高中数学选修2-2教学课件第二章 章末复习课 28页

章末复习课 第二章　变化率与导数 内容 索引 01 02 理 网络 明结构 探 题型 提 能力 03 04 当堂测 查疑缺 理网络 · 明结构 探题型 · 提能力 题型一　导数定义的应用 函数 f ( x ) 在点 x ＝ x 0 处的导数是 f ( x ) 在 x 0 点附近的平均变化 率 ； 当 Δ x 趋于 0 时的极限，即 f ′ ( x 0 ) ＝ ， 这是数学上的 “ 逼近思想 ” . 例 1 　 求函数 f ( x ) ＝ 2 x 2 ＋ 5 在 x ＝ 1 点处的导数 . 方法二　 ( 先求 f ′ ( x ) ，再求 f ′ (1)) ∴ f ′ (1) ＝ 4. 反思与感悟　 求函数 f ( x ) 在一点处的导数有两种方法：直接利用定义；先求函数 f ( x ) 的导函数 f ′ ( x ) ，再代入求函数一点处的导数 . 跟踪训练 1 　求函数 f ( x ) ＝ 在 x ＝ 2 处的导数 . 题型二　导数与曲线的切线 利用导数求切线方程时关键是找到切点，若切点未知需设出 . 常见的类型有两种，一类是求 “ 在某点处的切线方程 ” ，则此点一定为切点，易求斜率进而写出直线方程即可得；另一类是求 “ 过某点的切线方程 ” ，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为 Q ( x 1 ， y 1 ) ， 由 ＝ f ′ ( x 1 ) 和 y 1 ＝ f ( x 1 ) 求出 x 1 ， y 1 的值，转化为第一种类型 . 例 2 　 已知函数 f ( x ) ＝ x － a ln x ( a ∈ R ). 当 a ＝ 2 时，求曲线 y ＝ f ( x ) 在点 A (1 ， f (1)) 处的切线方程 . 因而 f (1) ＝ 1 ， f ′ (1) ＝－ 1 ， 所以曲线 y ＝ f ( x ) 在点 A (1 ， f (1)) 处的切线方程为 y － 1 ＝－ ( x － 1) ， 即 x ＋ y － 2 ＝ 0 . 跟踪训练 2 　已知函数 f ( x ) ＝ ax 2 ＋ 2ln(2 － x )( a ∈ R ) ，设曲线 y ＝ f ( x ) 在点 (1 ， f (1)) 处的切线为 l ，若 l 与圆 C ： x 2 ＋ y 2 ＝ 相切 ，求 a 的值 . ∴ l 的方程为 2( a － 1) x － y ＋ 2 － a ＝ 0 ， ∵ l 与圆相切 ， 题型三　导数的综合应用 例 3 　 已知直线 x － 2 y － 4 ＝ 0 与抛物线 y 2 ＝ x 相交于 A 、 B 两点， O 是坐标原点，试在抛物线的 弧 上 求一点 P ，使 △ ABP 的面积最大 . 解　 设 P ( x 0 ， y 0 ) ，过点 P 与 AB 平行的直线为 l ， 如图 . 由于直线 x － 2 y － 4 ＝ 0 与抛物线 y 2 ＝ x 相交于 A 、 B 两点， 所以 | AB | 为定值，要使 △ ABP 的面积最大，只要 P 到 AB 的距离最大， 而 P 点是抛物线的 弧 上 的一点， 因此点 P 是抛物线上平行于直线 AB 的切线的切点， 即 x 0 ＝ 1 ， 所以 y 0 ＝ 1 . 所以 P (1,1). 反思与感悟　 利用基本初等函数的求导公式，结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题 . 解题时可先利用图像分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算 . 跟踪训练 3 　 (1) 曲线 y ＝ e － 2 x ＋ 1 在点 (0,2) 处的切线与直线 y ＝ 0 和 y ＝ x 围成的三角形的面积为 ( 　　 ) 解析　 ∵ y ′ ＝ ( － 2 x ) ′ e － 2 x ＝－ 2e － 2 x ， ∴ k ＝－ 2e 0 ＝－ 2 ， ∴ 切线方程为 y － 2 ＝－ 2( x － 0) ， 即 y ＝－ 2 x ＋ 2. 如图， 答案　 A (2) 点 P 是曲线 y ＝ e x 上任意一点，求点 P 到直线 y ＝ x 的最小距离 . 解　 根据题意设平行于直线 y ＝ x 的直线与曲线 y ＝ e x 相切于点 ( x 0 ， y 0 ) ， 该切点即为与 y ＝ x 距离最近的点，如图 . 则在点 ( x 0 ， y 0 ) 处的切线斜率为 1 ， 即当 x ＝ x 0 时， y ′ ＝ 1. ∵ y ′ ＝ (e x ) ′ ＝ e x ， ∴ ＝ 1 ， 得 x 0 ＝ 0 ，代入 y ＝ e x ，得 y 0 ＝ 1 ， 即 P (0,1). 1 2 3 4 当堂测 · 查疑缺 2. 已知 a 为实数， f ( x ) ＝ ( x 2 － 4)( x － a ) ，且 f ′ ( － 1) ＝ 0 ，则 a ＝ ________. 解析　 ∵ f ( x ) ＝ ( x 2 － 4)( x － a ) ＝ x 3 － ax 2 － 4 x ＋ 4 a ， ∴ f ′ ( x ) ＝ 3 x 2 － 2 ax － 4 . 又 ∵ f ′ ( － 1) ＝ 3 ＋ 2 a － 4 ＝ 0 ， 1 2 3 4 3. 若某物体做 s ＝ (1 － t ) 2 的直线运动，则其在 t ＝ 1.2 s 时的瞬时速度为 ________. 解析　 ∵ s ＝ t 2 － 2 t ＋ 1 ， ∴ s ′ ＝ 2 t － 2 ， ∴ v ＝ s ′ (1.2) ＝ 2 × 1.2 － 2 ＝ 0.4(m/s ). 1 2 3 4 0.4 m/s 4. 已知抛物线 y ＝ x 2 ，直线 x － y － 2 ＝ 0 ，求抛物线上的点到直线的最短距离 . 解　 根据题意可知与直线 x － y － 2 ＝ 0 平行的抛物线 y ＝ x 2 的切线，对应的切点到直线 x － y － 2 ＝ 0 的距离最短 ， 1 2 3 4 则当 x ＝ x 0 时， y ′ ＝ 2 x 0 ＝ 1 ， 1 2 3 4 切点到直线 x － y － 2 ＝ 0 的距离 呈 重点、现 规律 (1) 利用定义求函数的导数是逼近思想的应用； (2) 导数的几何意义是曲线在一点的切线的斜率； (3) 对于复杂函数的求导，可利用导数公式和导数的四则运算法则，减少运算量 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看