2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§7-3 基本不等式及不等式的应用（讲解部分） 17页

专题七　不等式 §7.3 　基本不等式及不等式的应用 课标 文数 考点一　基本不等式 考点清单 考向基础 1.两个重要不等式 (1)若 a 、 b ∈R ,则 a 2 + b 2 ≥ 2 ab ,当且仅当 a = b 时取“=”. (2)若 a 、 b ∈(0,+ ∞ ) ,则   ≥   ,当且仅当 a = b 时取“=”. 2.算术平均数、几何平均数 若 a 、 b ∈(0,+ ∞ ),则   叫做正数 a 、 b 的算术平均数,   叫做正数 a 、 b 的 几何平均数. 3.用基本不等式求最值的方法 (1)若 a 、 b ∈(0,+ ∞ ),则当 ab 为定值时, a + b 有最小值,最小值为2   ,当且仅 当 a = b 时取“=”. (2)若 a 、 b ∈(0,+ ∞ ),则当 a + b 为定值时, ab 有最大值,最大值为   ,当且 仅当 a = b 时取“=”. (3)若 a 、 b ∈R,则   ≤   .当 a 、 b ∈(0,+ ∞ )时, a + b ≤   ,当 a 2 + b 2 为定值时, a + b 有最大值,当且仅当 a = b 时取“=”. 4.基本不等式的几种变形及相关结论 (1)几种变形 对于基本不等式,不仅要记住原始形式,而且还要掌握它的几种变形形式及 公式的逆用等,如: ab ≤   ≤   ( a 、 b ∈R);   ≤   ≤   ( a >0, b >0). (2)常用的结论 ①若 a 、 b ∈(0,+ ∞ ),则   ≥   ≥   ≥   (当且仅当 a = b 时取等 号). ②若 a ∈(0,+ ∞ ),则 a +   ≥ 2(当且仅当 a =1时取等号); 若 a ≠ 0,则 a +   ≥ 2(当且仅当 a =1时取等号)或 a +   ≤ -2(当且仅当 a =-1时取 等号). ③若 a 、 b ∈R,则2( a 2 + b 2 ) ≥ ( a + b ) 2 ,当且仅当 a = b 时取等号. ④ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + ac + bc ,当且仅当 a = b = c 时取等号. 【知识拓展】 1.用基本不等式求最值时要注意三点:“一正”“二定”“三相等”.所谓 “一正”是指正数,“二定”是指应用基本不等式求最值时,和或积为定 值,“三相等”是指等号成立的条件. 2.连续使用基本不等式时,等号要同时成立. 考向一　用基本不等式求最值的条件 考向突破 例1    下列命题中正确的是 　　　     .(填写正确命题的序号) ①若 a , b ∈R,则   +   ≥ 2; ②当 x >0且 x ≠ 1时,lg x +   ≥ 2; ③当 x ∈   时, y =sin x +   的最小值为4; ④当 x >3时, y = x +   的最小值为7. 解析　①由 a , b ∈R可知   >0不一定成立,故①错误. ②当 x >0且 x ≠ 1时,lg x >0不一定成立,故②错误. ③当 x ∈   时,sin x ∈(0,1]. y =   +sin x ≥ 2   =4,当且仅当sin x =2时, “=”成立.但sin x 不可能等于2,故③不正确. ④∵ x >3,∴ x -3>0,∴ y = x +   = x -3+   +3 ≥ 7,当且仅当 x =5时,“=”成立,故 ④正确. 答案　④ 例2    (2018山东平度一模,6)若直线2 mx - ny -2=0( m >0, n >0)过点(1,-2),则   +   的最小值为   (　　) A.2　    B.6　    C.12　    D.3+2   考向二　利用基本不等式求最值 解析　∵直线2 mx - ny -2=0( m >0, n >0)过点(1,-2), ∴2 m +2 n -2=0,即 m + n =1.又 m >0, n >0, ∴   +   =   ( m + n )=3+   +   ≥ 3+2   , 当且仅当   =   ,即 n =   m 时取等号, ∴   +   的最小值为3+2   ,故选D. 答案    D 考点二　不等式的应用 1.利用基本不等式求最值 若 p , k 为常数,则: (1)若 a · b = k ,则当且仅当 a = b 时, a + b 有最小值2   ( a >0, b >0); (2)若 a + b = p ,则当且仅当 a = b 时, a · b 有最大值   ( a >0, b >0). 2.利用不等式解决实际问题 (1)解答不等式应用题,要认真审题,分清题意,建立合理的不等式模型. (2)不等式问题中蕴含着丰富的函数思想,是不等式与函数的结合点,又是 数学知识与数学方法的交汇点.处理不等式问题,常常离不开函数的图象与 性质,如函数的定义域、值域、最大值、最小值、单调性等,而数形结合思 想、分类讨论思想、等价转换思想等贯穿于解题的始终,应深入领悟. 方法1　利用基本不等式求最值 1.利用基本不等式解决条件最值的 关键是构造和为定值或积为定值, 主要 有两种思路: (1)对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解. (2)对条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值. 2.有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添 项、分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式. 3.若一次应用基本不等式不能达到目的,则需多次应用基本不等式,但要注 意等号成立的条件必须要一致. 方法技巧 提醒:若可用基本不等式,但等号不成立,则一般是利用函数单调性求解. 例1    (2018湖南师大附中月考(五),9)已知△ ABC 的面积为1,内切圆半径也 为1,若△ ABC 的三边长分别为 a , b , c ,则   +   的最小值为   (　　) A.2　    B.2+   　     C.4　    D.2+2     解析　因为△ ABC 的面积为1,内切圆半径也为1, 所以   ( a + b + c ) × 1=1,所以 a + b + c =2, 所以   +   =   +   =2+   +   ≥ 2+2   , 当且仅当 a + b =   c ,即 c =2   -2时,等号成立, 所以   +   的最小值为2+2   ,故选D. 答案    D 方法2　不等式的综合应用 1.利用不等式的性质、不等式的证明方法、解不等式等知识可以解决函 数中的有关问题,主要体现在:利用不等式求函数的定义域、值域、最值、 证明单调性等. 2.利用函数、方程、不等式之间的关系,可解决一元二次方程根的分布问 题. 3.不等式与数列的综合题经常出现在高考压轴题中,主要体现在比较数列 中两项的大小问题中. 4.应用基本不等式解决实际问题的步骤: (1)仔细阅读题目,透彻理解题意; (2)分析实际问题中的数量关系,引入未知数,并用它表示其他的变量,把要 求最值的变量设为函数; (3)应用基本不等式求出函数的最值; (4)还原实际问题,作出解答. 例2    (2019江西吉安期末,16)已知函数 f ( x )=   ,则 f ( x )的最大值为 　     　     . 解析　设 t =sin x +2,则 t ∈[1,3],则sin 2 x =( t -2) 2 , g ( t )=   = t +   -4(1 ≤ t ≤ 3),由 “对勾函数”的性质可得 g ( t )在[1,2)上为减函数,在(2,3]上为增函数,又 g (1) =1, g (3)=   ,所以 g ( t ) max = g (1)=1,即 f ( x )的最大值为1. 答案　1   易错警示    (1)当运用基本不等式求最值时,若使等号成立的自变量不在 定义域内,则不能使用基本不等式求解,此时应根据变量的取值范围利用对 应函数的单调性求解.(2)注意某些实际问题中的隐含条件,如变量为整数.