2021届课标版高考文科数学一轮复习教师用书：第十一章第二讲　古典概型与几何概型 9页

第二讲　古典概型与几何概型 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1.[2017全国卷Ⅰ,4,5分][文]如图11 - 2 - 1,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(　　)‎ A.‎1‎‎4‎ B.π‎8‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎π‎4‎ ‎2. [2019全国卷Ⅱ,4,5分][文]生物实验室有5只兔子,其中只有3只测量过某项指标.若从这5只兔子中随机取出3只,则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)‎ A.‎2‎‎3‎ B.‎3‎‎5‎ C.‎2‎‎5‎ D.‎‎1‎‎5‎ ‎3.[2020贵阳高三摸底考试]某学校星期一至星期五每天上午共安排五节课,每节课的时间为40分钟,第一节课上课的时间为7:50~8:30,课间休息10分钟.某同学请假后返校,若他在8:50~9:30之间随机到达教室,则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎1‎‎4‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎4.[原创题] 2019年8月1日,中国科学院正式公布中国科学院院士增选初步候选人名单,总计181位.整体来看,中国科学院(包含其在全国各地的研究所)、清华大学、北京大学、复旦大学、浙江大学候选人人数位列前五.若从上述5所大学中任选2所大学进行问卷调查,则中国科学院被选中的概率为(　　)‎ A.‎3‎‎5‎ B.‎2‎‎5‎ C.‎3‎‎4‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎5.[新情境题]著名的“3N+1猜想”是指对于任一个正整数n,若n是偶数,则让它变成n‎2‎;若n是奇数,则让它变成3n+1.如此循环,最终都会变成1.若数字5,6,7,8,9按照以上猜想进行变换,从中随机抽取一个数字,该数字的变换次数为奇数的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎5‎ B.‎2‎‎5‎ C.‎3‎‎5‎ D.‎‎4‎‎5‎ ‎6.[2018全国卷Ⅰ,10,5分]图11 - 2 - 2来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则(　　)‎ A.p1=p2 B.p1=p3 ‎ C.p2=p3 D.p1=p2+p3‎ ‎7.[2020广东惠州高三调研]关于圆周率π,数学发展史上出现过许多有创意的求法,如著名的蒲丰实验.受其启发,我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值:先请120名同学每人随机写下一个x,y都小于1的正实数对(x,y),再统计其中x,y能与1构成钝角三角形三边的数对(x,y)的个数m,最后根据统计个数m估计π的值.如果统计结果是m=34,那么可以估计π的值为(　　)‎ A.‎23‎‎7‎ B.‎47‎‎15‎ C.‎17‎‎15‎ D.‎‎53‎‎17‎ ‎8.[2019江苏,6,5分]从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是　　　　. ‎ 考法1 古典概型的求法 ‎1(1)[2017全国卷Ⅱ,11,5分][文]从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 A.‎1‎‎10‎ B.‎1‎‎5‎ C.‎3‎‎10‎ D.‎‎2‎‎5‎ ‎(2)[2019山东德州模拟]为推广羽毛球运动,某羽毛球比赛允许不同协会的运动员组队参加比赛.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名,乙协会的运动员4名,其中种子选手2名,现从甲、乙两协会的这7名运动员中随机抽取4人参加比赛,设事件M为“抽取的4人中恰有2名种子选手且这2名种子选手来自同一个协会”,则P(M)=‎ A.‎4‎‎35‎ B.‎6‎‎35‎ C.‎9‎‎35‎ D.‎‎18‎‎35‎ ‎(1)先用列举法或画树状图法求出基本事件个数,然后利用古典概型的概率计算公式求解.(2)根据题意,首先明确运动员的构成——来自甲、乙两个协会,每个协会都有两名种子选手,然后根据题意利用枚举法分别求出所有基本事件的总数与所求事件包含的基本事件数,最后代入古典概型的概率计算公式求解即可.‎ ‎(1)解法一　依题意,记两次取的卡片上的数字依次为a,b,则一共有25个不同的数组(a,b),其中满足a>b的数组共有10个,分别为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4).(按顺序列举,不重不漏)‎ 因此所求的概率为‎10‎‎25‎‎=‎‎2‎‎5‎.‎ 解法二　画出树状图如图11 - 2 - 3所示.‎ 由图11 - 2 - 3可知,所有的基本事件共有25个,满足题意的基本事件有10个,故所求概率为‎10‎‎25‎‎=‎‎2‎‎5‎.‎ ‎(2)记来自甲协会的3名运动员中,种子选手为A,B;非种子选手为c;来自乙协会的4名运动员中种子选手为D,E,非种子选手为f ,g.‎ 则从这7名运动员中随机抽取4人参加比赛,不同的情况如下.‎ ‎①从甲协会中抽取3人参加比赛:{A,B,c,D},{A,B,c,E},{A,B,c,f },{A,B,c,g};②从甲协会中抽取2人参加比赛:{A,B,D,E},{A,B,D,f },{A,B,D,g},{A,B,E,f },{A,B,E,g},{A,B,f ,g},{A,c,D,E},{A,c,D,f },{A,c,D,g},{A,c,E,f },{A,c,E,g},{A,c,f ,g},{B,c,D,E},{B,c,D,f },{B,c,D,g},{B,c,E,f },{B,c,E,g},{B,c,f ,g};③‎ 从甲协会中抽取1人参加比赛:{A,D,E,f },{A,D,E,g},{A,D,f ,g},{A,E,f ,g},{B,D,E,f },{B,D,E,g},{B,D,f ,g},{B,E,f ,g},{c,D,E,f },{c,D,E,g},{c,D,f ,g},{c,E,f ,g};④从甲协会中抽取0人参加比赛: {D,E,f ,g} (列举所有的基本事件)‎ 综上,从甲、乙两协会中抽取4人的不同结果共有35种.‎ 则事件M包含的不同结果有{A,B,c,f },{A,B,c,g},{A,B,f ,g},{c,D,E,f },{c,D,E,g},{D,E,f ,g},共6种. (列举所求事件包含的基本事件)‎ 所以P(M)=‎6‎‎35‎.‎ ‎(1)D　(2)B ‎1.[2019合肥第三次质检]在区间[ - 4,4]上任取一个实数a,使得方程x‎2‎a+2‎‎+‎y‎2‎a - 3‎=1表示双曲线的概率为(　　)‎ A.‎1‎‎8‎ B.‎1‎‎4‎ C.‎3‎‎8‎ D.‎‎5‎‎8‎ 考法2 几何概型的求法 命题角度1　与长度、角度有关的几何概型 ‎2在等腰直角三角形ABC中,直角顶点为C.‎ ‎(1)在斜边AB上任取一点M,求AM1,‎x‎2‎‎+y‎2‎ - 1<0,‎‎0