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- 2021-06-15 发布
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数学试卷（文）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知复数z=1-i2+i，则|z|=( )
A. 53 B. 103 C. 55 D. 105
2. 设集合A={x||2x-1|≤3}，B={x|y=lg(x-1)}，则A∩B=( )
A. (1,2) B. [1,2] C. (1,2] D. [1,2)
3. 已知a，b为实数，则log3a>log3b是a>b的( )条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分
C. 充要条件 D. 不充分也不必要
4. 已知向量a，b满足，|a|=3，|b|=1，a⊥b，则|a+2b|=( )
A. 3 B. 5 C. 7 D. 3
5. 等差数列{an}的前n项的和是Sn，a1=1，S9=9S3，则an=( )
A. n B. 2n-1 C. 3n-2 D. 2-n
6. 已知双曲线方程x29-y2b2=1，其焦点到一条渐近线的距离为3，则双曲线的离心率( )
A. 22 B. 2 C. 32 D. 53
7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A. 20 B. 24 C. 60 D. 80
8. 如图，AB是圆O直径，C、D是弧AB的三等分点，M、N是线段AB的三等分点，若AB=12，则MD⋅NC=( )
A. 26 B. 20 C. 16 D. 12
1. 函数f(x)=x2|3x-1|的图象大致是( )
A. B.
C. D.
2. 若将函数f(x)=2sin(x+π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向下平移一个单位得到的函数g(x)的图象，函数g(x)( )
A. 图象关于点(-π12,0)对称 B. 最小正周期是π2
C. 在(0,π6)上递增 D. 在(0,π6)上最大值是1
3. 梅赛德斯-奔驰(Mercedes-Benz)创立于1900年，是世界上最成功的高档汽车品牌之一，其经典的“三叉星”商标象征着陆上、水上和空中的机械化．已知该商标由1个圆形和6个全等的三角形组成(如图)，点O为圆心，∠OAB=15°，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为( )
A. 23-32π
B. 23-34π
C. 63-92π
D. 63-94π
4. 已知e1x-lnx>e+a1-xx对任意x∈(0,1)恒成立，则实数a的取值范围为( )
A. (0,e+1) B. (0,e+1] C. (-∞,e+1) D. (-∞,e+1]
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
5. 若x>0，y>0，且xy=3，则1x+3y的最小值为______．
6. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等或亮度满足：m1-m2=-52lgE1E2，其中星等为mk的星亮度为Ek(k=1,2)，已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度比是______．
1. 已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线L与抛物线E交于A、B两点，且直线L与圆(x-p2)2+y2=p2交于C，D两点，且|AB|=3|CD|，则直线L的斜率是______．
2. 正项等比数列{an}满足：a2=1，a8=64，则数列{4n2an}的前n项和是______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
3. 为响应国家“精准扶贫、精准脱贫”的号召，某贫困县在精准推进上下功夫，在精准扶贫上见实效．根据当地气候特点大力发展中医药产业，药用昆虫的使用相应愈来愈多，每年春暖以后到寒冬前，昆虫大量活动与繁殖，易于采取各种药用昆虫．已知一只药用昆虫的产卵数y(单位：个)与一定范围内的温度x(单位：℃)有关，于是科研人员在3月份的31天中随机选取了5天进行研究，现收集了该种药物昆虫的5组观察数据如表：
日期
2日
7日
15日
22日
30日
温度℃
10
11
13
12
8
产卵数y/个
22
24
29
25
16
(1)从这5天中任选2天，记这2天药用昆虫的产卵数分别为m，n，求“事件m，n均不小于24”的概率？
(2)科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验．
①若选取的是3月2日与3月30日这2组数据，请根据3月7日、15日和22日这三组数据，求出y关于x的线性回归方程？
②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？
附公式：y=bx+a，b=i=1n(xi-x-)(yi-y-)i=1n(x-x-)2
4. 已知三角形ABC中，2acosA=c⋅cosB+b⋅cosC．
①求A？
②若a=7，sinB+sinC=13314，求三角形ABC的面积？
5. 已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长相等，且∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°．
①证明：平面A1AC⊥平面A1BD；
②求直线BC1与平面A1AC所成角的正弦值？
1. 椭圆C：x2a2+y2b2=1的离心率是22，且以两焦点间的线段为直径的圆的内接正方形面积是2．
①求椭圆C的方程？
②过左焦点F1的直线L与C相交于A、B两点，直线m：x=-2，过F1作垂直于L的直线与直线m交于点T，求|TF1||AB|的最小值和此时的直线L的方程？
2. 已知函数f(x)=xlnx-asinx．
①当a=0时，证明：f(x)≥x-1；
②若f(x)在[1e,π)有且只有一个零点，求a的范围．
3. 直线L1的参数方程是x=uy=-2u(u为参数)，圆C的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ-2．
①求圆C的直角坐标方程？
②过直线L1上的一点M作一条倾斜角为45°的直线L2与圆C交于A、B两点，求|MA|⋅|MB|的最小值？
4. 已知函数f(x)=2|x+1|+|x-2|．
①解不等式f(x)>4？
②当x≥0时，不等式f(x)≤ax+b(a,b∈R)恒成立，求z=ab的最小值？
数学试卷（文）答案
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
DCACB BBADC DD
二、 填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13【答案】2 14【答案】1010.1 15【答案】±22
16【答案】(n2-2n+3)⋅2n+1-6
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17【答案】解：(1)依题意得，m、n的所有情况为：
{22,24}、{22,29}、{22,25}、{22,16}、{24,29}、
{24,25}、{24,16}、{29,25}、{29,16}、{25,16}共有10个；
设“m、n均不小于24”为事件A，则事件A包含的基本事件为：
{24,29}、{24,25}、{29,25}共有3个，
∴P(A)=310，即事件A的概率为310；
(2)①由数据得x-=12，y-=26，
b=i=1n(xi-x-)(yi-y-)i=1n(x-x-)2=2.5，a=y--bx-=26-2.5×12=-4．
∴y关于x的线性回归方程为y=2.5x-4；
②由①知，y关于x的线性回归方程为y=2.5x-4，
当x=10时，y=2.5×10-4=21，且|21-22|<2，
当x=8时，y=2.5×8-4=16，且|16-16|<2．
∴所得到的线性回归方程是可靠的．
18【答案】解：①三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2acosA=bcosC+ccosB，
由正弦定理可知2sinAcosA=sinBcosC+sinCcosB，
可得sin2A=sin(B+C)，
∴2A=B+C，
又A+B+C=180°，
得A=60°．
②根据正弦定理得：asinA=143，b=14sinB3，c=14sinC3．
因为：sinA+sinB=13314，
所以：b+c=13．
由余弦定理得72=b2+c2-2bccos60°=(b+c)2-3bc，
得：bc=40．
可得：S△ABC=12bcsinA=103．
19【答案】解：①证明：连接BD交AC于点O，A1D，A1C，A1B，
∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长相等，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°，
∴
四棱柱的每个面均为全等的菱形，
∴AC⊥BD，A1D=A1B，
∴A1O⊥BD，
又AC∩A1O=A，且均在平面A1AC内，
∴BD⊥平面A1AC，
∵BD在平面A1BD内，
∴平面A1AC⊥平面A1BD；
②由(1)知，OA，OB，OA1两两互相垂直，以点O为坐标原点，以OA，OB，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设四棱柱的棱长为2，则B(0,1，0)，A1(0,0,1),C(-3,0,0),C1(x,0,1)，
∴OC=(-3,0,0),A1C1=(x,0,0)，
显然A1C1=2OC，
∴x=-23，即C1(-23,0,1)，
∴BC1=(-23,-1,1)，
而平面A1AC的一个法向量为OB=(0,1,0)，
设直线BC1与平面A1AC所成角为θ，则sinθ=|cos|=112+1+1=1414．
20【答案】解：①由题意可得ca=222csinπ4=2b2=a2-c2，解得a2=2，b2=1，
所以椭圆的方程为：x22+y2=1；
②由①
得左焦点F1(-1,0)，显然直线L的斜率不为0，设直线L的方程为：x=my-1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)
联立直线与椭圆的方程：x=my-1x2+2y2-2=0，整理可得：(2+m2)y2-2my-1=0，∴y1+y2=2m2+m2，y1y2=-12+m2，
所以弦长AB=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=1+m24m2(2+m2)2+42+m2=22(1+m2)2+m2；
由题意设直线m的方程为：y=-m(x+1)，令x=-2可得yT=m，即T(-2,m)，
所以|TF1||AB|=1+m222(1+m2)2+m2=122⋅2+m21+m2=122⋅(1+m2)2+2(1+m2)+11+m2=122⋅(1+m2)+11+m2+2≥122⋅2+2=22，当且仅当m2+1=1，即m=0时取等号，
所以|TF1||AB|的最小值为22，此时直线L的方程为：x=-1．
21【答案】解：①证明：当a=0时，f(x)=xlnx(x>0)，
令F(x)=f(x)-(x-1)=xlnx-x+1(x>0)，则F'(x)=lnx，
当x∈(0,1)时，F'(x)<0，当x∈(1,+∞)时，F'(x)>0，
∴F(x)min=F(1)=0，故xlnx-x+1≥0，即xlnx≥x-1，即得证．
②依题意，方程xlnx=ainx在[1e,π)上只有一个解，记g(x)=xlnx,x∈[1e,π),h(x)=asinx,x∈[1e,π)，则函数g(x)与h(x)的图象在[1e,π)上有且仅有一个交点，
又g'(x)=lnx+1≥0在[1e,π)上恒成立，故函数g(x)在[1e,π)上单调递增，
(i)当a>0时，函数h(x)在[1e,π2)单调递增，在[π2,π)单调递减，且h(1e)=asin1e>0,h(x)max=a>0,h(π)=0，如图，
显然，此时满足函数g(x)与h(x)的图象在[1e,π)上有且仅有一个交点，符合题意；
(ii)当a=0时，f(x)=xlnx，显然在[1e,π)上有且仅有一个零点x=1，符合题意；
(iii)当a<0时，函数h(x)在[1e,π2)单调递减，在[π2,π)单调递增，且h(1e)=asin1e<0,h(x)min=a<0,h(π)=0，如图，
要使函数g(x)与h(x)的图象在[1e,π)上有且仅有一个交点，只需h(1e)≥g(1e)，即asin1e≥-1e，即a≥-1esin1e，又a<0，故-1esin1e≤a<0；
综上，实数
a的取值范围为[-1esin1e,+∞)．
22【答案】解：①圆C的极坐标方程是ρ2=4ρcosθ-2.转换为直角坐标方程为x2+y2-4x+4=2，整理得(x-2)2+y2=2．
②直线L1的参数方程是x=uy=-2u(u为参数)，转换为直角坐标方程为y=-2x．
则过圆心C(2,0)且垂直于直线y=-2x的直线方程为y=12(x-2)．
由于在直线L1上的一点M作一条倾斜角为45°的直线L2与圆C交于A、B两点，由于要求出|MA|⋅|MB|的最小值，
所以首先求出圆心到直线L1上的一点M的最小值，进一步求出|MA|⋅|MB|的最小值．
则直线y=-2x与直线y=12(x-1)的交点坐标为M(x,y)，
故：y=-2xy=12(x-2)，解得x=25y=-45，
则过点M(25,-45)且倾斜角为45°的直线得参数方程为x=25+22ty=-45+22t(t为参数)．
如图所示：
把直线的参数方程代入圆的方程得到(25+22t-2)2+(22t-45)2=2，
整理得t2-1225t+65=0，
所以|MA|⋅|MB|=|t1t2|=65，
即|MA|⋅|MB|的最小值为65．
23【答案】解：①函数f(x)=2|x+1|+|x-2|=-3x,x≤-1x+4,-14可化为-3x>4，解得x<-43；
当-14可化为x+4>4，解得x>0，04可化为3x>4，解得x>43，x≥2；
所以不等式f(x)>4的解集为{x|x<-43或x>0}；
②当x≥0时，画出函数f(x)的图象如图所示，
则f(x)的图象与y轴的交点纵坐标为4，
各部分所在直线的斜率的最大值为3，
所以当且仅当a≥3且b≥4时，满足x≥0，不等式f(x)≤ax+b恒成立，
所以z=ab的最小值为12．
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