高考数学复习课时提能演练(七十六) 选修4-2_3 7页

‎ ‎ 课时提能演练(七十六)‎ ‎1.已知矩阵M=的一个特征值为3，求其另一个特征值.‎ ‎2.(2012·苏州模拟)已知M=α=试计算M20α.‎ ‎3.给定矩阵A=求A4B.‎ ‎4.(2011·福州模拟)已知二阶矩阵M有特征值λ=3及属于3的一个特征向量并且矩阵M对应的变换将点(-1，2)变换为(9，15)，求矩阵M.‎ ‎5.(2012·厦门模拟)已知矩阵M=向量ξ=‎ ‎(1)求矩阵M的特征值λ1、λ2和特征向量ξ1和ξ2；‎ ‎(2)求M6ξ的值.‎ ‎6.求矩阵的特征值及属于每个特征值的一个特征向量.‎ ‎7.已知矩阵A=若矩阵A属于特征值3的一个特征向量为属于特征值－1的一个特征向量为求矩阵A．‎ ‎8.(2012·三明模拟)设M是把坐标平面上的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3倍的伸缩变换.‎ ‎(1)求矩阵M的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；‎ ‎(2)求逆矩阵M-1及椭圆在M-1的作用下的新曲线的方程.‎ ‎9.(2012·南通模拟)设M是把坐标平面上点的横坐标不变、纵坐标沿y轴方向伸长为原来5倍的伸缩变换.‎ ‎(1)求直线4x-10y=1在M作用下的方程；‎ ‎(2)求M的特征值与对应的一个特征向量.‎ ‎10.已知二阶矩阵M有特征值λ1=4及属于特征值4的一个特征向量并有特征值λ2=-1及属于特征值-1的一个特征向量 ‎(1)求矩阵M.‎ ‎(2)求M2 013α.‎ 答案解析 ‎1.【解析】矩阵M的特征矩阵为其特征多项式为(λ-1)(λ-x)-(-2)×(-2)‎ 由题意：(3-1)(3-x)-4=0‎ ‎∴x=1‎ ‎∴M=‎ 由(λ-1)(λ-1)-(-2)×(-2)=0,解得λ=3或λ=-1.‎ 矩阵M的另一个特征值为-1.‎ ‎2.【解析】矩阵M的特征多项式为f(λ)=(λ-1)2-4,‎ 令f(λ)=0解得λ1=3,λ2=-1,‎ 对应的特征向量分别为和 而α=所以 ‎3.【解析】设A的一个特征值为λ，由题知 ‎ ‎(λ-2)(λ-3)=0，λ1=2，λ2=3，‎ 当λ1=2时，由得A的属于特征值2的特征向量 当λ1=3时，由得A的属于特征值3的特征向量 由于B=‎ 故A4B=A4(2α1+α2)=2(24α1)+(34α2)=32α1+81α2=‎ ‎4.【解析】设M=则 ‎∴①，又 ‎∴②,‎ 联立①②解得a=-1,b=4,c=-3,d=6,‎ ‎∴M=‎ ‎5.【解析】(1)M=的特征多项式为 令f(λ)=0，得λ1=1,λ2=3.‎ 当λ1=1时，得当λ2=3时，得 ‎(2)由ξ=mξ1+nξ2得得m=3，n=1.‎ ‎6.【解析】特征多项式 由f(λ)=0,解得λ1=1,λ2=3，将λ1=1代入特征方程组，得 即x+y=0,可取为属于特征值λ1=1的一个特征向量,‎ 同理，λ2=3时，由即x-y=0,所以可取为属于特征值λ2=3的一个特征向量.‎ 综上所述，矩阵有两个特征值λ1=1，λ2=3；属于λ1‎ ‎=1的一个特征向量为 属于λ2=3的一个特征向量为 ‎7.【解析】由矩阵A属于特征值3的一个特征向量为可得 即 由矩阵A属于特征值-1的一个特征向量为可得 即解得即矩阵A=‎ ‎8.【解题指南】先确定矩阵，进而求得其特征值及属于每个特征值的一个特征向量,再求逆矩阵后解题.‎ ‎【解析】(1)由题意可得M=‎ 则令 ‎∴矩阵M的特征值为λ1=2,λ2=3.‎ 当λ1=2时,由即-y=0,‎ 得一个非零解 当λ2=3时，由 即x=0，得一个非零解 ‎∴矩阵M的特征值为λ1=2,λ2=3,‎ 属于特征值λ1=2,λ2=3的一个特征向量分别为 ‎(2)∵|M|=‎ ‎∴设(x,y)是上任一点，经M-1变换后为点(x′,y′),‎ 则由∴∴∴新曲线的方程为x2+y2=1.‎ ‎9.【解析】(1)由题意得M=设(x′,y′)是所求曲线上的任一点，‎ 所以所以代入4x-10y=1得，4x′-2y′=1,‎ 所以所求曲线的方程为4x-2y=1.‎ ‎(2)矩阵M的特征多项式令f(λ)=0,‎ 所以M的特征值为λ1=1,λ2=5.‎ 当λ1=1时，由Mα1=λ1α1，得特征向量 当λ2=5时，由Mα2=λ2α2，得特征向量 ‎10.【解析】(1)设M=‎ 则 ‎∴①‎ 又 ‎∴②‎ 由①②可得a=1,b=2,c=3,d=2，‎ ‎∴M=‎ ‎(2)易知 ‎∴‎