2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二10月阶段考试数学（文）试题（解析版） 11页

‎2017-2018学年黑龙江省哈尔滨市第六中学高二10月阶段考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】抛物线的标准方程： ，‎ 其焦点坐标是 故选：B ‎2．椭圆的离心率是，则它的长轴长是（ ）‎ A. 1 B. 1或2 C. 2 D. 2或4‎ ‎【答案】D ‎【解析】把椭圆方程转化为： ‎ 分两种情况：①时椭圆的离心率 则： 解得：m=进一步得长轴长为4‎ ‎②时 椭圆的离心率 ，则：长轴长为2‎ 故选：D 点睛：在椭圆和双曲线中，焦点位置不确定时，勿忘分类讨论.‎ ‎3．已知方程：表示焦距为8的双曲线，则m 的值等于（ ）‎ A．-30 B．10 C．-6或10 D．-30或34‎ ‎【答案】C.‎ ‎【解析】试题分析：首先将已知方程化简为标准方程即，然后分类讨论双曲线的焦点在x轴或y轴上并利用已知焦距为8即可求出结果，即当焦点在x轴上时，，所以，即，所以；当焦点在y轴上时，，所以，即，所以.综上所述，的值等于-6或10.‎ ‎【考点】双曲线的简单性质.‎ ‎4．设椭圆 的左、右焦点分别为， 是上的点， ，‎ ‎ ，则的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】把x=c带入得y=；∴|PF2|=；‎ ‎∴在△PF1F2中， ，∴，‎ 解得： ．‎ 故选D．‎ ‎5．椭圆的焦点为，过点作直线与椭圆相交，被椭圆截得的最短的弦长为，‎ ‎ 的周长为20，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵△MF2N的周长=MF1+MF2+NF1+NF2=2a+2a=4a=20，∴a=5，‎ 又由椭圆的几何性质，过焦点的最短弦为通径长 ‎∴MN==，‎ ‎∴b2=16，c2=a2﹣b2=9，‎ ‎∴c=3，∴e==，‎ 故选B．‎ ‎6．以双曲线(a>0，b>0)的左焦点F为圆心，作半径为b的圆F，则圆F与双曲线的渐近线(　　)‎ A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定 ‎【答案】C ‎【解析】左焦点F为(－c,0)，渐近线方程为y＝x即bx－ay＝0，∴圆心到直线的距离为＝b，所以相切．‎ ‎7．抛物线截直线所得弦长等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：设直线与抛物线交点坐标分别为，将直线方程代入抛物线方程并化简的，由根与系数的关系可知，由弦长公式可知弦长，答案选A.‎ ‎【考点】直线与抛物线相交弦长公式 ‎8．过抛物线的焦点作直线，交抛物线于， 两点，若，‎ ‎ 则 为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可知：p=2，∴准线方程是x=﹣1，‎ ‎∵抛物线 的焦点作直线交抛物线于， 两点 ‎∴|AB|=x1+x2+2，又x1+x2=6‎ ‎∴∴|AB|=x1+x2+2=8‎ 故选：C．‎ 点睛：抛物线中涉及过焦点的弦长问题，利用定义转化为到准线距离比较简单.‎ ‎9．已知椭圆C： 的离心率为．双曲线的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由题意，双曲线的渐近线方程为，‎ ‎∵以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，故边长为4，‎ ‎∴（2，2）在椭圆C： 上，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∴‎ ‎∴椭圆方程为： .‎ 故选D.‎ ‎【考点】椭圆的标准方程及几何性质；双曲线的几何性质.‎ 视频 ‎10．抛物线上一点到直线的距离与到点的距离之差的最大值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，由抛物线的定义可知：‎ 抛物线y2=4x上一点P到直线x=﹣1的距离|PM|=|PF|，‎ ‎∴当P，Q，F共线时，‎ P到直线x=﹣1的距离与到点Q（2，2）的距离之差取最大值，‎ ‎∵F（1，0），Q（2，2），‎ ‎∴[|PM|﹣|PQ|]max ‎=[|PF|﹣|PQ|]max ‎=|QF|‎ ‎== ，‎ 故选：D．‎ ‎11．若双曲线－＝1()的左、右焦点分别为，线段被抛物线的焦点分成的两段，则此双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵抛物线y2=2bx 的焦点F（，0），线段F1F2被抛物线y2=2bx 的焦点分成7：5的两段，∴，易得c=3b，‎ 从而c2=a2+b2=a2+c2，可得．‎ ‎∴此双曲线的离心率e==．‎ 故选：C 点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎12．设双曲线的两条渐近线与直线分别交于两点， 为该双曲线的右焦点.若，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：双曲线的两条渐近线方程为时， ‎ 故选B ‎【考点】双曲线的简单性质 二、填空题 ‎13．在极坐标系中，曲线与的交点的极坐标为________．‎ ‎【答案】（1）‎ ‎【解析】试题分析：由题意得，将与消去，得，所以，因为，及，所以，所以，所以，将代入，得，所以曲线与的交点的极坐标为．‎ ‎【考点】极坐标的应用．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了极坐标系中曲线与曲线的交点的极坐标分求解，属于基础题，此类问题的解答可直接代入计算，亦可先把曲线方程化为直角坐标方程，联立方程组，求出其焦点的坐标，再化为极坐标，体现了转化与化归的数学思想方法的应用，属于基础题，本题的解答中将与消去，得，即可曲求解的值，再代入任意一个方程，即可求解出的值，得到交点的极坐标．‎ ‎14．在极坐标中，已知点为方程所表示的曲线上一动点，点的坐标为，则的最小值为____________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】试题分析：曲线的一般方程为，点的直角坐标为，由于是直线上一点，故的最小值为点到直线的距离.‎ ‎【考点】1.极坐标与直角坐标之间的转化；2.点到直线的距离 ‎15．椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是 ．‎ ‎【答案】3 ‎ ‎【解析】试题分析：易知：F（-1,0），m>0,，|AF|=,‎ 周长g(m)=2|AF|+|AB|=,得m=1.‎ 直线过右焦点F’，|AB|=3，|FF’|=2，故的面积=.‎ ‎【考点】本题考查了椭圆的性质的运用 点评：本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.‎ ‎16．已知椭圆方程为，直线与该椭圆的一个交点在轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，则_________________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵直线与该椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点，∴M．‎ ‎∴，同时a2=b2+c2，a2=16，b2=m2，‎ ‎∴m4+8m2﹣128=0，‎ 解得m2=8，m＞0，∴．‎ 故答案为： ．‎ 三、解答题 ‎17．在极坐标系中，已知点，直线为.‎ ‎（1）求点的直角坐标与直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）求点到直线的距离.‎ ‎【答案】(1) , (2)3‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把极坐标化为直角坐标．（2）利用点到直线的距离公式即可得出．‎ 试题解析：‎ ‎（1）点化成直角坐标为.‎ 直线，化成直角坐标方程为，即.‎ ‎（2）由题意可知，点到直线的距离，就是点到直线的距离，由距离公式可得.‎ ‎18．在直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，‎ 已知某圆的极坐标方程为： ．‎ ‎（1）将极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎（2）若点 在该圆上，求的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) x＋y的最大值4，最小值0‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用互化公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可把极坐标化为直角坐标．；‎ ‎（2）由x2+y2﹣4x+2=0化为（x﹣2）2+y2=2，令，α∈[0，2π）．可得x+y=,，利用正弦函数的单调性即可得出．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）ρ2＝x2＋y2 ρcosθ＝x，ρsinθ＝y, ‎ ‎∴圆的普通方程为 ‎（Ⅱ）由 (x－2)2＋y2＝2 7分,设 (α为参数)‎ ‎,‎ 所以x＋y的最大值4，最小值0‎ ‎19．已知曲线的参数方程为（为参数），将曲线上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标伸长到原来的倍，得到曲线.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）已知点，曲线与轴负半轴交于点， 为曲线上任意一点， 求的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意可得，曲线的参数方程为，再消去参数θ可得，即为所求．（Ⅱ）由题意可得A（-2，0），设点P（2cosθ， sinθ），求得=sin（θ+∅），从而求得的最大值 试题解析：（1）曲线的参数方程为（为参数），则的普通方程为 ‎（2），设，则 ‎，所以当时取得最大值 ‎【考点】参数方程化成普通方程；两点间的距离公式 ‎20．已知椭圆 经过点，一个焦点是．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若倾斜角为的直线与椭圆交于两点，且，求直线 的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用题目所提供的条件布列关于a，b的方程组，解方程组得椭圆方程．‎ ‎（2）根据直线的倾斜角为，设直线的方程为y=x+b联立椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式解得b值，从而得直线的方程.．‎ 试题解析：‎ ‎（1）椭圆C： （a＞b＞0）经过点，‎ 则：①‎ 椭圆的一个焦点是F（0，1）．‎ 则a2﹣b2=1 ②‎ 由①②得：a2=4 b2=3‎ 椭圆C的方程： ③‎ ‎（2）根据题意可知：设直线l的方程为：y=x+b④‎ 联立③④得：‎ ‎3（x+b）2+4x2=12‎ 整理得：7x2+6bx+3b2﹣12=0‎ ‎∴ ‎ ‎∵|AB|===‎ 解方程得：b=±2‎ 直线l的方程为：y=x±2‎ ‎21．已知过点的动直线与抛物线：相交于两点．当直线的斜率是时，.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）x2＝4y；（2）b∈(2，＋∞)．‎ ‎【解析】试题分析：‎ 本题主要考查抛物线的标准方程、直线与抛物线的交点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，利用点斜式先写出直线的方程，令直线与抛物线联立，消参得到关于y的方程，利用韦达定理，得到和，再利用，解出，得到抛物线的方程；第二问，设出直线的方程，令抛物线与直线联立，消参得到关于x的方程，利用韦达定理，得到BC的中点坐标，从而得到BC的中垂线方程，令x=0，得到中垂线在y轴上的截距，再通过配方法求范围.‎ 试题解析：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.‎ 由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，‎ ‎∴①, ②‎ 又∵，∴y2＝4y1，③‎ 由①②③及p＞0得：y1＝1，y2＝4，p＝2，得抛物线G的方程为x2＝4y.‎ ‎(2)设l：y＝k(x＋4)，BC的中点坐标为(x0，y0)，‎ 由得x2－4kx－16k＝0，④‎ ‎∴，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.‎ ‎∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－ (x－2k)，‎ ‎∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为：b＝2k2＋4k＋2＝2(k＋1)2，‎ 对于方程④，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4. ∴b∈(2，＋∞)．‎ ‎【考点】抛物线的标准方程、直线与抛物线的交点问题.‎