2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第七章　3 第3讲　二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题 9页

[基础题组练] 1．二元一次不等式组 2x＋3y≤12， 2x＋3y≥－6， 0≤x≤6 所表示的平面区域的面积为( ) A．18 B．24 C．36 D．12 13 解析：选 C.不等式组所表示的平面区域如图阴影部分， 四边形 ABCD 是平行四边形，由图中数据可知其面积 S＝(4＋2)×6＝36. 2．设变量 x，y 满足约束条件 2x＋y≥0， x＋2y－2≥0， x≤0， y≤3， 则目标函数 z＝x＋y 的最大值为( ) A.2 3 B．1 C.3 2 D．3 解析：选 D.作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由 z＝x＋y 得 y＝－x ＋z，作出直线 y＝－x，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在 B(0，3)处取得，故 zmax ＝0＋3＝3，选项 D 符合． 3．(2020·浙江名校联盟联考)已知实数 x，y 满足 （x－y）（x＋2y）≥0 x≥1 ，则 2x－y( ) A．有最小值，无最大值 B．有最大值，无最小值 C．有最小值，也有最大值 D．无最小值，也无最大值 解析：选 A.作出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示． 设 2x－y＝z，则 y＝2x－z，z 表示直线在 y 轴上的截距的相反数． 平移直线 y＝2x－z，可得当直线过点 A 时 z 取得最小值，z 没有最大值．故选 A. 4．(2020·台州高三质检)已知不等式组 x＋y≤2， x≥0， y≥m 表示的平面区域的面积为 2，则x＋y＋2 x＋1 的最小值为( ) A.3 2 B.4 3 C．2 D．4 解析：选 B.画出不等式组所表示的区域(阴影部分)，由区域面积为 2，可得 m＝0.而x＋y＋2 x＋1 ＝1＋y＋1 x＋1 ，y＋1 x＋1 表示可行域内任意一点与点(－ 1，－1)连线的斜率，所以y＋1 x＋1 的最小值为0－（－1） 2－（－1） ＝1 3 ，所以x＋y＋2 x＋1 的最小值为4 3. 5．(2020·金华十校联考)设变量 x，y 满足约束条件 x＋y≤a， x＋y≥8， x≥6 且不等式 x＋2y≤14 恒成 立，则实数 a 的取值范围是( ) A．[8，10] B．[8，9] C．[6，9] D．[6，10] 解析：选 A.不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然 a≥8，否则可行域无 意义．由图可知 x＋2y 在点(6，a－6)处取得最大值 2a－6，由 2a－6≤14 得，a≤10，故选 A. 6．(2020·温州适应性测试)在如图所示的坐标平面的可行域内(阴 影部分且包括边界)，若目标函数 z＝x＋ay 取得最小值的最优解有无数个，则 y x－a 的最大值 是( ) A.2 5 B.2 3 C.1 6 D.1 4 解析：选 A.易知 a≠0，那么目标函数可化为 y＝－1 ax＋1 az.要使目标函数 z＝x＋ay 取得 最小值的最优解有无数个，则－1 a ＝kAC＝1，则 a＝－1，故 y x－a ＝ y x＋1 ，其几何意义为可行 域内的点(x，y)与点 M(－1，0)的连线的斜率，可知 y x＋1 max ＝kMC＝2 5 ，故选 A. 7．若 x，y 满足约束条件 x≥0， x＋3y≥4， 3x＋y≤4 则 z＝－x＋y 的最小值是________． 解析：作出不等式组 x≥0， x＋3y≥4， 3x＋y≤4 表示的平面区域，得到如图的△ABC 及其内部，其中 A(1，1)，B 0，4 3 ，C(0，4)． 经过点 A 时，目标函数 z 达到最小值． 所以 zmin＝－1＋1＝0. 答案：0 8．(2020·杭州中学高三期中)已知点 A(3， 3)，O 为坐标原点，点 P(x，y)满足 3x－y≤0 x－ 3y＋2≥0 y≥0 ，则满足条件的点 P 所形成的平面区域的面积为________，OP→ 在OA→ 方向上 投影的最大值为________． 解析：由已知得到平面区域如图，P 所在区域即为阴影部分，由 3x－y＝0 x－ 3y＋2＝0 得到 C(－ 2，0)，B(1， 3)，所以其面积为1 2 ×2× 3＝ 3. 令OP→ 在OA→ 方向上投影为 z＝OA→ ·OP→ |OA→ | ＝3x＋ 3y 2 3 ＝ 3 2 x＋1 2y，所以 y＝－ 3x＋2z，过点 B 时 z 最大， 所以，OP→ 在OA→ 方向上投影的最大值为 3 2 ＋ 3 2 ＝ 3. 答案： 3 3 9．给定区域 D： x＋4y≥4， x＋y≤4， x≥0， 令点集 T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是 z＝x＋y 在 D 上取得最大值或最小值的点}，则 T 中的点共确定________条不同的直线． 解析：画出平面区域 D，如图中阴影部分所示． 作出 z＝x＋y 的基本直线 l0：x＋y＝0.经平移可知目标函数 z ＝x＋y 在点 A(0，1)处取得最小值，在线段 BC 处取得最大值，而集合 T 表示 z＝x＋y 取得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时 线段 BC 上共有 5 个整点，分别为(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)，故 T 中的点共 确定 6 条不同的直线． 答案：6 10．(2020·温州市高考实战模拟)若变量 x，y 满足约束条件 x≥0 y≥0 3x＋4y≤12 ，则 z＝2x· 1 2 y 的最大值为________． 解析：作出不等式组 x≥0 y≥0 3x＋4y≤12 表示的平面区域如图中阴影部分所示．又 z＝ 2x· 1 2 y ＝2x－y，令 u＝x－y，则直线 u＝x－y 在点(4，0)处 u 取得最大值，此时 z 取得最大值 且 zmax＝24－0＝16. 答案：16 11．(2020·杭州市高三模拟)若实数 x，y 满足 x＋y≥0 x≤1 x－2y≥0 . 求：(1)x 的取值范围； (2)|x|＋|y|的取值范围． 解：(1)由约束条件 x＋y≥0 x≤1 x－2y≥0 作出可行域如图中阴影部分所示， 由图可知，0≤x≤1. (2)当 x≥0，y≥0 时， z＝|x|＋|y|＝x＋y 过(1，1 2)时有最大值为3 2 ， 过 O(0，0)时有最小值 0； 当 x≥0，y≤0 时， z＝|x|＋|y|＝x－y 过(1，－1)时有最大值为 2， 过 O(0，0)时有最小值 0. 所以|x|＋|y|的取值范围是[0，2]． 12．若 x，y 满足约束条件 x＋y≥1， x－y≥－1， 2x－y≤2. (1)求目标函数 z＝1 2x－y＋1 2 的最值； (2)若目标函数 z＝ax＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，求 a 的取值范围． 解：(1)作出可行域如图中阴影部分所示，可求得 A(3，4)，B(0， 1)，C(1，0)． 平移初始直线 1 2x－y＋1 2 ＝0，过 A(3，4)时 z 取最小值－2，过 C(1， 0)时 z 取最大值 1. 所以 z 的最大值为 1，最小值为－2. (2)直线 ax＋2y＝z 仅在点(1，0)处取得最小值，由图象可知－1<－a 2<2， 解得－40)至少有两个公共点，则实数 a 的取值范围是( ) A. 1 2 ，5 B．(1，5) C. 1 2 ，5 D．(1，5] 解析：选 C.如图所示(阴影部分)，若使以(4，1)为圆心的圆与平面区域 M 至少有两个交 点，结合图形，当圆与直线 x－y－2＝0 相切时，恰有一个公共点，此时 a＝ 1 2 2 ＝1 2 ，当圆 的半径增大到恰好过点 C(2，2)时，圆与平面区域 M 至少有两个公共点，此时 a＝5，故实 数 a 的取值范围是1 2