎ 由图像可知，直线 斜率的取值范围为 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了直线斜率的简单应用，关键注意斜率取值的范围，属于基础题。‎ ‎9．过坐标原点作圆的两条切线，切点为，直线被圆截得弦的长度为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据切线长定理及勾股定理，即可表示出四边形的面积；两个三角形组成面积和等于四边形面积，即可求得弦长。‎ ‎【详解】‎ 设圆心为P，由切线长定理可知OA=OB，且OA⊥PA，OB⊥PB ‎ ,r = 1‎ 所以 ，AB⊥OP 所以 ‎ 所以 ‎ 所以选B ‎【点睛】‎ 本题考查了切线长定理的简单应用，属于基础题。‎ ‎10．若直线和轴，轴分别交于点，以线段为边在第一象限内做等边，如果在第一象限内有一点使得和的面积相等，则的值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等边三角形的边长，求得C到AB的距离；因为两个三角形面积相等，根据等积法可知P到AB的距离等于C到AB的距离，进而可求出m的值。‎ ‎【详解】‎ 过C作直线，使 ，则点P在直线上 AB=2，所以点C到AB的距离为 ‎ AB直线方程可化为 由等积法可知P到AB的距离等于C到AB的距离，即 ‎ 解得 或，因为P在第一象限，所以 所以选C ‎【点睛】‎ 本题考查了三角形等面积法的应用，点到直线距离公式的用法，属于基础题。‎ 二、填空题 ‎11．若直线经过直线和的交点,且平行于直线，则直线方程为______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两条直线相交，求得交点坐标；再由平行求得直线斜率，进而用点斜式求得直线方程。‎ ‎【详解】‎ 直线和的交点为 ‎ 直线的斜率 ‎ 由点斜式可知直线方程为 ‎【点睛】‎ 本题考查了直线与直线相交、直线平行、点斜式法的简单应用，属于基础题。‎ ‎12．若变量满足，则目标函数的最大值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，令，将的最大致转化为求解的最小值，的几何意义表示可行域内的点到（-1,0）的斜率，由图像可知在点处取，由此得解。‎ ‎【详解】‎ ‎，令，将的最大致转化为求解的最小值，的几何意义表示可行域内的点到（-1,0）的斜率，故在点处取得最小值为，所以的最大值为 ‎【点睛】‎ 常见的非线性目标函数问题，利用其几何意义求解：‎ 的几何意义为可行域内的点到直线的距离的倍 的几何意义为可行域内的点到点的距离的平方。‎ 的几何意义为可行域内的点到点的直线的斜率 ‎13．已知点，动点满足，则面积的最大值为_____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知点P的轨迹为，由图形可知，面积，所以面积的最大值为的最大值，由此得解。‎ ‎【详解】‎ 设，由，可知，化简整理：，由图形可知，面积，所以面积的最大值为的最大值，当时，的最大值为，所以的最大值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了轨迹方程的求法，利用几何关系式直接得出轨迹方程。利用函数的思想建立面积的函数关系式求解。‎ ‎14．已知直线上有两个点和, 且为一元二次方程的两个根, 则过点且和直线相切的圆的方程为______________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，，，所以中点坐标为，圆心在直线的中垂线上，故过圆心满足直线，设圆心的坐标为，由圆与直线相切故，由弦长公式可得，圆心到直线的距离为，由勾股定理可知解得：当时，；当时，得解。‎ ‎【详解】‎ 上有两个点和,为一元二次方程的两个根，故，那么，所以中点坐标为，因为圆心在直线的中垂线上，故过圆心的直线为，设圆心的坐标为，由圆与直线相切故，由弦长公式可得，圆心到直线的距离为，因为圆的半径、半弦长、圆心到直线的距离构成直角三角形，由勾股定理可知解得：当时，；当时，，所以圆的方程为或。‎ ‎【点睛】‎ 利用圆与直线的几何性质解圆有关的问题常见解法，圆心到直线的距离、半径、弦长之间的关系为。‎ 三、解答题 ‎15．哈三中学生食堂出售甲、乙两种食品，甲每份售价0.55元、乙每份售价0.40元，经检测，食品中含有三种学生所需的营养物A、B、C，其中食品甲每份含A、B、C分别为10、3、4毫克，食品乙每份含A、B、C分别为2、3、9毫克，而营养师认为学生每餐至少需此三种营养物A、B、C分别为20、18、36毫克.问一学生进餐应对甲、乙食品各买几份，能保证足够的营养要求，又花钱最少？‎ ‎【答案】当时，最小值为2.55元 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据所需A、B、C三种营养所需量，建立两种食物的不等式组，得到线性约束条件；根据售价得到目标函数，进而求得最优解。‎ ‎【详解】‎ 设买甲食品x份，乙食品y份，由题意可知x、y满足的关系为 ‎ ‎ 花费为 ‎ 根据线性约束条件，画出可行域如下图所示 平移目标函数直线，当经过点P时花费最少，此时 ‎ 此时花费 ‎【点睛】‎ 本题考查了线性规划在实际问题中的应用，属于基础题。‎ ‎16．已知一组动直线方程为.‎ ‎(1) 求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标;‎ ‎(2) 若直线与轴正半轴，轴正半分别交于点两点，求面积的最小值.‎ ‎【答案】定点为（4,1）, 最小值为8.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线方程按k 分解变形，方程恒成立，得到方程组，求出点的坐标，即可证：直线恒过定点。‎ ‎（2）根据点斜式写出直线方程，求出面积的表达式，根据均值定理得出面积的最小值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线方程，整理可得：恒成立，由此，解得，由此直线恒过定点（4,1）。‎ ‎（2）直线分别交x轴的正半轴，轴正半分别交于点两点，设直线方程为其中。令，; 令，，所以，当时取等号，。‎ ‎【点睛】‎ 本题较难，考查直线恒过定点的知识，三角形的面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用。‎ ‎17．已知菱形的一边所在直线方程为，一条对角线的两个端点分别为和.‎ ‎(1) 求对角线和所在直线的方程;‎ ‎(2) 求菱形另三边所在直线的方程.‎ ‎【答案】(1)AC: ， BD: 三边为，，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据两个点A和C求得AC的方程；因为AC⊥BD，且BD经过AC中点，所以可求得BD方程。‎ ‎(2) 设已知边的方程为AB的方程，通过对边平行且过C求出DC的直线方程；求出AB与BD的交点B的坐标，进而求得BC的直线方程；再通过对边平行并经过点A，求得AD的直线方程。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为和 所以设AC的方程为 ，则 ‎ ，解得 ‎ 所以直线AC方程为，即 设AC中点坐标为 ，因为ABCD为菱形，所以直线BD与直线AC垂直，且平分线段AC AC垂直平分线的斜率 ‎ 所以BD的直线方程为 ，即 ‎(2) 因为在直线上，不妨设是AB的方程 则DC直线与AB直线平行且过点C，所以DC的直线方程为 AB与BD的交点B坐标为，解得 ‎ 所以BC直线方程为 因为BC∥AD，两条直线斜率相等，且AD直线经过A，所以设AD的直线方程为 ‎，代入A点坐标解得 ‎ 所以AD的方程为 综上，另外三条直线的方程分别为，，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了两点法、点斜式在求直线方程中的应用，属于基础题。‎ ‎18．已知圆的圆心坐标为, 直线与圆交于点, 直线与圆交于点, 且在轴的上方. 当时, 有.‎ ‎ (1) 求圆的方程;‎ ‎(2) 当直线的斜率为时, 求直线的方程.‎ ‎【答案】; .‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，圆的半径、半弦长、圆心到直线的距离构成直角三角形，由勾股定理可知，解得，所以圆的方程为：‎ ‎（2）‎