内蒙古师范大学附属学校2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 18页

内蒙古师大附校2019—2020学年第一学期高一年级期中试卷 数学 一、选择题 ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用补集的定义求出集合B的补集，利用交集的定义求出．‎ ‎【详解】∵，，‎ ‎∴ ={﹣1，2}‎ ‎∵，‎ ‎∴ ‎ 故选A．‎ ‎【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解；在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．‎ ‎2.函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．‎ ‎【详解】由解，得x＞0且x≠1．‎ ‎∴函数f（x）=+lgx定义域是（0，1）∪（1，+∞）．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】常见基本初等函数定义域的基本要求 ‎(1)分式函数中分母不等于零．‎ ‎(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.‎ ‎(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.‎ ‎(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．‎ ‎(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.‎ ‎(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．‎ ‎3.下列函数中，在区间上单调递减的函数是（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据基本初等函数的性质可以判断，在为单调递减的函数，其余函数不满足.‎ ‎【详解】根据对数函数性质在区间上单调递增；‎ 根据幂函数性质在区间上单调递减；‎ 去绝对值，，单调递增；‎ 在为单调递增.‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查函数单调性的辨析，需要熟练掌握常见基本函数的单调性.‎ ‎4.某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，下表是某公司前5天监测到的数据，则下列函数模型中能较好地反映计算机在第天被感染的数量与之间的关系的是（ ）‎ 第天 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 被感染的计算机数量（台）‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎39‎ ‎81‎ ‎160‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数单调性，结合点的坐标与选项中的函数关系进行比较可得.‎ ‎【详解】考虑第五天，A选项得50，B选项得110，D选项小于40，均出现与实际被感染数量差距很大，而C选项每一天的数据差距较小.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查选用恰当的函数模型拟合实际问题，计算所得值与实际值相差不大则效果较好.‎ ‎5.已知函数，则（ ）‎ A. -1 B. ‎0 ‎C. 1 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分段函数，通过函数的周期性，转化求解函数值即可．‎ ‎【详解】函数f（x）=，则f（﹣3）=f（﹣3+2）=f（﹣1）=f（﹣1+2）=f（1）=log21=0．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力．‎ ‎6.已知幂函数在上是增函数，则实数（ ）‎ A. 2 B. ‎-1 ‎C. -1或2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义与性质，列出方程组求出m的值．‎ ‎【详解】幂函数f（x）=（m2﹣m﹣1）xm在（0，+∞）上增函数，‎ 则，‎ 解得m=2．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．‎ ‎7.已知，则函数与函数的图象可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数关系得，所以函数与函数的单调性相同即可得到选项.‎ ‎【详解】，所以，，不为1的情况下：‎ ‎，‎ 函数与函数的单调性相同，ABC均不满足，D满足题意.‎ 故选：D ‎【点睛】此题考查函数图象的辨析，根据已知条件找出等量关系或不等关系，分析出函数的单调性得解.‎ ‎8.设是函数的零点，且，则的值为（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为函数是单调递增函数，，故，所以，故选B.‎ ‎9.函数的单调减区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数定义域，再根据复合函数单调性的判断法则求解单调区间.‎ ‎【详解】由题：，，解得：，‎ 的减区间，‎ 即的减区间，对称轴为 结合二次函数单调性，‎ 所以的减区间.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查求复合函数的单调区间，需要熟练掌握单调性的讨论方式，易错点在于漏掉考虑定义域，导致出错.‎ ‎10.函数在的零点个数为（ ）‎ A. 1 B. ‎2 ‎C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的单调性，结合根的存在性定理讨论根的个数.‎ ‎【详解】当时，单调递减，单调递增，‎ 所以在单调递减，，所以函数在有唯一零点.‎ 故选：A ‎【点睛】此题考查函数零点个数，利用根的存在性定理证明函数有零点，结合单调性得零点个数.‎ ‎11.下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数与对数函数单调性即可判断结论．‎ ‎【详解】A．∵＜，∴log52＜log32，因此不正确．‎ B．∵0.93＜1＜30.9，因此不正确．‎ C．∵log0.32＜0＜0.32，因此不正确．‎ D．∵=﹣log32＞﹣1，=﹣log23＜﹣1，∴∵＞．因此正确．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查了指数与对数函数单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设，用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:， ，已知函数 ‎，则函数的值域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分离常数法可得,求得的值域, 由表示不超过的最大整数,即可求得函数的值域.‎ ‎【详解】 ，由于 ‎ ‎ ‎ 的值域为:‎ ‎ 根据表示不超过的最大整数 ‎ 函数的值域是.‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题主要考查新定义函数的理解和运用,考查分离常数法求函数的值域,考查化归与转化的数学思想方法.解题关键是在解答时要先充分理解的含义.‎ 二、填空题 ‎13.已知函数，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令t=x-1，则x=t+1，代入可得f（t），即可得到f（x）的解析式 ‎【详解】由函数，‎ 令t=x-1，则x=t+1，‎ 即有f（t）=2（t+1）+1=2t+3，‎ 即f（x+1）=2x+5．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查函数解析式的求法，注意运用换元法，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎14.若函数（，且）的反函数图象过点，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据反函数图象过点，所以经过，代入即可求解.‎ ‎【详解】由题：函数（，且）的反函数图象过点，‎ 所以经过，‎ 所以 解得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查反函数，根据原函数与反函数图象特征求解参数的值，考查基本概念和基本运算.‎ ‎15.______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数幂运算法则和对数运算法则化简可得.‎ ‎【详解】‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查指数对数的综合运算，关键在于熟练掌握运算法则和相关公式，准确化简求值.‎ ‎16.己知，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对平方可得，再平方可得，即可求解.‎ ‎【详解】，两边同时平方得：，所以 对两边同时平方得：，‎ 则.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查指数式的化简求值，进行整体变形处理，利用平方关系得出等量关系.‎ ‎17.函数在上是x的减函数，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先保证真数位置在上恒成立，得到的范围要求，再分和进行讨论，由复合函数的单调性，得到关于的不等式，得到答案.‎ ‎【详解】函数，‎ 所以真数位置上的在上恒成立，‎ 由一次函数保号性可知，，‎ 当时，外层函数为减函数，‎ 要使为减函数，则为增函数，‎ 所以，即，所以，‎ 当时，外层函数为增函数，‎ 要使为减函数，则为减函数，‎ 所以，即，所以，‎ 综上可得的范围为.‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查由复合函数的单调性，求参数的范围，属于中档题.‎ ‎18.定义在上的偶函数满足：对任意的，有.且，则不等式的解集是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据和奇偶性得出函数单调性，结合零点解不等式即可得解.‎ ‎【详解】对任意的，有，‎ 不妨设，则，‎ ‎，得，即，‎ 所以函数在单调递减，是定义在上的偶函数，‎ 所以函数在单调递增，‎ 即，‎ 所以或，‎ 即或 所以解集为：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查单调性奇偶性的综合应用，根据单调性奇偶性结合零点解不等式，需要注意求解集，结果写成集合或区间形式.‎ 三、解答题 ‎19.已知集合，.‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解指数不等式即可得解；‎ ‎（2）分类讨论B为空集和不为空集两种情况，分别求解.‎ ‎【详解】（1）解不等式，即，，得 所以，‎ 所以；‎ ‎（2）当时，即，，满足；‎ 当时，，解得：，‎ 综上所述：.‎ ‎【点睛】此题考查求不等式的解集和根据集合的包含关系求解参数的取值范围，容易漏掉考虑子集为空集的情况.‎ ‎20.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.‎ ‎ ‎ ‎（1）当时，求的解析式；‎ ‎（2）在上图直角坐标系中画出的图像，并且根据图像回答下列问题（直接写出结果）.‎ ‎①的单调增区间；‎ ‎②若方程有三个不等实根，实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）当时，；（2）①的单调增区间；②的取值范围.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，，即可得解；‎ ‎（2）根据二次函数作图方式作图，结合图象可得单调增区间和实数的取值范围 ‎【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，且当时，，‎ 当时，，，‎ 所以当时，；‎ ‎（2）如图所示：‎ ‎ ‎ ‎①的单调增区间；‎ ‎②若方程有三个不等实根，实数的取值范围.‎ ‎【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求解函数解析式，作函数图象并根据图象得单调区间，根据根的个数求参数取值范围.‎ ‎21.设二次函数，的零点是和2.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）当函数的定义域是时，求函数的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据的两个根为和2，结合韦达定理求解；‎ ‎（2）分类讨论当，当，当时，求出最大值，写成分段函数形式即可.‎ ‎【详解】（1）由题：二次函数，的零点是和2，‎ 即的两个根为和2，‎ 根据韦达定理得：，解得：，‎ 经检验，的零点是和2，‎ 所以；‎ ‎（2）函数的定义域是，‎ 当即时，在单调递增，函数的最大值，‎ 当即时，在单调递增，在单调递减，函数的最大值，‎ 当时，在单调递减，函数的最大值，‎ 综上所述：.‎ ‎【点睛】此题考查根据二次函数零点求解析式，利用韦达定理简化计算，考查二次函数闭区间的最值问题，利用分类讨论，分别求解.‎ ‎22.已知函数，且，函数的图象与函数的图象关于原点对称.‎ ‎（1）写出函数的解析式；‎ ‎（2）判断函数的奇偶性并证明；‎ ‎（3）求关于不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）当时， ，当时， .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设图象上任意点，根据对称性，关于原点对称的点在的图象上，则，即可求解；‎ ‎（2）根据题意写出，求出即可判断奇偶性；‎ ‎（3）分类讨论当时，当时分别求解不等式.‎ ‎【详解】（1）由题：函数，且，函数的图象与函数的图象关于原点对称，‎ 设图象上任意点关于原点对称的点在的图象上，则，所以，‎ 即；‎ ‎（2）是奇函数，证明如下：‎ ‎，‎ 即，‎ ‎，‎ 所以是奇函数；‎ ‎（3）由题：，‎ 即，‎ 当时，，解得：，‎ 当时，，解得：，‎ 综上所述：当时， ，当时， .‎ ‎【点睛】此题考查根据对称性求函数解析式，根据定义判断奇偶性，解含参数的不等式，综合性较强.‎ ‎23.已知定义域为的函数是奇函数.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(Ⅰ)先利用奇函数的性质求出值，再利用特殊值求得值，再验证即可；（Ⅱ）先利用单调性的定义证明函数为单调递减函数，再结合函数的奇偶性将问题等价转化为恒成立，再分离常数，将问题转化为求函数的最值问题.‎ 试题解析：（Ⅰ） 在定义域为是奇函数，所以 又由检验知，当时，原函数是奇函数.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知任取设 则因为函数在上是增函数，‎ 且所以又即 函数在上是减函数.‎ 因是奇函数，从而不等式等价于因在上是减函数，由上式推得即对一切有：恒成立，设令则有 即的取值范围为 点睛：利用函数的奇偶性求有关参数问题时，要灵活选用奇偶性的常用结论进行处理，可起到事半功倍的效果：‎ ‎①若奇函数在处有定义，则；‎ ‎②奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数，奇函数奇函数=偶函数偶函数=偶函数；‎ ‎③特殊值验证法，如本题中由.‎