2019届二轮复习2-2-3一元二次不等式课件（18张）（全国通用） 18页

2.2.3 一元二次不等式 【考纲要求】　 1. 掌握一元二次不等式的解法 ; 2 . 了解一元二次方程与一元二次不等式的关系 . 【学习重点】　 1 . 一元二次不等式的解法 ; 2 . 根据一元二次方程的解的情况写出相应的一元二次不等式的解集 . 一、自主学习 ( 一 ) 知识归纳 2 . 一元二次不等式 一般地 , 我们把形如 ax 2 +bx+c> 0(≥0) 或 ax 2 +bx+c< 0(≤0)( 其中 a 、 b 、 c 是常数 , 且 a ≠0) 的不等式叫做一元二次不等式 . 解一元二次不等式可转化为一元一次不等式组 , 再求解 ; 也可利用二次函数图象解简单的一元二次不等式 . (1) 化为一元一次不等式组解一元二次不等式 . 当一元二次不等式的左边可以分解因式时 , 可先将一元二次不等式的左边用十字相乘法分解因式 , 再根据同号两数相乘为正 ( 大于 0) 、异号两数相乘为负 ( 小于 0), 将一元二次不等式转化为一元一次不等式组 . 【小结】　基本步骤为 : ① 分解因式 ( 十字相乘法 ); ② 化为一元一次不等式组 ; ③ 解一元一次不等式组 ( 求交集 ); ④ 求各不等式组解集的并集 . (2) 用图象法解一元二次不等式 . 一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系 : 设 f ( x ) =ax 2 +bx+c ( a> 0 ), 判别式 Δ=b 2 - 4 ac 判别式 Δ> 0 Δ= 0 Δ< 0 方程 f ( x ) = 0 的解 两根不相等 : x 1 ( 小 ), x 2 ( 大 ) 两根相等 x 1 =x 2 没有实数根 函数 y=f ( x ) 的图象 ax 2 +bx+c> 0 解集取两边 : ( - ∞, x 1 ) ∪ ( x 2 , + ∞) 解集取两边 : ( - ∞ , x 0 ) ∪ ( x 0 , + ∞ ) R ax 2 +bx+c ≥ 0 解集取两边 : ( - ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞ ) 解集取两边 : ( - ∞ , x 0 ] ∪ [ x 0 , + ∞ ) = R R ax 2 +bx+c< 0 解集取中间 :( x 1 , x 2 ) 解集取中间 :( x 0 , x 0 ) = ∅ ∅ ax 2 +bx+c ≤ 0 解集取中间 :[ x 1 , x 2 ] 解集取中间 :[ x 0 , x 0 ] = { x 0 } ∅ 【小结】　 (1) 用图象法求一元二次不等式的解题步骤 : ① 把二次项系数 a 变为正数 ;( 如果 a< 0, 那么 在 不等式两边都乘以 - 1, 把系数变为正 ) ② 解对应的一元二次方程 ;( 先看能否因式分解 , 若不能 , 再看 Δ , 然后求根 ) ③ 求解一元二次不等式 ;( 根据一元二次方程的根及不等式的方向求解 ) ④ 结合二次函数的图象写出一元二次不等式的解集 . (2) 当 a> 0 且 Δ> 0 时 , 一元二次不等式的解集的口诀 :“ 小于号取中间 , 大于号取两边 ” . ( 二 ) 基础训练 1 . 填空 :( a+b ) 2 = 　　　　　 ;( a-b ) 2 = 　　　　　 .  2 . 把下面的二次三项式写成 ( x+m ) 2 +n 的形式 . (1) x 2 + 2 x- 3; (2) x 2 - 2 x+ 1 . a 2 + 2 ab+b 2 (1)( x+ 1) 2 - 4; (2)( x- 1) 2 . a 2 - 2 ab+b 2 3 . 解下列一元二次不等式 . (1) x 2 + 2 x- 3 > 0; (2) x 2 - 2 x+ 1 > 0 . (1) 解 : 原不等式可化为 :( x+ 3)( x- 1) > 0 　 ∴ x<- 3 或 x> 1 　所以不等式的解集为 :( -∞ , - 3)∪(1, +∞ ) . (2) 解 :∵ x 2 - 2 x+ 1 = ( x- 1) 2 > 0 　 ∴ x ≠1 　所以不等式的解集为 :( -∞ ,1)∪(1, +∞ ) . 4 . 解下列一元二次不等式 . (1) x 2 + 8 x+ 15 > 0; (2) -x 2 - 3 x+ 4 > 0; (3)2 x 2 - 3 x- 2 > 0; (4) x 2 -x< 2 . (1) 解 :∵ x 2 + 8 x+ 15 > 0 　 ∴ ( x+ 3)( x+ 5) > 0 　 ∴ x>- 3 或 x<- 5 　所以不等式的解集为 :( -∞ , - 5)∪( - 3, +∞ ) . (2) 解 :∵ -x 2 - 3 x+ 4 > 0 　 ∴ x 2 + 3 x- 4 < 0 　即 ( x+ 4)( x- 1) < 0 　 ∴ - 4 0; (2) x 2 - 3 x- 10 < 0; (3) x 2 -x- 1 > 0; (4) x 2 - 2 x+ 1≤0 . 分析 : 求一元二次不等式的解 , 可以根据对应的一元二次方程的解来分析 . 【小结】　 (1) 一般情况下 , 一元二次不等式 ax 2 +bx+c> 0 或 ax 2 +bx+c< 0( a> 0, b 2 - 4 ac ≥0) 的解有如下规律 :“ 小于号取中间 , 大于号取两边 ” ; (2) 快速求一元二次不等式 ax 2 +bx+c> 0 或 ax 2 +bx+c< 0( a> 0, b 2 - 4 ac ≥0) 的解集方法 :① 求对应的一元二次方程的两个解 ;② 求一元二次不等式的解集 ( 小于号取中间 , 大于号取两边 ), 结果一般用区间表示 . 【例 2 】　解下列不等式 :(1) -x 2 - 2 x+ 15 > 0;(2) x 2 -x+ 1 > 0 . 分析 : 当 a< 0 时 , 求一元二次不等式的解集 , 可将不等式两边同乘 - 1, 转化为 a> 0 的情况来分析 . 三、达标训练 【 答案 】C 【 答案 】D 2 . 不等式 x 2 - 5 x- 6 < 0 的解集为 ( 　　 ) A . { x|x< 3} B.{ x| 2 2} D.{ x|- 1 1 的解集是 ( 　　 ) A.{ x|x> ±1} B.{ x|x> 1} C.{ x|x<- 1 或 x> 1} D.{ x|- 1 0 的解集为 ( 　　 ) A. 全体实数 B. 空集 C.{ x|x ≤ - 2} D.{ x|x>- 2 或 x<- 2} 【 答案 】A 4 . 不等式 x 2 - 3 x+ 2 < 0 的解集是 ( 　　 ) A.{ x|x< 2} B.{ x| 1 1} D.{ x|x< 1 或 x> 2} 【 答案 】B 【 答案 】C 8 . 若 a> 0, 则关于 x 的不等式 ( x- 3 a )( x+ 2 a ) < 0 的解集为 ( 　　 ) A.{ x| 3 a- 2 a } C.{ x|- 2 a 3 a 或 x<- 2 a } 9 . “ x> 1” 是 “ x 2 ( x- 1) > 0 ” 的 ( 　　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【 答案 】C 7 . 不等式 ( x- 2)( x+ 1) > 0 的解集是 ( 　　 ) A.( - 1,2) B.( -∞ , - 1)∪(2, +∞ ) C.[ - 1,2] D.( -∞ , - 1]∪[2, +∞ ) (1) 解 : ∵x 2 -x- 12≥0 　 ∴ ( x+ 3)( x- 4)≥0 　 ∴ x ≥4 或 x ≤ - 3 　所以不等式的解集为 :( -∞ , - 3]∪[4, +∞ ) . 10 . 求下列一元二次不等式的解集 . (1) x 2 -x- 12≥0; (2)2 x 2 -x- 3 < 0; (3) -x 2 +x+ 2≥0; (4) x 2 + 4 x+ 7 > 0; (5) -x 2 + 2 x- 3 > 0 . (3) 解 :∵ -x 2 +x+ 2≥0 　 ∴ x 2 -x- 2≤0 　 ∴ ( x- 2)( x+ 1)≤0 　 ∴ - 1≤ x ≤2 所以不等式的解集为 :[ - 1,2] . (4) 解 :∵ x 2 + 4 x+ 7 > 0 　 ∴ ( x+ 2) 2 + 3 > 0 　 ∵ ( x+ 2) 2 ≥0 　 ∴ ( x+ 2) 2 + 3 > 0 恒成立 . 所以不等式的解集为 :R. (5) 解 : ∵-x 2 + 2 x- 3 > 0 　 ∴ x 2 - 2 x+ 3 < 0 　 ∴ ( x- 1) 2 + 2 < 0 　所以不等式的解集为 :∅ .