高中数学必修2全册同步检测：1-3-2 6页

‎1-3-2‎同步检测 一、选择题 ‎1．两球表面积之比为1:4，则它们的半径之比为(　　)‎ A．1:2 B．1:4 ‎ C．1: D．1:2 ‎2．把半径分别为‎6cm,‎8cm,‎10cm的三个铁球熔成一个大铁球，这个大铁球的半径为(　　)‎ A．‎3cm B．‎6cm ‎ C．‎8cm D．‎‎12cm ‎3．球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于 (　　)‎ A. B．1 ‎ C．2 D．3‎ ‎4．半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是(　　)‎ A．2R3 B.πR3 ‎ C.R3 D.R3‎ ‎5．把3个半径为R的铁球熔成一个底面半径为R的圆柱，则圆柱的高为(　　)‎ A．R B．2R ‎ C．3R D．4R ‎6．下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是(　　)‎ A．9π B．10π ‎ C．11π D．12π ‎7．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎8．已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是(　　)‎ A．6:5 B．5:4 ‎ C．4:3 D．3:2‎ ‎9．已知长方体一个顶点上三条棱的长分别是3、4、5，且它的顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是(　　)‎ A．20 B．25 ‎ C．50π D．200π ‎10．64个直径都为的球，记它们的体积之和为V甲，表面积之和为S甲；一个直径为a的球，记其体积为V乙，表面积为S乙，则(　　)‎ A．V甲>V乙且S甲>S乙 B．V甲S乙 D．V甲＝V乙且S甲＝S乙 二、填空题 ‎11．长方体的8个顶点在同一个球面上，且长方体的对角线长为4，则该球的体积是________．‎ ‎12．已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为________．‎ ‎13．圆柱OO′的底面半径为4，高为，球M的体积等于圆柱OO′的体积，则球M的半径等于________．‎ ‎14．(2010·湖北高考)圆柱形容器内盛有高度为‎8cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________cm.‎ 三、解答题 ‎15．(2011·福建厦门高一检测)如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，求该几何体的表面积和体积．‎ ‎16．一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形．圆柱形部分的高为hcm，半径为rcm.试管的容量为108πcm3，半球部分容量为全试管容量的.‎ ‎(1)求r和h；‎ ‎(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口‎4cm处，求水的体 积．‎ ‎17．体积相等的正方体、球、(轴截面为正方形)的全面积分别是S1、S2、S3，试比较它们的大小．‎ ‎18．(2011－2012·杭州高二检测)如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，冰淇淋会从杯子溢出吗？请计算说明理由．‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由＝，得＝.‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　方法1：大球半径应大于‎10cm，故选D ‎[答案]　D ‎[答案]　C ‎[答案]　D ‎[答案]　D ‎[解析]　本题是三视图还原为几何体的正投影问题，考查识图能力，空间想像能力．由题设可知，该几何体是圆柱的上面有一个球，圆柱的底面半径为1，高为3，球的半径为1，∴该几何体的表面积为 ‎2π×1×3＋2π×12＋4π×12＝12π.‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　由‎6a2＝4πR2得＝，∴＝＝3＝.‎ ‎[答案]　D ‎[解析]　设球的半径为R，则圆柱的高h＝2R，底面的半径也为R，‎ ‎∴＝＝.‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　长方体的体对角线即为球的直径，∴2R＝，∴R＝，S球＝4πR2＝50π.‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　计算得V甲＝πa3，S甲＝4πa2，V乙＝πa3，S乙＝πa2，∴V甲＝V乙，且S甲>S乙．‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　该球的半径为＝2，‎ 则该球的体积是×23＝.‎ ‎[答案]　 ‎[解析]　设球O的半径为r，则πr3＝23，‎ 解得r＝ ‎[答案]　4‎ ‎[解析]　设球M的半径为r，则πr3＝π×42×，解得r＝4，即球M的半径为4.‎ ‎[答案]　4‎ ‎[解析]　设球的半径为r，则圆柱形容器的高为6r，容积为πr2×6r＝6πr3，高度为‎8cm的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3＝4πr3，由题意6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4.‎ ‎[解]由三视图可知此几何体是半径为2的半球．‎ S＝×4πR2＋πR2＝12π，‎ V＝πR3×＝π.‎ ‎[解析]　(1)∵半球部分容量为全试管容量的，‎ ‎∴半球部分与圆柱体部分容量比为，‎ 即＝ ‎∴h＝r，πr3×＝108π× ‎∴r＝3(cm)，h＝10(cm)．‎ ‎(2)V＝πr3×＋πr2×(h－4)‎ ‎＝π×33×＋π×32×6＝72π(cm3)．‎ ‎[解析]　设正方体的棱长为a，球的半径为R，等边圆柱的底面半径为r，则S1＝‎6a2，S2＝4πR2，S3＝6πr2.‎ 由题意知，πR3＝a3＝πr2·2r，‎ ‎∴R＝a，r＝a，‎ ‎∴S2＝4π2＝4π·a2＝a2，‎ S3＝6π2＝6π·a2＝a2，‎ ‎∴S23a2＝a2，即S1>S3.‎ ‎∴S1、S2、S3的大小关系是S2