【数学】2020届一轮复习人教A版计数原理、排列组合学案 18页

高考总复习：计数原理、排列组合 ‎ ‎ ‎【考纲要求】‎ ‎1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理；会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题.‎ ‎2．理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式；能解决简单的实际问题.‎ ‎【知识网络】‎ 排列数公式 组合 两个计数原理 排列 排列概念 组合概念 组合数公式 组合数性质 应用 ‎【考点梳理】‎ 要点一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理 ‎1．分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2方案中有n种不同的方法。那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。‎ 要点诠释：‎ 如果完成一件事有n类办法，这n类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中哪一种方法都能完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类加法计数原理；在解题时，应首先分清楚怎样才算完成这件事，有些题目在解决时需要进行分类讨论，分类时要适当地确定分类的标准，按照分类的原则进行，做到不重不漏。‎ ‎2．分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。‎ 要点诠释：‎ 如果完成一件事需要分成n个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，计算完成这件事的方法种数就用分步乘法计数原理。解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步乘法计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，即前一步用什么方法，不影响后一步采取什么方法，运用分步乘法计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取。‎ ‎3．两个计数原理的综合应用 ‎（1）在解决实际问题的过程中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同应用计数原理，即分类时，每类的方法可能要运用分步完成的，而分步时，每步的方法数可能会采取分类的思想求。另外，具体问题是先分类后分步，还是先分步后分类，应视问题的特点而定。解题时经常是两个原理交叉在一起使用，分类的关键在于要做到“不重不漏”，分类的关键在于要正确设计分步的程序，即合理分类，准确分步。‎ ‎（2）对于复杂问题，只用分类加法计数原理或分步乘法计数原理不能解决时，可以综合应用两个原理，可以先分类，在某一类中再分步，也可先分步，在某步中再分类。‎ 要点二、排列与组合基础知识 1. 定义、公式 排列与排列数 组合与组合数 定义 ‎1．排列：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。‎ ‎2．排列数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。‎ ‎1．组合：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。‎ ‎2．组合数：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。‎ 公式 排列数公式 组合数公式 性质 ‎（1）‎ ‎（2）‎ 备注 要点诠释：‎ 区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选出的元素与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则是组合问题。‎ 1. 排列数、组合数计算 ‎（1）排列数公式：右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前面那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数。公式主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证；‎ ‎（2）组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，与排列数公式的应用一样，前者多用于数字计算，后者多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论证。还应注意组合数公式的逆用，即由写出。‎ 要点诠释：‎ 在排列数、组合数计算过程要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解。‎ 要点三、排列应用题 求排列应用题的主要方法有：‎ ‎（1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算；‎ ‎（2）特殊元素（或位置）优先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；‎ ‎（3）排列、组合混合问题先选后排的方法；‎ ‎（4）相邻问题捆绑处理的方法。即可以把相邻元素看作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排列； ‎ ‎（5）不相邻问题插空处理的方法。即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；‎ ‎（6）分排问题直排处理的方法；‎ ‎（7）“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法；‎ ‎（8）定序问题除法处理的方法。即可以先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列；‎ ‎（9）正难则反，等价转化的方法。‎ 要点四、组合应用题 组合问题常有以下两类题型变化：‎ ‎（1）“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取。‎ ‎（2）“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解。用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理。‎ 要点五、排列、组合应用题 ‎1. 排列、组合问题几大解题方法：‎ ‎①直接法. ‎ ‎②排除法.‎ ‎③捆绑法：在特定要求的条件下，将几个相关元素当作一个元素来考虑，待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.‎ ‎④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中，此法主要解决“元素不相邻问题”.‎ ‎⑤占位法：从元素的特殊性上讲，对问题中的特殊元素应优先排列，然后再排其他一般元素；从位置的特殊性上讲，对问题中的特殊位置应优先考虑，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.‎ ‎⑥调序法：当某些元素次序一定时，可用此法.解题方法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到去调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法.‎ ‎⑦平均法：若把kn个不同元素平均分成k组，每组n个，共有.‎ ‎⑧隔板法：常用于解正整数解组数的问题.‎ 例如：‎ 的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板，把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为显然，故（）是方程的一组解.反之，方程的任何一组解，对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式（如图 ‎ 所示）故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板的方法数.‎ 注意：若为非负数解的x个数，即用中等于，有，进而转化为求a的正整数解的个数为 .‎ ‎2.解排列组合的应用题要注意以下几点：‎ ‎（1）仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；‎ ‎（2）深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑；‎ ‎（3）对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决；‎ ‎（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同。在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复。‎ ‎（5）排列组合综合题目，一般是符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列。其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准。‎ ‎【典型例题】‎ 类型一、分类计数原理 ‎【例1】某电脑用户计划使用不超过500元购买单价分别为60元、70元的电脑软件和电脑元件，根据需要，软件至少买3个，元件至少买2个，则不同的选购方法有（ ）‎ ‎ A.5 　　 　　 B.6 　　 C.7 D.8‎ ‎【思路点拨】采用列举法分类讨论。‎ ‎【解析】买软件3个和元件买2个共需要320元，还剩180元可以自由支配。‎ 下面考虑这180元的使用：‎ ‎1类：只再买0个软件，剩下的180元可以不买元件或买1个元件或买2个元件，共3种方法；‎ ‎2类：只再买1个软件，剩下的120元可以不买元件或买1个元件，共2种方法；‎ ‎3类：只再买2个软件，剩下的60元不可以买元件，共1种方法；‎ ‎4类：只再买3个软件，剩下的0元不可以买元件，共1种方法；‎ 故不同的方法共有2+1+1+3=7种。‎ ‎【总结升华】选择恰当的分类标准，作到不重不漏。本题也可以用线形规划的整数解的方法解决。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?‎ ‎【答案】按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，‎ 在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个.‎ 则共有1+2+3+4+…+7+8=36（个）.‎ ‎【变式2】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A、B两种作物，每种种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有多少种。‎ ‎【答案】条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数的式子表示，因而采取分类的方法。‎ ‎ 第一类：A在第一垄，B有3种选择；‎ ‎ 第二类：A在第二垄，B有2种选择；‎ ‎ 第三类：A在第三垄，B有一种选择；‎ ‎ 同理A、B位置互换，共12种。‎ 类型二、分步计数原理 ‎【例2】某体育彩票规定：从01到36共36个号中抽出7个号为一注，每注2无。某人想先选定吉利号18，然后从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30至36中选1个号组成一注。若这个人要把符合这种要求的号全买下，至少要花多少元钱？‎ ‎【思路点拨】本题中要完成选彩票这件事，必须把1到17中的3个连续号，19到29中的2个连续号，30到36中的1个号都选出才算完成这件事，所以完成这件事可分三步，用分步乘法计数原理解决。‎ ‎【解析】第1步：从01到17中选3个连续号有15种选法；‎ 第2步：从19到29中选2个连续号有10种选法；‎ 第3步：从30到36中选1个号有7种选法。‎ 由分步乘法计数原理可知：满足要求的注数共有15×10×7=1050注，故至少要花1050×2=2100元。‎ ‎【总结升华】解题时，关键是分清楚完成这件事是分类还分步，在应用分步计数原理时，各个步骤都完成，才算完成这件事，步骤之间互不影响，运用分步计数原理，要确定好次序，还要注意元素是否可以重复选取。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】‎ ‎（1）四名运动员争夺三项冠军，不同的结果最多有多少种？‎ ‎（2）四名运动员参加三项比赛，每人限报一项，不同的报名方法有多少种？‎ ‎【解析】‎ ‎（1）完成这件事分三步：‎ 第一步确定第一项冠军的得主，可能是这四名运动员中的任一个，则有4种不同结果；‎ 第二步确定第二项冠军的得主，也可能是这四名运动员中的任一个，也有4种不同结果；‎ 第三步确定第三项冠军得主，也有4种不同结果.‎ 则共有4×4×4=64种不同结果.‎ ‎（2）完成这件事情分四步: ‎ 第一步让第一名运动员报一项比赛，他可以选择三项比赛中的任一种，则有3种不同的报名方法；第二步让第二名运动填报，也有3种不同方法；‎ 第三步，第四步分别让第3，第4名运动员报，结果都一样.‎ 则共有3×3×3×3=81种不同结果.‎ ‎【点评】弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这两个原理都是指完成一件事而言的.其区别在于：（1）分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”；（2）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事.‎ ‎【变式2】从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个.（用数字作答）‎ ‎【答案】18，6；‎ 一个二次函数对应着a、b、c（a≠0）的一组取值，‎ a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，‎ 由分步计数原理，知共有二次函数3×3×2=18个.‎ 若二次函数为偶函数，则b=0‎ 同上共有3×2=6个.‎ ‎【变式3】从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?‎ ‎【答案】32；‎ 和为11的数共有5组：1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，‎ 子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.‎ 而每个数的取法有2种，‎ 所以子集的个数为2×2×2×2×2=25=32.‎ 类型三、排列数、组合数计算 ‎【例3】计算下列各式的值 ‎（1）（2）（3）‎ ‎【思路点拨】利用排列数和组合数的公式及意义求解，（2）中注意n的取值范围。‎ ‎【解析】（1）方法一：‎ 方法二：‎ ‎（2）若有意义，‎ 则解得。‎ ‎（3）‎ ‎【总结升华】在排列数、组合数计算过程要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】解方程：（1）；（2）.‎ ‎【答案】‎ ‎（1）利用，‎ 原方程可化为： 或 ‎ 解得或 故原方程的解为：或。‎ ‎（2）原方程 ‎ ‎ 解得.‎ 故原方程的解为：。‎ 类型四、排列组合常见问题及解法 一、分析题意明确是分类问题还是分步问题，是排列还是组合问题 ‎【例4】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数。‎ ‎（1）选其中5人排成一排；‎ ‎（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；‎ ‎（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；‎ ‎（4）全体排成一排，男生互不相邻；‎ ‎（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人。‎ ‎【思路点拨】无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式即可。但要看清是全排列还是选排列问题；有限制条件的排列问题，常见类型是“在与不在”、“邻与不邻”问题，可分别用相应方法。‎ ‎【解析】（1）从7个人中选5个人来排列，有种。‎ ‎（2）分两步完成，先选3人排在前排，有种方法，余下4人排在后排，有种方法，故共有·=5040种。事实上，本小题即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件。‎ ‎（3）（优先法）‎ 方法一：甲为特殊元素。先排甲，有5种方法；其余6人有种方法，故共有5×=3600种。‎ 方法二：排头与排尾为特殊位置。排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列有种方法，共有×=3600种。‎ ‎（4）（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有种方法，再将4名女生进行全排列，也有种方法，故共有×=576种。‎ ‎（5）（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，所以应排女生，有种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有种方法，故共有×=1440种。‎ ‎（6）把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人有种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人全排列，有种方法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人全排列，有种方法，故共有××=720。‎ ‎【总结升华】‎ 计数原理的应用问题，采用特殊位置优先考虑的原则，注意分类与分步计数原理的应用，考查计算能力。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，则从M到N有多少种不同的走法?‎ ‎【解析】‎ ‎(1)从M到N必须向上走3步，向右走5步，共走8步；‎ ‎(2)每一步是向上还是向右，决定了不同的走法；‎ ‎(3)事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。‎ 从而，任务可叙述为：从8个步骤中选出哪3步是向上走，或者选出哪5步是向右走，就可以确定走法数，‎ ‎∴从M到N不同的走法种数为：，或。‎ ‎【变式2】从1，2，3，……17，18，这18个数中，任意取出3个，满足3个数的和恰好被3整除，这样的取法共有多少种？‎ ‎【解析】将从1到18的18个自然数按可被3整除、被3除余1、被3除余2分为三组，‎ 每组都有6个数 满足题意的取法有两类：‎ 一类是从所划分的三组数中任取一组中的3个数，其和可被3整除，这样的取法有种；‎ 另一类是从所划分的三组数中每组只取1个数，其和也可被3整除，这样的取法有种。故满足题意的方法总数为（种）。‎ ‎【变式3】身高互不相同的6个人排成2横行3纵列，在第一行的每一个人都比他同列的身后的人个子矮，则所有不同的排法种数为 。‎ ‎【答案】每一纵列中的两人只要选定，则他们只有一种站位方法，‎ 因而每一纵列的排队方法只与人的选法有关系，共有三纵列，‎ 从而有。‎ 二、特殊元素，优先处理；特殊位置，优先考虑 ‎【例5】六人站成一排，求 ‎ (1)甲不在排头，乙不在排尾的排列数 ‎ (2)甲不在排头，乙不在排尾，且甲乙不相邻的排法数 ‎【思路点拨】先考虑排头，排尾，但这两个要求相互有影响，因而要考虑分类。‎ ‎【解析】(1)第一类：乙在排头，有种站法；‎ ‎ 第二类：乙不在排头，当然他也不能在排尾，有种站法 ‎ 共种站法。‎ ‎(2)第一类：甲在排尾，乙在排头，有种方法；‎ ‎ 第二类：甲在排尾，乙不在排头，有种方法；‎ ‎ 第三类：甲不在排尾，乙在排头，有种方法；‎ ‎ 第四类：甲不在排尾，乙不在排头，有种方法；‎ ‎ 共种。‎ ‎【总结升华】站队问题是排列组合中的典型问题，解题时，要先从特殊元素和特殊位置入手。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】（2015春 福建期末）由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．‎ ‎（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？‎ ‎（2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？‎ ‎（3）若x=0，其中的偶数共有多少个？‎ ‎（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x．‎ ‎【解析】（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5；‎ 又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，‎ 在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，‎ 即能被5整除的三位数共有6个；‎ ‎（2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；‎ 又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，‎ 取出的三个数字为1、2、9时，有A33=6种情况，‎ 取出的三个数字为2、4、9时，有A33=6种情况，‎ 则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数；‎ ‎（3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；‎ 又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，‎ 当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，‎ 当末位是2或4时，有A21×A21×A21=8种情况，‎ 此时三位偶数一共有6+8=14个，‎ ‎（4）若x=0，可以组成C31×C31×C21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，‎ 则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，‎ 故x=0不成立；‎ 当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C41×C31×C21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，‎ 则每个数字用了=18次，‎ 则有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7．‎ 三、捆绑与插空 例6(2015春 淮安校级期末)将3名男生和4名女生排成一行，在下列不同的要求下，求不同的排列方法的种数：‎ ‎(1)甲、乙两人必须站在两头 ‎(2)男生必须排在一起 ‎(3)男生互不相邻；‎ ‎(4)甲、乙两人之间恰好间隔一人 ‎【解析】(1)甲、乙两人必须站在两头，则先将甲乙2人安排在两端，有种方法，‎ 其余5人站在中间5个位置，有种方法 根据乘法原理可得，不同的排列方法共有种方法.‎ ‎(2)将男生看成一个元素，考虑三人之间的顺序，有种顺序 将3名男生的整体与4名女生进行全排列，有种方法 则男生必须排在一起的排法有种.‎ ‎(3)将4名女生进行全排列，有种顺序，排好后有5个空位，在5个空位中任选3个，安排三名男生，有种情况 则男生互不相邻的排法有种 ‎(4)先安排甲乙2人，有种方法 在剩余的5人中任选1人，排在甲乙两人之间，有5种情况，将3人看成一个元素，与剩余的4人进行全排列，有种排法；‎ 则甲乙两人之间恰好间隔1人有种排法.‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】停车场有一排12个停车位置，今有8辆车需要停放，要求空车位连在一起，不同的停车方法是_____种。‎ ‎【答案】把空车位看成一个元素，和8辆车共九个元素排列，因而共有种停车方法。‎ ‎【变式2】有n个不同的小球和n个不同的小盒，现将这n个小球放入到小盒中，恰有1个空盒的放法共有多少种？‎ ‎【答案】恰有1个空盒的放法即有2个小球放在同一盒中，其余各盒各放1个小球，必出现1个空盒。‎ 先从n个小球中任取其中2个“捆”在一起的取法有种，‎ 再把“捆”后的n-1个小球排放在n个小盒中的n-1个盒中，这样的排放方法有种，‎ 故满足题意的方法总数为种。‎ ‎【变式3】某人射击8枪，命中4枪，恰好有三枪连续命中，有多少种不同的情况？‎ ‎【答案】∵连续命中的三枪与单独命中的一枪不能相邻，因而这是一个插空问题；‎ 另外没有命中的之间没有区别，不必计数，‎ 即在四发空枪之间形成的5个空中选出2个排列，即 ‎【变式4】马路上有编号为1，2，3，……，10十个路灯，为节约用电又看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，在两端的灯也不能关掉，求满足条件的关灯方法共有多少种？‎ ‎【答案】即关掉的灯不能相邻，也不能在两端，又因为灯与灯之间没有区别，‎ 因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯 ‎∴‎ 四、间接法 ‎【例7】从10人中选4人参加一个会议，其中甲、乙、丙三人中至少有1人参加的与会方法有多少种？‎ ‎【思路点拨】有些问题正面求解有一定困难，可以采用间接法。‎ ‎【解析】方法一：排除法 从10人中任选4人参加会议的方法有种，其中甲、乙、丙都不参加会议的方法有种，‎ 故甲、乙、丙三人中至少1人参加会议的方法共有（种）。‎ 方法二：分类法 甲、乙、丙三人中至少有1人参加会议可分为三类：‎ 三人中只有1人参加会议，只有二人参加会议、三人都参加会议三类情况，‎ 而每一类中情况还需分步，先取三人中参加会议的人，再从其余7人中取参加会议的人选，‎ 因此甲、乙、丙三人中至少1人参加会议的方法共有（种）。‎ ‎【总结升华】对于某些排列组合问题的正面情况较复杂而其反面情况却较简单时，可先考虑无限制条件的排列，再减去其反面的情况，一般含有“至多”、“至少”、“所有”等词的问题采用间接法。‎ 举一反三：‎ ‎【变式1】正方体8个顶点中取出4个，可组成多少四面体？‎ ‎【答案】所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数，‎ ‎∴。‎ ‎【变式2】三行三列共九个点，以这些点为顶点可组成多少个三角形？‎ ‎【答案】所求问题的方法数=任意三个点的组合数-共线三点的方法数，‎ ‎∴‎ ‎【变式3】7人选5人排成一队，其中甲不能排在中间，有多少种不同的排法?‎ ‎【答案】‎ ‎（1）选甲：共有 ‎（2）不选甲：‎ 所以共有2160种不同的排法。‎ 五、隔板法 ‎【例8】把20台电脑分给18个村，要求每村至少分一台，共有多少种分配方法?‎ ‎【思路点拨】把20台相同的电脑分给18个村，每村至少分一台，可以用隔板法来解。‎ ‎【解析】在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板，这样即把其分成18份，那么共有种。‎ ‎【总结升华】对于相同元素的分配问题，常采用隔板法，灵活运用隔板法能处理一些较复杂的排列组合问题,但使用时有三点要求：①元素相同；②每组均“非空”,即每组中至少分一个元素；③不能有剩余元素。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】15个相同的球，放入标有1，2，3，4的四个盒子内，求分别满足下列条件的放法种数：‎ ‎(1)每个盒子放入的球数不小于盒子的号码；‎ ‎(2)15个球随意放入四个盒，使得每个盒子不空。‎ ‎【答案】‎ ‎(1)先在2号盒子放入1球，在3号盒子放入2球，在4号盒子放入3球，共用去6个球，‎ 还剩下9个球，相同的球，可以用挡板法，在8个空中插入3块挡板，共有；‎ ‎(2)‎ 六、定序问题 ‎【例9】5男4女排成一排，要求男生必须按从高到矮的顺序，共有多少种不同的方法？‎ ‎【思路点拨】本题可以采用消序的方法。‎ ‎【解析】首先不考虑男生的站位要求，共种，‎ 男生从左至右按从高到矮的顺序，只有一种站法，由于五男生所占位置相同的情况下，共有变化， ；若男生从右至左按从高到矮的顺序，只有一种站法，同理也有3024种，综上，有6048种。‎ ‎【总结升华】当某些元素次序一定时，先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列，解题方法是：n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，共有种排列方法。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】有4名男生、5名女生，全体排成一行，甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定，有多少种不同的排法?‎ ‎【答案】‎ 方法一：等机会法 ‎9人共有A种排法，其中甲、乙、丙三人有A种排法，‎ 因而在A种排法中每A种对应一种符合条件的排法，‎ 故共有=60480种排法.‎ 方法二：C·A=60480种. ‎ 七、排列组合综合应用 ‎【例10】从0，1，2，……，9中取出2个偶数数字，3个奇数数字，可组成多少个无重复数字的五位数？‎ ‎【思路点拨】本题采取先选后排的方法。‎ ‎【解析】还要考虑特殊元素0的选取。‎ ‎（1）两个选出的偶数含0，则有种；‎ ‎（2）两个选出的偶数字不含0，则有 因而共 ‎【总结升华】解排列组合的应用题要注意以下几点：‎ ‎（1）仔细审题，判断是排列问题还是组合问题；要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分类；‎ ‎（2）深入分析，严密周详，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏，辩证思维，多角度分析，全面考虑；‎ ‎（3）对限制条件较复杂的排列组合应用题，要周密分析，设计出合理的方案，把复杂问题分解成若干简单的基本问题后用两个计数原理来解决；‎ ‎（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证，因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备，有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是否相同。在对排列组合问题分类时，分类标准应统一，否则易出现遗漏或重复。‎ ‎（5）排列组合综合题目，一般是符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列。其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准。‎ 举一反三：‎ ‎【变式】电梯有7位乘客，在10层楼房的每一层停留，如果三位乘客从同一层出去，另外两位在同一层出去，最后两人各从不同的楼层出去，有多少种不同的下楼方法？‎ ‎【解析】‎ ‎（1）先把7位乘客分成3人，2人，一人，一人四组，有种；‎ ‎（2）选择10层中的四层下楼有， ‎ ‎∴‎