2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二上学期期末考试数学（理）试题（Word版） 10页

‎2017-2018学年辽宁省实验中学分校高二上学期期末考试数学学科（理科）‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1．已知 (是虚数单位),那么的共轭复数对应的点位于复平面内的 ( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2．若，则“”的一个充分不必要条件是 ( )‎ A. B. C. 且 D. 或 ‎3．若，则下列不等式中一定不成立的是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎4．设是等差数列的前项和，若， ，则 ‎ （ ）‎ A. 2016 B. 2017 C. -2015 D. -2018‎ ‎5．设点分别是双曲线的左、右焦点，过点且与轴垂直的直线l与双曲线C交于A，B两点．若的面积为，则该双曲线的渐近线方程为 ‎ ( )‎ A. B. C. D. ‎6．曲线在点处的切线方程为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎7．已知，若不等式恒成立，则的最大值为 ( )‎ A. 9 B. 12 C. 18 D. 24‎ ‎8．已知数列为等比数列，若，则数列的前项之积等于 （ ）‎ A. B. C. D. ‎9．若函数存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数的取值范围为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎10．定义为个正数， ， ， 的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎11．已知过抛物线： 的焦点的直线交抛物线于， 两点，若为线段的中点，连接并延长交抛物线于点，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎12．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且为奇函数，则不等式的解集为 ‎ （ ）‎ A. B. C. D. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填入答题纸相应位置)‎ ‎13．已知变量满足约束条件，则目标函数的最小值是___________。‎ ‎14．已知命题， ，则命题的否定为__________.‎ ‎15．的值为__________.‎ ‎16．已知椭圆G： 的两个焦点分别为和，短轴的两个端点分别为和，点P在椭圆G上，且满足. 当变化时，给出下列三个命题：‎ ‎①点P的轨迹关于轴对称；‎ ‎②存在使得椭圆上满足条件的点仅有两个；‎ ‎③的最小值为，‎ 其中，所有正确命题的序号是_____________．‎ 三、解答题（共6小题，共70分；要求写出必要的文字说明，解题过程和演算步骤）‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 在复平面内，复数 (i为虚数单位)的共轭复数对应点为，点关于原点的对称点为，求：‎ ‎（Ⅰ）点所在的象限；‎ ‎（Ⅱ）向量对应的复数．‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 已知命题，命题表示焦点在轴上的双曲线.‎ ‎（1）命题为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题“”为真，命题“”为假，求实数的取值范围.‎ ‎19．（本小题满分12分）‎ 已知函数的最低点为.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎20．（本小题满分12分）‎ 在数列中， ，前项和满足.‎ ‎（1）求证：当时，数列为等比数列，并求通项公式；‎ ‎（2）令，求数列的前项和为.‎ ‎21．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆（）的离心率是，其左、右焦点分别为，短轴顶点分别为，如图所示， 的面积为1.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点且斜率为的直线交椭圆于两点（异于点），证明：直线 和的斜率和为定值.‎ ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（I）当时，求的单调区间和极值；‎ ‎（II）若对于任意，都有成立，求k的取值范围；‎ ‎(Ⅲ)若，且，证明：．‎ ‎ 高二理科数学期末考试参考答案 一、 选择题 BCABD BBADC DB 二、 填空题 ‎13、-2 14、 15、 16、①③‎ 三、解答题 ‎17、：（I）利用复数的运算法则、几何意义即可得出；（II）利用复数的几何意义即可得出.‎ 试题解析：（Ⅰ）z＝＝＝1＋i，所以＝1－i，‎ 所以点A(1，－1)位于第四象限． ‎ ‎（Ⅱ）又点A，B关于原点O对称．‎ ‎∴点B的坐标为B(－1,1)．‎ 因此向量对应的复数为－1＋i．‎ ‎18、：（1）当命题为真时，由已知得，解得 当命题为真命题时，实数的取值范围是 ‎（2）当命题为真时，由解得 由题意得命题中有一真命题，有一假命题 当命题为真、命题为假时，则 解得 当命题为假、命题为真时，则，无解 实数的取值范围是 ‎19、：（1）依题意，得，①‎ ‎，②‎ 由①②解得， ， .‎ ‎∴.‎ 则原不等式可化为，解得或.‎ 故不等式的解集为.‎ ‎（2）由，得，‎ 即，则，‎ 即.‎ ‎∵，∴的最小值是.‎ 的最大值是.‎ ‎∴，即.‎ 故实数的取值范围是.‎ ‎20、（1） ‎ 当时， 得， ‎ 得 []‎ ‎ ‎ ‎(2)当时， ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 当时， ‎ 令 ‎ ‎ ‎ ‎ 经检验时， 也适合上式．‎ ‎ ．‎ ‎21、（1）， ， ，又 所以椭圆的标准方程为 ‎ ‎（2）证明：设直线的方程为， ‎ 联立得 ‎， ‎ ‎ ‎ ‎= ‎ 直线与的斜率之和为定值 ‎ ‎22、‎ ‎（1）， ‎ ‎①时，因为，所以，‎ 函数的单调递增区间是，无单调递减区间，无极值； ‎ ‎②当时，令，解得，‎ 当时，；当，．‎ 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是， ‎ 在区间上的极小值为，无极大值． ‎ ‎（2）由题意，，‎ 即问题转化为对于恒成立，‎ 即对于恒成立， ‎ 令，则，‎ 令，则，‎ 所以在区间上单调递增，故，故，‎ 所以在区间上单调递增，函数． ‎ 要使对于恒成立，只要，‎ 所以，即实数k的取值范围为． ‎ ‎（3）证法1 因为，由（1）知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且．‎ 不妨设，则，‎ 要证，只要证，即证．‎ 因为在区间上单调递增，所以，‎ 又，即证， ‎ 构造函数，‎ 即，．‎ ‎ ，‎ 因为，所以，即，‎ 所以函数在区间上单调递增，故，‎ 而，故， ‎ 所以，即，所以成立． ‎ 证法2 要证成立，只要证：. ‎ 因为，且，所以，‎ 即，，‎ 即，‎ ‎，同理，‎ 从而， ‎ 要证，只要证，‎ 令不妨设，则，‎ 即证，即证，‎ 即证对恒成立， ‎ 设，，‎ 所以在单调递增，，得证，所以.‎