云南省曲靖市宣威市第九中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学（理）试题 15页

数学试卷（理）‎ 一、选择题 ‎1.已知集合，，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由，得，选C.‎ ‎【考点】集合的交集运算.‎ ‎【名师点睛】1.首先要弄清构成集合的元素是什么(即元素的意义)，是数集还是点集，如集合，，三者是不同的．‎ ‎2.集合中的元素具有三性——确定性、互异性、无序性，特别是互异性，在判断集合中元素的个数时，以及在含参的集合运算中，常因忽略互异性而出错．‎ ‎3.数形结合常使集合间的运算更简捷、直观．对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助Venn图；对连续的数集间的运算，常利用数轴；对点集间的运算，则通过坐标平面内的图形求解，这在本质上是数形结合思想的体现和运用．‎ ‎4.空集是不含任何元素的集合，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽略空集是任何集合的子集．‎ ‎2.圆的圆心到直线的距离是（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：圆的圆心坐标为（1，0），∴圆心到直线的距离为 ‎，故选A．‎ 考点：考查了点到直线的距离公式．‎ 点评：解本题的关键是根据圆的方程求出圆心坐标，利用点到直线的距离公式求出距离．‎ ‎3.某工厂生产某种产品的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据：根据相关检验，这组样本数据具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得其回归直线的斜率为，则这组样本数据的回归直线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意可知，，线性回归方程过样本中心，所以只有C选项满足．选C.‎ ‎【点睛】‎ 线性回归方程过样本中心，所以可以代入四个选项进行逐一检验．‎ ‎4.已知等差数列前9项的和为27，，则 A. 100 B. ‎99 ‎C. 98 D. 97‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，所以故选C.‎ ‎【考点】等差数列及其运算 ‎【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.‎ ‎5.如图所示的程序框图的算法思路源于世界数学名题“3x＋1问题”．执行该程序框图，若输入的N＝3，则输出的i＝‎ A. 9 B. 8‎ C. 7 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 模拟执行程序，当 ，是奇数，得，不满足条件，不满足条件是奇数， ，不满足条件，满足条件是奇数，，不满足条件，不满足条件是奇数，，不满足条件，不满足条件是奇数，，不满足条件，不满足条件是奇数，，不满足条件，不满足条件是奇数，，满足条件，输出，选B.‎ 点睛：本题主要考查的知识点是循环结构的程序框图，当循环的次数不多或有规律时，常常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．‎ ‎6.已知直线过点，且倾斜角为直线：的倾斜角的2倍，则直线的方程为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设直线倾斜角为，则斜率，所以直线的倾斜角为，斜率，又经过点（1,0），所以直线方程为，即，选D.‎ ‎7.函数的图像的一条对称轴是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 对称轴穿过曲线的最高点或最低点，把代入后得到,因而对称轴为，选.‎ ‎8. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为 A. 7 B. ‎15 ‎C. 25 D. 35‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：抽样比是，所以样本容量是．‎ 考点：分层抽样 ‎9.某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误的一个是（ ）‎ A. 甲的极差是29 B. 甲的中位数是24‎ C. 甲罚球命中率比乙高 D. 乙的众数是21‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对．‎ ‎【详解】由茎叶图知 甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对 甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为故B不对 甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对 乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对 故选B．‎ ‎【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．‎ ‎10.函数的零点位于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断、的符号，根据零点存在定理即可判断函数零点所在区间.‎ ‎【详解】，，‎ ‎，函数的零点位于.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查利用零点存在定理判断函数零点所在位置，属于基础题.‎ ‎11.已知，则＝ （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：,故选B．‎ 考点：分段函数．‎ ‎12.函数图象为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：因为，根据奇函数和偶函数定义可知，函数是非奇非偶函数，排除选项A和选项D.当时，，所以选B.‎ 考点：三角函数的图像与性质 二.填空题 ‎13.将八进制数转化为二进制数是_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先将八进制数改写为十进制数，然后利用除取余法可得出所转化的二进制数．‎ ‎【详解】，下面利用除取余法得出所转化的二进制数：‎ ‎，因此，所转化的二进制数为，故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查数的进行之间的转化，任意进制数之家的转化以十进制数为核心，先将其他进制数转化为十进制数，然后利用除取余法转化为进制数，考查计算能力，属于中等题．‎ ‎14.已知向量满足，且，则与的夹角为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知条件展开后化简，求得的值，利用夹角公式求得两个向量的夹角.‎ ‎【详解】根据得，，即，故，故两个向量的夹角为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查向量的数量积运算，考查向量的夹角公式，考查运算求解能力，属于基础题.‎ ‎15.已知，满足则目标函数的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，z为直线l:的纵截距，数形结合即可求得最大值.‎ ‎【详解】作出可行域如图所示：‎ 目标函数，z为直线l:的纵截距，‎ ‎，数形结合知当直线l经过点时z取最大值.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划问题，属于基础题.‎ ‎16. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_________.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 此几何体是一个组合体，由三视图可知上面正四棱柱的高为,‎ 其体积为.‎ 三.解答题 ‎17.在数列{an}中，a1=2，点(an，an+1)(n∈N*)在直线y=2x上．‎ ‎(Ⅰ)求数列{ an }的通项公式；‎ ‎(Ⅱ)若bn=log2an，求数列的前n项和Tn．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由点(an，an+1)(n∈N*)在直线y=2x上，得，所以数列是等比数列，然后可求出通项公式；（Ⅱ）因为，得，用裂项相消法求和即可.‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）由点(an，an+1)(n∈N*)在直线y=2x上，得，‎ 所以，又，‎ 所以数列是首项为2，公比为的等比数列， ‎ 所以． ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，所以 ‎ 所以 所以 ‎.点睛】‎ 本题考查了等比数列的通项公式，裂项相消法求和，属于基础题.‎ ‎18. 某地区2007年至2013年居民人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：‎ 年份 ‎ ‎2007 ‎ ‎2008 ‎ ‎2009 ‎ ‎2010 ‎ ‎2011 ‎ ‎2012 ‎ ‎2013 ‎ 年份代号t ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ ‎4 ‎ ‎5 ‎ ‎6 ‎ ‎7 ‎ 人均纯收入y ‎ ‎2.9 ‎ ‎3.3 ‎ ‎3.6 ‎ ‎4.4 ‎ ‎4.8 ‎ ‎5.2 ‎ ‎5.9 ‎ ‎（1）设y关于t的线性回归方程为，求的值；‎ ‎（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2016年居民人均纯收入．‎ ‎【答案】（1）0.5,2.3（2）7300‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据回归系数公式计算回归系数；（2）把x=10代入回归方程计算估计值 试题解析：（1）,‎ 设回归方程为,代入公式,经计算可得 ‎,‎ ‎, ∴关于的回归方程为．‎ ‎（2）∵（千元）,‎ ‎∴预计到2015年,该区人均纯收入约7300元左右．‎ 考点：回归方程 ‎19.一次数学测验中，全班名学生的数学成绩的频率分布直方图如下，已知分数在的学生数有14人.‎ ‎（1）求总人数和分数在的人数；‎ ‎（2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数，平均数各是多少？‎ ‎【答案】（1）40，4‎ ‎（2）众数为107.5，中位数分别是110，平均数为111‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出分数在内的学生的频率，根据频率、频数与总数之间的关系即可求得总人数，再计算分数在内的学生的频率，乘以总数即可得解；（2）众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，根据中位数左边和右边的直方图面积相等可估计中位数，平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.‎ ‎【详解】（1）分数在内的学生的频率为，‎ 所以该班总人数为.‎ 分数在内的学生的频率为：‎ ‎，‎ 分数在内的人数为.‎ ‎（2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标，即为.‎ 设中位数为，∵，∴.‎ ‎∴众数和中位数分别是107.5，110.‎ 平均数为.‎ ‎【点睛】本题考查用样本的频率分布估计总体分布，由频率分布直方图估计样本数据的中位数、众数及平均数，属于中档题.‎ ‎20.如图，矩形中，平面，，为上的点，且平面，，交于点.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎（3）求三棱柱的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析 ‎（2）证明见解析 ‎（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明是中点从而推出，即可得证；（2）由平面推出，平面推出，即可证明线面垂直；（3）由平面推出平面，再由GF是△ACE的中位线得，代入即可得解.‎ ‎【详解】（1）依题意可知：是中点，‎ ‎∵平面，则，而，∴是中点.‎ 在中，，‎ 又平面，∴平面.‎ ‎（2）∵平面，，‎ ‎∴平面，又平面，则,‎ 又∵平面，平面，,‎ 平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（3）由（1）知，而平面，‎ ‎∴平面，∴平面.‎ ‎∵是中点，是中点，‎ 平面，，则△CBE为直角三角形，‎ ‎∴，.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的判定与证明，椎体体积的求法，属于中档题.‎ ‎21.在中，，，分别是内角，，的对边，且，，若 ‎（1）求的大小；‎ ‎（2）设，为的面积，求的最大值及此时的值.‎ ‎【答案】（1）‎ ‎（2）时，取最大值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由平行向量坐标关系及正弦定理可得，代入余弦定理整理得，即可求得角A；（2）由已知条件及正弦定理可得，，代入面积公式整理得，逆用两角差的余弦公式化简所求式子即可求得最大值.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∴‎ 根据正弦定理得，化简得，‎ 由余弦定理，‎ 得，又，∴；‎ ‎（2）∵，，‎ ‎∴由正弦定理得，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴当时，取最大值.‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，涉及两角差的余弦公式，利用三角函数值域求范围，属于中档题.‎ ‎22.某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.‎ ‎(1)问捕捞几年后总盈利最大，最大是多少？‎ ‎(2)问捕捞几年后平均利润最大，最大是多少？‎ ‎【答案】（1）当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．（2）当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元 ‎【解析】‎ ‎　试题分析：（1）先求出该船捕捞n年后的总盈利y的表达式，是关于n的二次函数，开口向下，在顶点处取得最大值；（2）先求出年平均利润的表达式，再用基本不等式求出最大值．‎ 试题解析：(1)设该船捕捞n年后的总盈利y万元．则 y＝50n－98－[12×n＋×4]‎ ‎＝－2n2＋40n－98‎ ‎＝－2(n－10)2＋102‎ ‎∴当捕捞10年后总盈利最大，最大是102万元．‎ ‎(2)年平均利润为 ‎＝－2(n＋－20)‎ ‎≤－2(2－20)＝12，‎ 当且仅当n＝，即n＝7时上式取等号．‎ 所以，当捕捞7年后年平均利润最大，最大是12万元．‎ 点睛：本题应用题，考查学生阅读理解能力和解决问题的能力，属于中档题．本题关键是读懂题意，列出表达式．‎