【数学】2018届一轮复习人教A版合情推理与演绎推理教案 8页

高三 一轮复习 6.5　合情推理与演绎推理 ‎ ‎【教学目标】‎ ‎1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．　‎ ‎2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.‎ ‎【重点难点】‎ ‎ 1.教学重点 了解合情推理和演绎推理，掌握演绎推理的“三段论”；‎ ‎2.教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力；‎ ‎【教学策略与方法】‎ 自主学习、小组讨论法、师生互动法 ‎【教学过程】‎ 教学流程 教师活动 学生活动 设计意图 考纲传真 ‎1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．‎ ‎2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.‎ 真题再现;‎ ‎1．(2014·北京，8)学生的语文、数学成绩均被评定 三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生 的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一 门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果 一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且 不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，‎ 那么这组学生最多有(　　)‎ A．2人 B．3人 C．4人 D．5人 解析　学生甲比学生乙成绩好，即学生甲两门成绩中一门高过学生乙，另一门不低于学生乙．一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且没有相同的成绩，则存在的情况是，最多有3‎ ‎。‎ 学生通过对高考真题的解决，发现自己对知识的掌握情况。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 通过对考纲的解读和分析。让学生明确考试要求，做到有的放矢 人，其中一个语文最好，数学最差；另一个语文最差，数学最好；第三个人成绩均为中等．故选B.答案　B ‎2．(2012·江西，6)观察下列各式a＋b＝1，a2＋b2＝‎ ‎3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋‎ b10＝(　　)‎ A．28 B．76 C．123 D．199‎ 解析　利用归纳法a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123.‎ 答案　C ‎3.(2013·湖北，14)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研 究过各种多边形数．如三角形数1，3，6，10，…，‎ 第n个三角形数为＝n2＋n.记第n个k边 形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n 个数的表达式三角形数　N(n，3)＝n2＋n，‎ 正方形数　N(n，4)＝n2，‎ 五边形数　N(n，5)＝n2－n，‎ 六边形数　N(n，6)＝2n2－n，‎ ‎……　　　　……可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10，24)＝________.‎ 解析　由题中数据可猜想含n2项的系数为首项是，公差是的等差数列，含n项的系数为首项是，公差是－的等差数列，因此N(n，k)＝n2＋n＝n2＋n.故N(10，24)＝11n2－10n＝11×102－10×10＝1 000. 答案　1 000‎ 知识梳理 知识点1　合情推理 归纳推理 类比推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理 特点 由部分到整体、由个别到一般的推理 由特殊到特殊的推理 知识点2　演绎推理 ‎(1)定义从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．‎ ‎(2)特点演绎推理是由一般到特殊的推理．‎ ‎(3)“三段论”是演绎推理的一般模式 ‎①大前提——已知的一般原理；‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．‎ ‎1．必会结论；(1)合情推理的结论是猜想，不一定正确；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时，得到的结论一定正确．‎ ‎(2)合情推理是发现结论的推理；演绎推理是证明结论的推理．‎ ‎2．必知联系；(1)一般情况下，我们用合情推理发现结论，然后用演绎推理证明其正确性．‎ ‎(2)在演绎推理中，若大前提、小前提、推理形式三者中有一个是错误的，所得的结论就是错误的．‎ 考点分项突破 考点一类比推理 ‎(1)对于命题如果O是线段AB上一点，则||＋||＝0；将它类比到平面的情形是若O是△ABC内一点，有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0；将它类比到空间的情形应该是若O是四面体ABCD内一点，则有________．‎ ‎(2)求的值时，采用了如下方法令＝x，则有x＝，解得x＝(‎ 学生通过对高考真题的解决，感受高考题的考察视角。‎ 环节二 负值已舍去)．可用类比的方法，求得1＋的值为________．‎ ‎【解析】　(1)线段长度类比到空间为体积，再结合类比到平面的结论，可得空间中的结论为VOBCD·＋VOACD·＋VOABD·＋VOABC·＝0.‎ ‎(2)令1＋＝x，则有1＋＝x，解得x＝(负值已舍去)．‎ ‎【答案】　(1)VOBCD·＋VOACD·＋VOABD·＋VOABC·＝0　(2) 跟踪训练 ‎ ‎1．已知等差数列{an}中，有＝，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论________.‎ ‎【解析】　由等比数列的性质知b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，所以＝.‎ ‎【答案】　＝ ‎2．设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝；类比这个结论可知，四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，四面体ABCD的体积为V，内切球半径为R，则R＝________.‎ ‎【解析】　三角形的面积类比四面体的体积，三角形的边长类比四面体四个面的面积，内切圆半径类比内切球的半径，二维图形中的类比三维图形中的，得R＝‎ ‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ .【答案】　 归纳类比推理的关键及类型 ‎1．进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．‎ ‎2．类比推理常见的情形有平面与空间类比；低维与高维的类比；等差与等比数列类比；运算类比(加与积，乘与乘方，减与除，除与开方)；数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．‎ 考点二 归纳推理 ‎●命题角度1　数的归纳 ‎1．观察下列各式55＝3 125,56＝1 5625,57＝78 125，…，则52 016的末四位数字为(　　)‎ A．3 125　　 B．5 625　　‎ C．0 625　　 D．8 125‎ ‎【解析】　58＝390 625,59＝1 953 125，…，由此看出，末四位数字具有周期性，且周期为4，又2 016＝4×504，由此知72 016的末四位数字应为0 625，故选C.‎ ‎【答案】　C ‎2．观察下列特殊的不等式 ≥2×，‎ ≥×3，‎ ≥×5，‎ ≥2×75，‎ ‎……由以上特殊不等式，可以猜测当a>b>0，s，r∈Z时，有≥________.‎ ‎【解析】　≥2×＝×2－1，‎ ≥×3＝×5－2，‎ 引导学生通过对基础知识的逐点扫描，来澄清概念，加强理解。从而为后面的练习奠定基础.‎ 由常见问题的解决和总结，使学生形成解题模块，提高模式识别能力和解题效率。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ ≥×5＝×8－3，‎ ≥2×75＝×10－5，‎ 由以上特殊不等式，可以猜测当a>b>0，s，r∈Z时，有≥s－r.【答案】　s－r ‎●命题角度2　式的归纳 ‎3．设函数f(x)＝(x>0)，观察 f1(x)＝f(x)＝，‎ f2(x)＝f(f1(x))＝，‎ f3(x)＝f(f2(x))＝，‎ f4(x)＝f(f3(x))＝，‎ ‎……根据以上事实，由归纳推理可得 当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.‎ ‎【解析】　由f(x)＝(x>0)得，f1(x)＝f(x)＝，‎ f2(x)＝f(f1(x))＝＝，‎ f3(x)＝f(f2(x))＝＝，‎ f4(x)＝f(f3(x))＝＝，‎ 所以归纳可得，当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝.【答案】　 ‎●命题角度3　形的归纳 ‎4．仔细观察下面4个数字所表示的图形 ‎0　　　　　1　　　　　　2　　　　　　　　3　　　‎ 请问数字100所代表的图形中小方格的个数为 在解题中注意引导学生自主分析和解决问题，教师及时点拨从而提高学生的解题能力和兴趣。‎ 教师引导学生及时总结，以帮助学生形成完整的认知结构。‎ 引导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，提高解题技能。‎ ‎________．‎ ‎【解析】　观察所给图形知，数字i＋1所代表的图形比数字i所代表的图形多4(i＋1)个小方格．因此数字100所代表的图形中小方格的个数为1＋1×4＋2×4＋3×4＋…＋100×4＝20 201.【答案】　20 201‎ 归纳归纳推理的三个类型 ‎1．数的归纳包括数字归纳和等式、不等式的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻找数字变化与项数的关系或数字变化的周期性．‎ ‎2．式的归纳可根据已知或所求的式子寻找每个式子都具有的规律．‎ ‎3．形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．‎ 考点三 演绎推理 ‎1.下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是(　　)‎ A．大前提无限不循环小数是无理数；小前提π是无理数；结论π是无限不循环小数 B．大前提无限不循环小数是无理数；小前提π是无限不循环小数；结论π是无理数 C．大前提π是无限不循环小数；小前提无限不循环小数是无理数；结论π是无理数 D．大前提π是无限不循环小数小前提π是无理数；结论无限不循环小数是无理数 ‎【解析】　A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A错；C、D都不是由一般性命题到特殊性命题的推理，所以A、C、D都不正确，只有B正确，故选B.【答案】　B 跟踪训练1.已知函数y＝f(x)满足对任意a，b∈R，a≠b，都有af(a)＋bf(b)>af(b)＋bf(a)，‎ ‎(1)试证明f(x)为R上的单调增函数；‎ ‎(2)若x，y为正实数且＋＝4，比较f(x＋y)与f(6)的大小．‎ ‎【解】　(1)设x1，x2∈R，且x1x1f(x2)＋x2f(x1)，∴x1[f(x1)－f(x2)]＋x2[f(x2)－f(x1)]>0，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)>0，∵x10，∴f(x2)>f(x1)．所以y＝f(x)为R上的单调增函数．‎ ‎(2)因为x，y为正实数，且＋＝4，所以x＋y＝(x＋y)＝≥＝，‎ 当且仅当即时取等号，‎ 因为f(x)在R上是增函数，且x＋y≥＞6，所以f(x＋y)>f(6)．‎ 归纳演绎推理的技巧 ‎1．在应用三段论推理来证明问题时，首先应该明确什么是问题中的大前提和小前提．在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的．‎ ‎2．演绎推理的前提和结论之间有着某种蕴含关系，解题时要找准正确的大前提．一般地，若大前提不明确时，一般可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．‎ 环节三 课堂小结 ‎1.了解合情推理的含义，能进行简单的归纳推理和类比推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．　‎ ‎2.了解演绎推理的含义，了解合情推理和演绎推理的联系和差异；掌握演绎推理的“三段论”，能运用“三段论”进行一些简单的演绎推理.‎ 学生回顾，总结.‎ 引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。‎ 环节四 课后作业学生版练与测 学生通过作业进行课外反思，通过思考发散巩固所学的知识。‎ ‎ ‎