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  • 2021-06-15 发布

甘肃省武威市第六中学2018-2019学年高一下学期第三次学段考试数学试题

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武威六中2018-2019学年度第二学期第三次学段考试 高一数学试卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.若、、为实数,则下列命题正确的是( )‎ A. 若,则 B. 若,则 C. 若,则 D. 若,则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等式的性质或特殊值法来判断各选项中不等式的正误.‎ ‎【详解】对于A选项,若,则,故A不成立;‎ 对于B选项,,在不等式同时乘以,得,‎ 另一方面在不等式两边同时乘以,得,,故B成立;‎ 对于选项C,在两边同时除以,可得,所以C不成立;‎ 对于选项D,令,,则有,,,所以D不成立.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查不等式正误的判断,常用的判断方法有:不等式的基本性质、特殊值法以及比较法,在实际操作中,可结合不等式结构合理选择相应的方法进行判断,考查推理能力,属于基础题.‎ ‎2.已知倾斜角为的直线经过,两点,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析:∵直线经过两点,,∴直线AB的斜率,‎ 又∵直线的倾斜角为,∴,∴.故选:A.‎ 考点:直线的斜率;直线的倾斜角.‎ ‎3.在△ABC中,若,,,则B等于(  )‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析:由正弦定理可得:或.‎ 考点:正弦定理解三角形.‎ ‎4.圆与圆的位置关系为( )‎ A. 相离 B. 相交 C. 外切 D. 内切 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得两圆的圆心坐标和半径,根据圆心距和两圆半径的关系,即可判定,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,圆的圆心坐标,半径为,‎ 圆的圆心坐标,半径为,‎ 则圆心距为,所以,‎ 所以两圆相离,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的判定,其中解答中熟记两圆的位置关系的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎5.若正数满足,则的最小值为 A. B. ‎ C. D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,利用基本不等式,即可求解,得到答案.‎ ‎【详解】由题意,因为,‎ 则,‎ 当且仅当,即时等号成立,‎ 所以的最小值为,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题,其中解答中合理构造,利用基本不是准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎6.已知数列是递增的等比数列, ,则数列的前项和等于(  )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意,根据等比数列的性质和通项公式,求得,再由前n项和公式,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,根据等比数列的性质,可得,‎ 联立方程组,解得或,‎ 因为数列是递增的等比数列,所以,‎ 又由,解得,‎ 所以数列的前项和等于,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等比数列的性质,以及等比数列的通项公式和前n项和公式的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎7.已知过点和点的直线为,,.若,,则的值为( )‎ A. B. C. 0 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎∵l1∥l2,∴kAB==-2,解得m=-8.‎ 又∵l2⊥l3,∴×(-2)=-1,解得n=-2,∴m+n=-10.选A.‎ ‎8.过坐标原点作圆的两条切线,切点为,直线被圆截得弦的长度为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得圆的圆心坐标和半径,借助,即可求解.‎ ‎【详解】如图所示,设圆的圆心坐标为,半径为,‎ 则,,‎ 则,可得,‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用,其中解答中涉及到圆的切线方程应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎9.关于的不等式的解集为,则的取值范围为 ( )‎ A. B. C. 或 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分情况讨论,当时,求出满足条件的的值;当时,求出满足条件的的取值范围,即可得出结果.‎ ‎【详解】当时,,若,则原不等式可化为,显然恒成立;若,则原不等式可化为不是恒成立,所以舍去;‎ 当时,因为的解集为,‎ 所以只需,解得;‎ 综上,的取值范围为:.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立的问题,需要用分类讨论的思想来处理,属于常考题型.‎ ‎10.若,满足,且的最小值为,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析:作出不等式组,所表示的平面区域,如下图:‎ 由图可知:由于直线过定点,只需它还过点即可,‎ ‎,解得:.‎ 故选D.‎ 考点:线性规划.‎ 此处有视频,请去附件查看】‎ ‎11.直线的倾斜角范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意,设直线的倾斜角为,根据直线方程,求得,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,设直线的倾斜角为 ‎ 直线的斜率为,‎ 即,又由,所以,‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线方程的应用,以及直线的斜率与倾斜角的关系的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎12.若直线与曲线有公共点,则的取值范围是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简曲线得到表示以为圆心,以2为半径的一个半圆,利用圆心到直线的距离等于半径2,求得或,结合图象,即可求解.‎ ‎【详解】如图所示,曲线,即,‎ 表示以为圆心,以2为半径的一个半圆,‎ 由圆心到直线的距离等于半径2,可得,‎ 解得或,‎ 结合图象可得,故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直线和圆的位置关系的应用,以及点到直线的距离公式的应用,着重考查了数形结合法,以及推理与运算能力,属于中档试题.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.在中,若,,,则_______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ 由题意,,‎ 整理可得:,解得.‎ ‎14.已知两条直线若与间的距离是 ‎,则____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化直线,利用平行线之间的距离,即可求解.‎ ‎【详解】由题意,两条直线的距离是,‎ 可化为直线的距离是,‎ 所以,又由,可得.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两平行线间的距离公式的应用,其中解答中熟记两平行线间的距离公式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎15.记为数列的前项和,若,,则通项公式______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出,然后由得,两式相减得,从而由等比数列定义得数列为等比数列.‎ ‎【详解】∵,∴,又,∴,由得,两式相减得,即,而,∴是公比为2的等比数列,∴.故答案为.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列通项公式,解题关键是掌握数列前项和与项之间的关系,即,利用此式得出数列的递推关系,同时要注意此关系式中有,因此要考虑数列的首项与的关系是否与它们一致.‎ ‎16.已知圆和两点,,若圆上存在点使得,则的最大值为__________.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心C(3,4),半径r=1,‎ 设P(a,b)在圆C上,则=(a+m,b),=(a﹣m,b),‎ ‎∵∠APB=90°,∴,‎ ‎∴=(a+m)(a﹣m)+b2=0,‎ ‎∴m2=a2+b2=|OP|2,‎ ‎∴m的最大值即为|OP|的最大值,等于|OC|+r=5+1=6.‎ 故答案为:6.‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.求满足下列条件的圆的方程:‎ ‎(1)过三点的圆的方程;‎ ‎(2)圆心在直线上且与直线切于点.‎ ‎【答案】(1);(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设出圆的一般方程,列出方程组,求得的值,即可求解;‎ ‎(2)设出圆标准方程,根据题设条件和圆的性质,求得的值,即可求解.‎ ‎【详解】(1)设过三点的圆的方程为 则,解得,‎ 所以圆的一般方程为,标准方程为.‎ ‎(2)由题意,圆心在直线上,设圆的标准方程为 又由圆直线切于点,则,解得,‎ 即圆心坐标为,所以,‎ 所以圆的方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解,其中解答中熟记圆的标准方程和圆的一般方程,准确计算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎18.在△ABC中,a=3,b−c=2,cosB=.‎ ‎(Ⅰ)求b,c的值;‎ ‎(Ⅱ)求sin(B–C)的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;‎ ‎(Ⅱ) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)由题意列出关于a,b,c的方程组,求解方程组即可确定b,c的值;‎ ‎(Ⅱ)由题意结合正弦定理和两角和差正余弦公式可得的值.‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题意可得:,解得:.‎ ‎(Ⅱ)由同角三角函数基本关系可得:,‎ 结合正弦定理可得:,‎ 很明显角C为锐角,故,‎ 故.‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用,两角和差正余弦公式的应用等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19.求满足下列条件的直线的方程:‎ ‎(1)求与直线平行,且过点的直线方程;‎ ‎(2)已知正方形的中心为直线和的交点,其一边所在直线的方程为,求其他三边的方程.‎ ‎【答案】(1);(2) ,,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)过点与直线平行,斜率得到,利用点斜式方程,即可求解;‎ 由点斜式方程,可得直线方程是,即;‎ ‎(2)联立方程组,解得交点坐标为,分别设所求直线为,‎ ‎【详解】(1)过点与直线平行,即所求直线的斜率为,‎ 由点斜式方程,可得直线方程是,即;‎ ‎(2)联立方程组,解得交点坐标为,‎ 设与边所在直线平行的边的方程为,‎ 设与边所在直线垂直的边的方程为,‎ 又由正方形的中心到直线的距离为,‎ 所以点到其它边的距离也等于,‎ 所以,解得或,‎ 所以其它边所在的直线方程分别为,,.‎ ‎【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用,直线方程的求解,以及点到直线的距离公式的应用,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.‎ ‎20.等差数列前项和,且,.‎ ‎(1)求的通项公式;‎ ‎(2)数列满足且,求的前项和.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据等差数列中,,列出关于首项、公差的方程组,解方程组可得与的值,从而可得数列的通项公式;(2)利用(1),由“累加法”可得,利用裂项相消法求和即可得结果.‎ ‎【详解】(1)等差数列的公差设为,前项和为,且,.‎ 可得,,‎ 解得,,‎ 可得;‎ ‎(2)由,‎ 可得 ‎,‎ ‎,‎ 则前项和 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式,以及裂项相消法求数列的和,属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,常见的裂项技巧:(1);(2) ; (3);(4);此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.‎ ‎21.在锐角中,角所对边为 若, ,且.‎ ‎(1)求角的值;‎ ‎(2)求的取值范围.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据三角恒等变换的公式和三角形的内角和定理,化简可得,即可求解;‎ 由正弦定理得,得到所以,利用三角函数的性质,即可求解.‎ ‎【详解】(1)由题意,因为,‎ 又由,则,‎ 所以,‎ 可得,‎ 因为,则,所以,‎ 即,又由为锐角,可得.‎ ‎(2)由正弦定理,则,‎ 所以,‎ 因为,‎ 可得,所以,‎ 可得,所以.‎ 故的取值范围.‎ ‎【点睛】本题主要考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质的应用,以及正弦定理的边角互化的应用,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.‎ ‎22.已知等差数列满足,等比数列满足,且.‎ ‎(1)求数列,的通项公式;‎ ‎(2)若,求的前项和.‎ ‎【答案】(1),;(2).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由,求得,得到等差数列的通项公式,又由和,求得,得到等比数列的通项公式;‎ ‎(2)由(1),求得,利用乘公比错位相减法,即可求解数列的前项和.‎ ‎【详解】(1)设的首项为,公差为,则有,,‎ 解得,所以, ‎ 设,由,即,‎ 即,解得,‎ 由得,,‎ 可得,所以.‎ ‎(2)由知,,所以,‎ 则,‎ 两侧同乘公比2,可得,‎ 两式相减可得 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查等差、等比数列的通项公式及求和公式、以及“错位相减法”求和的应用,此类题目是数列问题中的常见题型,解答中确定通项公式是基础,准确计算求和是关键,易错点是在“错位”之后求和时,弄错等比数列的项数,能较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等.‎

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