数学北师大版（2019）必修第二册：1-4-2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 学案与作业 7页

4.2 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性 质 (15 分钟 30 分) 1.下列函数是周期函数的有( ) ①y=sin x ②y=cos x ③y=x2 A.①③ B.②③ C.①② D.①②③ 【解析】选 C.很明显 y=sin x 和 y=cos x 是周期函数,函数 y=x2 的图 象不是重复出现,故函数 y=x2 不是周期函数. 2.有下列命题,其中正确的个数是( ) ①终边相同的角的同名三角函数值相等; ②同名三角函数值相等的角也相等; ③终边不相同,它们的同名三角函数值一定不相等; ④不相等的角,同名三角函数值也不相等. A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选 B.对于①,由三角函数的定义可得正确;对于②,由 sin 30°= sin 150°= , 但 30°≠150°, 所 以 ② 错 误 ; 对 于 ③, 如 α=60°,β=120°的终边不相同,但 sin 60°=sin 120°= ,所以③错 误;对于④,由③中的例子可知④错误. 3.下列各式正确的是( ) A.sin 1>sin B.sin 10 时,-b≤bsin x≤b. 所以 a-b≤a-bsin x≤a+b,所以 解得 所以所求 函数为 y=-2sin x. 当 b<0 时 b≤bsin x≤-b 所以 a+b≤a-bsin x≤a-b. 所以 解得 所以所求函数为 y=-2sin(-x)=2sin x. 所以 y=±2sin x 的最大值是 2,最小值是-2,周期是 2π. (20 分钟 40 分) 一、单选题(每小题 5 分,共 15 分) 1.y=2sin 2x 在 x∈[- , ]上的最大值与最小值的和为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解析】选 B.因为- ≤x≤ ,所以- ≤2x≤ π,当 2x=- 时,ymin=2sin (- )=-1,当 2x= 时,ymax=2sin =2,所以和为 1. 2.若 sin x=2m+3,且 x∈ ,则 m 的取值范围为( ) A. B. C. D. 【解析】选 C.因为 x∈ ,所以结合单位圆知 sin x∈ , 即- ≤2m+3≤ .所以- ≤m≤- . 3.函数 y= + 的定义域为( ) A.R B.[0,π] C.[-4,-π] D.[-4,-π]∪[0,π] 【解题指南】先求出每一段的 x 的取值范围,然后求它们的交集. 【解析】选 D.要使函数式有意义, 需 由①得-4≤x≤4,由②得 2kπ≤x≤2kπ+π(k∈Z), 故函数的定义域为[-4,-π]∪[0,π]. 【补偿训练】 在[0,2π]上,满足 sin x≥ 的 x 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【解析】选 B.如图易知选 B. 二、多选题(共 5 分,全部选对得 5 分,选对但不全的得 3 分,有选错的 得 0 分) 4.函数 y= 的函数值可以取的值是( ) A.- B.-1 C.1 D.2 【解析】选 BCD.令 sin α=t,则 t∈[-1,0)∪(0,1],所以 y= 的值域为 (-∞,-1]∪[1,+∞). 【光速解题】令 y= 等于- ,-1,1,2,然后分别求解α. 【补偿训练】 已知函数 f(x)= 则下列结论不正确的是( ) A.f(x)是偶函数 B.f(x)是增函数 C.f(x)是周期函数 D.f(x)的值域为[-1,+∞) 【解析】选 ABC,因为 f(π)=π2+1,f(-π)=-1,所以 f(-π)≠f(π),所 以函数 f(x)不是偶函数,A 不正确; 函数 f(x)在(-2π,-π)上单调递减,B 不正确; 函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以函数 f(x)不是周期函数,C 不正 确; 因为 x>0 时,f(x)>1,x≤0 时,-1≤f(x)≤1, 所以函数 f(x)的值域为[-1,+∞),D 正确. 三、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.函数 f(x)=sin x 在区间[a,b]上是增函数,且 f(a)=-1,f(b)=1,则 cos = . 【解析】由条件知,a=- +2kπ,b= +2kπ, 所以 cos =cos 2kπ=1. 答案:1 6.函数 y=cos 2x-4cos x+5 的值域为_______. 【解析】令 t=cos x,由于 x∈R,故-1≤t≤1. y=t2-4t+5=(t-2)2+1, 当 t=-1 时,即 cos x=-1 时函数有最大值 10; 当 t=1,即 cos x=1 时函数有最小值 2. 所以该函数的值域是[2,10]. 答案:[2,10] 【误区警示】本题容易忽视求解 t 的取值范围,而导致求解值域出错. 四、解答题 7.(10 分)已知函数 y=acos x+b 的最大值是 0,最小值是-4,求 a,b 的值. 【解析】当 a>0 时, 解得 当 a<0 时, 解得 所以 a=2,b=-2 或 a=b=-2. 【补偿训练】 已知函数 f(x)= . (1)判定函数 f(x)是否为周期函数; (2)求函数 f(x)的单调递增区间; (3)当 x∈ 时,求 f(x)的值域. 【解析】(1)由于-1≤sin x≤1,所以 f(x)的定义域是 R. 又 f(x+2π)= = =f(x), 故 f(x)是周期函数. (2)由正弦函数的基本性质,可知在区间 (k∈Z)上, 函数 y=sin x 是增函数,而此时函数 h(x)=2-sin x 是减函数,从而可知 此 时 函 数 f(x) 是 增 函 数 , 故 可 知 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 (k∈Z). (3)设 t=sin x ,则 t∈ , 所以 1≤2-t< ,则 < ≤1.故 f(x)的值域为 . 关闭 Word 文档返回原板块